Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОФИЗИКЕ

4е  издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.24
ББК 26.2
Я30

С е р и я о с н о в а н а в 2009 г.
Ягола А. Г.
Я30
Обратные задачи и методы их решения. Приложения
к геофизике / А. Г. Ягола, Ван Янфей, И. Э. Степанова,
В. Н. Титаренко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний, 2021. — 219 с. — (Математическое моделирование). —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-555-4
Книга написана на основе курса лекций, читавшихся студентам
физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. В качестве
основных приложений рассматривались обратные задачи геофизики.
Математический аппарат, описанный в первой главе, с успехом
применялся для решения обратных задач астрофизики, обработки
изображений, колебательной спектроскопии, электронной микроскопии, акустики и многих других.
Книга будет полезна студентам, аспирантам, научным сотрудникам, интересующимся современными методами решения обратных,
в том числе некорректно поставленных, задач.
УДК 519.24
ББК 26.2

Деривативное издание на основе печатного аналога: Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике / А. Г. Ягола, Ван Янфей, И. Э. Степанова, В. Н. Титаренко. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 216 с. : ил. — (Математическое моделирование). — ISBN 978-5-9963-0813-2.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-555-4
© Лаборатория знаний, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Некорректно поставленные задачи . . . . . . . . . . . . . .
7

§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

§ 2. Корректность постановки математической задачи . . . . .
8

§ 3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства
9

§ 4. Элементы теории линейных операторов . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 5. Примеры некорректно поставленных задач . . . . . . . . . . .
27

§ 6. Понятие регуляризирующего алгоритма . . . . . . . . . . . . . .
33

§ 7. Некорректные задачи на компактах . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Глава 2. Задачи минимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 8. Постановка экстремальных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

§ 9. Разрешимость задачи оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

§ 10. Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

§ 11. Выпуклые функционалы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

§ 12. Разрешимость задачи выпуклого программирования . . .
57

§ 13. Критерии выпуклости и сильной выпуклости . . . . . . . . .
62

§ 14. Сведения о матрицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

§ 15. Метод наименьших квадратов. Метод псевдообращения
70

§ 16. Минимизирующие последовательности . . . . . . . . . . . . . . .
74

§ 17. Некоторые методы решения одномерных экстремальных
задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

§ 18. Метод скорейшего спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

§ 19. Метод сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

§ 20. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

§ 21. Методы нулевого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 22. Метод условного градиента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

§ 23. Метод проекции сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . . 108
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Глава 3. Численные методы решения некорректных задач 113

§ 24. Компактные множества функций специального вида . . . 113
§ 25. Истокопредставимость решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 26. Регуляризирующий алгоритм А. Н. Тихонова . . . . . . . . 119

Оглавление

§ 27. Обобщенный принцип невязки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§ 28. Несовместные некорректные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 29. Интегральные уравнения Фредгольма I рода . . . . . . . . . . 128
§ 30. Ряд, интеграл и преобразование Фурье
. . . . . . . . . . . . . . 130

§ 31. Вейвлеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 32. Уравнение типа свертки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Глава 4. Задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

§ 33. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§ 34. Прямые задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 35. Обратные задачи гравиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 36. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 37. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Глава 5. Задачи магниторазведки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

§ 38. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 39. Теория магнитного потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
§ 40. Прямые задачи магниторазведки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

§ 41. Обратные задачи магниторазведки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 42. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Глава 6. Задачи сейсморазведки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

§ 43. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§ 44. Отражение и преломление волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 45. Сейсмокаротаж
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 7. Спектральное распределение аэрозоля . . . . . . . . . . 201

§ 46. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§ 47. Функции спектрального распределения . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 48. Рэлеевское рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 49. Рассеяние Ми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 50. Оптическая толщина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Именной указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга посвящена методам решения так называемых обратных задач. Многочисленные обратные задачи можно найти
в различных областях естествознания — физике, химии, биологии. Если экспериментатор не имеет возможности непосредственного измерения характеристик исследуемого объекта, ему
приходится проводить обработку и интерпретацию всех доступных экспериментальных данных, решая при этом обратные задачи. Так, астрофизик не может активно воздействовать
на процессы, происходящие на далеких звездах и галактиках,
ему приходится делать заключения о физических характеристиках весьма удаленных объектов по их косвенным проявлениям, доступным измерениям на Земле или вблизи Земли (на
космических станциях). Прекрасные примеры обратных задач
можно найти в медицине, прежде всего нужно отметить вычислительную (или компьютерную) томографию. Хорошо известны приложения обратных задач в геофизике (на самом деле, легче и дешевле судить о том, что делается под поверхностью Земли, решая обратные задачи, чем заниматься бурением
глубоких скважин), радиоастрономии, спектроскопии, ядерной
физике и т. д., и т. п. В последнее время интенсивно развиваются методы исследования обратных задач в экономике.
Многие обратные задачи относятся к числу так называемых некорректно поставленных — при обработке приближенных данных, полученных, например, из эксперимента, малым
изменениям входных данных могут соответствовать как угодно большие изменения решения. Современная теория решения некорректно поставленных задач, основанная на работах российских математиков — А. Н. Тихонова, В. К. Иванова,
М. М. Лаврентьева и их научных школ, позволяет преодолеть
возникающие трудности. Цель настоящей книги — познакомить
читателей с основами этой теории.
Книга написана на основе курса лекций, читавшихся для
студентов физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносо

Предисловие

ва. В качестве основных приложений рассматривались обратные задачи геофизики. Математический аппарат, описанный
в первой главе, с успехом применялся для решения обратных задач астрофизики, обработки изображений, колебательной спектроскопии, электронной микроскопии, акустики и многих других. Поэтому книга может быть полезна для студентов,
аспирантов, научных сотрудников, интересующихся современными методами решения обратных, в том числе некорректно
поставленных, задач.

Авторы благодарят Российский фонд фундаментальных исследований и Государственный фонд наук Китая за частичную поддержку их совместных научных исследований, результаты которых отражены в данной книге (грант 12-01-91153ГФЕН_а).

Глава 1

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

В этой книге мы познакомимся с основными понятиями теории так называемых некорректных (или некорректно поставленных) задач и численными методами их решения. Основателем этой теории является выдающийся российский математик
Андрей Николаевич Тихонов, столетие со дня рождения которого мы отметили в 2006 г. Андрей Николаевич в течение
многих лет заведовал кафедрой математики физического факультета МГУ, а в 1970 г. стал создателем и первым деканом
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Важно знать, что значительная часть жизни Андрея Николаевича была связана с геофизикой.
В 1937 г. по инициативе Отто Юльевича Шмидта был организован Институт теоретической геофизики (ИТГ) АН СССР,
директором которого он был до 1949 г. Институт создавался с целью объединения усилий физиков, математиков, геофизиков, механиков для исследования Земли современными
физико-математическими методами. Сложность и практическая важность изучаемых геофизикой процессов всегда привлекали ученых разных специальностей. О. Ю. Шмидту удалось собрать в этом институте целый ряд крупных ученых:
академиков А. Н. Крылова, А. Н. Колмогорова, П. П. Лазарева, Л. С. Лейбензона и в дальнейшем ставших академиками
А. Н. Тихонова, Г. А. Гамбурцева, В. В. Шулейкина и др. По
приглашению Отто Юльевича Андрей Николаевич с 1937 г.,
оставаясь в МГУ, начал работать в новом институте научным
сотрудником, а затем заведующим отделом математической
геофизики. После реорганизации ИТГ в 1946 г. Андрей Николаевич стал сотрудником Геофизического института АН СССР.
В 1939 г. в возрасте 33 лет Андрей Николаевич был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР по отделению математических и естественных наук по специальности «геолого

Глава 1. Некорректно поставленные задачи

географические науки». (В послевоенные годы в справочниках
указывалась специальность «геофизика».)
После начала Великой Отечественной войны Институт теоретической геофизики, вместе с другими учреждениями Академии наук, был эвакуирован в Казань, а затем частично
в Уфу. Часть эксплуатируемых нефтяных месторождений оказалась на территории, занятой немцами или под угрозой их
захвата. Поэтому был развернут поиск нефти между Волгой
и Уралом. Андрей Николаевич был привлечен к работам по сейсморазведке и электроразведке. Он работал в составе группы,
занимавшейся расшифровкой результатов электрозондирования земной коры в районе г. Ишимбай в Башкирии. Иногда ему
удавалось быть в Казани с семьей, но большую часть времени
он проводил в разъездах. Именно в это время (1943 г.) им была
опубликована в Докладах АН СССР знаменитая работа «Об
устойчивости обратных задач», положившая начало современной теории некорректных задач. Андрей Николаевич всегда
считал, что эта теория и возникла из-за необходимости решать важные прикладные (в том числе геофизические) задачи,
и развитие теории теснейшим образом связано с приложениями.

§ 2. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

В качестве основного объекта наших исследований в этой книге мы будем рассматривать операторное уравнение вида:

Az = u,
(2.1)
где A — линейный оператор, действующий из нормированного
пространства Z в нормированное пространство U.
Французским
математиком
Адамаром
были сформулированы следующие условия
корректности постановки математических
задач, которые мы рассмотрим на примере

Жак Адамар (Jacques
Hadamard), 1865—1963

записанного операторного уравнения. Задача решения операторного уравнения называется корректно поставленной (по
Адамару), если выполнены следующие три условия:
1) решение существует ∀u ∈ U;
2) решение единственно;
3) если un → u, Azn = un, Az = u, то zn → z.

§ 3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства
9

Условие 2) обеспечивается тогда и только тогда, когда оператор A является взаимно однозначным. Условия 1) и 2) означают, что существует обратный оператор A−1, причем его область определения D(A−1) (или область значений оператора R(A)) совпадает с U. В этом случае говорят, что оператор A
есть биекция Z на U. Условие 3) означает, что обратный оператор является непрерывным, т. е. «малым» изменениям правой части u соответствуют «малые» изменения решения z. Более того, Адамар считал, что только корректные задачи должны рассматриваться при решении прикладных задач. Однако
хорошо известны примеры некорректно поставленных задач,
к рассмотрению и численному решению которых приходится
прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных задач. Хочется сразу отметить, что в дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда не выполняется условие 3). Ниже мы
увидим, что в некоторых случаях удается добиться выполнения условий 1) и 2) с помощью уточнения понятия решения
и введения различных обобщенных решений. Нужно отметить,
что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как
определяется пространство решений Z. Выбор пространства
решений (в том числе и нормы в нем) обычно определяется
требованиями прикладной задачи.
Поэтому сначала мы должны определить пространства,
с которыми мы будем встречаться в дальнейшем. Напомним
также некоторые основные определения.

§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ
И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен
элемент x+y ∈ L (называемый суммой элементов x и y), и для
любого элемента x ∈ L и любого (вещественного) числа α определен элемент αx ∈ L (называемый произведением элемента
x на число α), причем выполнены следующие условия:
1) для любых элементов
x, y
∈
L:
x + y
=
y + x
(коммутативность сложения);
2) для любых элементов x, y, z ∈ L: (x + y) + z = x + (y + z)
(ассоциативность сложения);

Глава 1. Некорректно поставленные задачи

3) существует элемент 0 ∈ L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L), такой, что для любого элемента x ∈ L: x + 0 = x (существование нулевого
элемента);
4) для любого элемента x ∈ L существует элемент −x ∈ L
(называемый обратным к x), такой, что x + (−x) = 0
(существование обратного элемента);
5) для любых элементов x, y ∈ L и любого (вещественного)
числа α: α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность умножения суммы элементов на число);
6) для любых (вещественных) чисел α и β и любого элемента x ∈ L: (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность
умножения суммы чисел на элемент);
7) для любых (вещественных) чисел α, β и любого элемента x ∈ L: (α·β)x = α(βx) (ассоциативность умножения
на число);
8) для любого элемента x ∈ L: 1·x = x (свойство единицы).
Элементы линейного пространства называются векторами,
поэтому линейное пространство иногда называется векторным.
Пусть даны элементы x1, . . . , xn ∈ L. Всякая сумма вида
α1x1 + . . .+ αnxn, где α1, . . . , αn — числа, называется линейной
комбинацией элементов x1, . . . , xn. Элементы x1, . . . , xn называются линейно зависимыми, если существует их линейная
комбинация, равная нулевому элементу, где не все числа αk
равны нулю. Если же равенство α1x1+. . .+αnxn = 0 возможно
только при α1 = . . . = αn = 0, то элементы x1, . . . , xn называются линейно независимыми. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых
векторов, а всякий n + 1 вектор линейно зависим. Набор любых n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве
называется базисом.

Пример 3.1 (линейные пространства).
1) Конечномерное векторное пространство Rn, изучаемое в курсе линейной алгебры.
2) Пространство (вещественных) функций, определенных на отрезке [a, b]. Это пространство можно рассматривать как линейное, если определить сумму элементов и умножение на
вещественное число обычным образом. Нулевым элементом