Основы физики : в 3 т. Т. 2

У Ч Е Б Н И К  Д Л Я  В Ы С Ш Е Й  Ш К О Л Ы
У Ч Е Б Н И К  Д Л Я  В Ы С Ш Е Й  Ш К О Л Ы

Москва
Лаборатория знаний
2021

Н. П. Калашников, М. А. Смондырев

ОСНОВЫ
ФИЗИКИ

Том 2

2-Е ИЗДАНИЕ, ЭЛЕКТРОННОЕ 

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
К17

С е р и я о с н о в а н а в 2009 г.
Калашников Н. П.
К17
Основы физики : в 3 т. Т. 2 / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев. — 2-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. —
609 с. — (Учебник для высшей школы). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-075-3 (Т. 2)
ISBN 978-5-00101-072-2
Учебник соответствует программе дисциплины «Физика» для естественнонаучных и технических университетов. Два его тома входят
в состав учебного комплекта, включающего также учебное пособие
«Основы физики. Упражнения и задачи» тех же авторов.
Во многих отношениях данный учебник не имеет аналогов. Ряд
оригинальных методических приемов и способов изложения материала, включение новых, зачастую неожиданных тем и ярких примеров,
отсутствующих в традиционных курсах физики, позволяют учащимся
приобрести навыки уверенного самостоятельного мышления, глубже
понять физические основы самых различных природных явлений,
делать практические, качественные оценки, оперируя размерностями
и порядками величин.
Для студентов естественнонаучных и инженерно-технических специальностей.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Основы
физики : в 3 т. Т. 2 / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев. — М. : Лаборатория знаний, 2017. — 606 с. : ил. — (Учебник для высшей школы). —
ISBN 978-5-00101-005-0 (Т. 2); ISBN 978-5-00101-003-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-075-3 (Т. 2)
ISBN 978-5-00101-072-2
© Лаборатория знаний, 2017

Часть IV

Колебания и волны

И тогда я увидел Маятник.
Движущийся шар на конце длинной нити,
прикрепленной к своду центрального
купола, описывал широкие колебательные
движения ритмично и величаво.
Любой поддался бы очарованию этого
мирного дыхания.

У. Эко. «Маятник Фуко»

Глава 24

Колебательное движение

Физические процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные,
электромеханические и т. д.
В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают
свободные (или собственные) и вынужденные колебания.
Если положение системы в любое время может быть описано единственным
параметром, то система имеет одну степень свободы. Примеры таких систем:
маятник, колеблющийся в заданной плоскости; масса, связанная с пружиной;
LC-цепочка (рис. 24.1). Обычно для таких систем употребляют общее название
осциллятор (от англ. oscillate — колебаться, вибрировать).

Рис. 24.1. Примеры колебательных систем с одной степенью свободы

24.1
Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих
систем в сущности одинаковы, так что различные физические процессы могут
быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник

Рассмотрим систему, состоящую из шарика массой m, подвешенного на пружине
(рис. 24.2). В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой

Глава 24
Колебательное движение

Рис. 24.2. Пружинный маятник (к выводу уравнения движения)

силой kΔl0:

mg = kΔl0,
откуда
Δl0 = mg

k ,
(24.1)

где Δl0 — статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем
начало отсчета так, чтобы координата x = 0 соответствовала положению неподвижного шарика в положении равновесия.
Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x,
то полное удлинение пружины станет равным Δl0 + x. С учетом закона Гука
результирующая сила, действующая на шарик, будет тогда равна:

F = mg − k(Δl0 + x).
(24.2)

Используем соотношение (24.1) и в результате получим, что

F = −kx.
(24.3)

Знак «минус» означает, что сила стремится уменьшить отклонение шарика от
положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо
деформированной пружины.
Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона: m¨x = −kx. Его можно
также представить в виде

¨x + ω2
0 x = 0,
ω0 =

k
m.
(24.4)

Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса,
сосредоточенная в одной точке.
Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом
ϕ, который образует нить с вертикалью (рис. 24.3). При отклонении маятника
от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила
тяжести mg и сила натяжения нити N. Их равнодействующая F направлена
по касательной к окружности радиусом l и равна F = −mg sin ϕ. Скорость
материальной точки тоже направлена по касательной и равна v = l ˙ϕ, так что
тангенциальное ускорение aτ = ˙v = l ¨ϕ. Записываем теперь уравнение движения:

ml ¨ϕ = −mg sin ϕ
(24.5)

24.1
Уравнение гармонических колебаний
7

Рис. 24.3. Силы, возникающие при колебаниях математического маятника (к
выводу уравнения движения)

Рис. 24.4. При выводе уравнения движения физического маятника необходимо
учитывать его момент инерции J

(знак «минус» соответствует тому, что сила F стремится уменьшить угол ϕ). При
небольших отклонениях маятника sin ϕ ≈ ϕ. Получаем

¨ϕ + ω2
0ϕ = 0,
ω0 =
g

l .
(24.6)

Физический маятник

Если колеблющееся тело, подвешенное на оси, невозможно представить как материальную точку, маятник называется физическим (рис. 24.4). При отклонении
маятника от положения равновесия на угол ϕ возникает вращательный момент,
стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

M = −mgl sin ϕ,
(24.7)

где m — масса маятника, а l — расстояние OC между точкой подвеса O и центром
масс C маятника.
Рассматривая ϕ как вектор, связанный с направлением поворота правилом
правого винта, противоположность знаков M и ϕ можно объяснить тем, что
векторы ⃗M и ⃗ϕ направлены в противоположные стороны. Обозначив момент
инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, через J,
можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

J ¨ϕ = −mgl sin ϕ.
(24.8)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний: sin ϕ ≈ ϕ. В этом случае уравнение колебаний принимает вид

¨ϕ + ω2
0ϕ = 0,
ω0 =

mgl

J .
(24.9)

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную
точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен J = ml2, и мы
приходим к уравнению (24.6) движения математического маятника.

Глава 24
Колебательное движение

Движение поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим поршень массой m и площадью поверхности S, закрывающий сосуд объемом V0 с идеальным газом, изолированным от окружающей среды
(рис. 24.5). Пусть в состоянии равновесия давление в сосуде равно p0. Это давление складывается из атмосферного давления pa и давления mg/S, оказываемого
поршнем:

p0 = pa + mg

S .
(24.10)

Переместим поршень на расстояние x. Объем сосуда увеличится и станет равным
V = V0 + Sx. Соответственно уменьшится давление. Поскольку процесс идет
без теплообмена, применяем уравнение адиабаты (см. т. 1, уравнение (11.30)) и
находим новое давление:

pV γ = p0V γ
0 ,
откуда
p =
p0

(1 + Sx/V0)γ .
(24.11)

Здесь γ — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул
газа. При малых колебаниях, когда смещения поршня много меньше высоты
сосуда (x ≪ V0/S), можно разложить p в ряд Тейлора:

p ≈ p0

1 − x γS

V0

.
(24.12)

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления −paS, сила
давления газа в сосуде pS и сила тяжести −mg. Знаки сил соответствуют выбору
положительного направления оси x вверх. Используя (24.10) и (24.12), находим
для равнодействующей F этих сил:

F = −paS + pS − mg = −S
p0 − mg

S

+ Sp0

1 − x γS

V0

− mg =

= −x γp0S2

V0
.
(24.13)

Записываем теперь уравнение движения поршня m¨x = F в виде

¨x + ω2
0x = 0,
ω0 =

γp0S2

mV0
.
(24.14)

Электромагнитный контур

Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью C и
катушки индуктивностью L (рис. 24.6). Сопротивлением катушки и проводов
пренебрегаем. Пусть в цепи идет ток I, заряжающий конденсатор: I = dq/dt. Так
как внешняя ЭДС к контуру не приложена, ЭДС самоиндукции E = −L ˙I равна
напряжению q/C на конденсаторе. Имеем два уравнения:

I = dq

dt ,
LdI

dt + q

C = 0.
(24.15)

24.2
Гармонические колебания
9

Рис. 24.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

Рис. 24.6. Электромагнитный колебательный контур

Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение для изменения
заряда на конденсаторе:

¨q + ω2
0q = 0,
ω0 =
1
√

LC
.
(24.16)

Вместо использованной подстановки выражения тока через заряд можно
продифференцировать второе из уравнений (24.15) и выразить производную от
заряда через ток. В результате получим аналогичное уравнение для изменения
тока в цепи с тем же выражением для ω0, что и в (24.16):

¨I + ω2
0I = 0.
(24.17)

24.2
Гармонические колебания

Мы рассмотрели несколько совершенно различных систем и убедились, что
уравнения движения приводятся к одной и той же форме:

¨x + ω2
0x = 0.
(24.18)

Разница между физическими системами сводится к различию в формулах для
частоты собственных колебаний ω0, что связано с разным физическим смыслом
переменной x: это может быть координата, угол, заряд, ток и т. д. Уравнение
(24.18) описывает так называемые гармонические колебания. Гармоническими
колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение
тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса. Такие
колебания иногда называют малыми колебаниями, потому что линейный закон
для «возвращающей силы» (в широком смысле слова) характерен именно для
малых отклонений системы от положения равновесия.

Глава 24
Колебательное движение

Уравнение гармонических колебаний (24.18) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка (так как оно содержит вторую производную от переменной x). Линейность уравнения означает, что:

1) если какая-то функция x(t) является решением этого уравнения, то функция Cx(t) также будет его решением (C — произвольная постоянная);

2) если функции x1(t) и x2(t) являются решениями этого уравнения, то их
сумма x1(t) + x2(t) также будет решением того же уравнения.

Доказана также математическая теорема, что уравнение второго порядка
имеет два независимых решения. Все остальные решения, согласно свойствам
линейности, могут быть получены как их линейные комбинации.
Непосредственным дифференцированием легко проверить, что независимые
функции sin ω0t и cos ω0t удовлетворяют уравнению (24.18). Значит, общее решение этого уравнения имеет вид

x(t) = C1 sin ω0t + C2 cos ω0t,
(24.19)

где C1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение может быть представлено
и в другом виде. Введем величину

A =
C2
1 + C2
2
(24.20)

и определим угол α соотношениями

cos α = C2

A =
C2
C2
1 + C2
2
,
sin α = −C1

A = −
C1
C2
1 + C2
2
.
(24.21)

Тогда общее решение (24.19) можно записать как

x(t) = A (cos ω0t cos α − sin ω0t sin α) .
(24.22)

Согласно формулам тригонометрии, выражение в скобках равно cos(ω0t + α).
Окончательно приходим к общему решению уравнения гармонических колебаний
в виде
x(t) = A cos(ω0t + α).
(24.23)

Величина A называется амплитудой колебания, а α — начальной фазой.
Вся комбинация ω0t + α называется фазой колебания. Выражения (24.19) и
(24.23) совершенно эквивалентны, так что мы для простоты можем пользоваться
любым из них. Оба решения являются периодическими функциями времени.
Действительно, синус и косинус периодичны с периодом 2π. Поэтому различные
состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через
промежуток времени t∗, за который фаза колебания получает приращение,
кратное 2π:

ω0(t + t∗) + α = ω0t + α + 2πn,
n = 0, ±1, ±2, . . .
(24.24)

Отсюда следует, что t∗ = 2πn/ω0. Наименьшее из этих значений

T = 2π

ω0

(24.25)