Прикладные нейро-нечеткие вычислительные системы и устройства

ПРИКЛАДНЫЕ  
НЕЙРО-НЕЧЕТКИЕ  
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ 
СИСТЕМЫ И УСТРОЙСТВА

М.В. БОБЫРЬ 
С.Г. ЕМЕЛЬяНОВ 
А.Е. АРхИПОВ 
Н.А. МИЛОСТНАя

Москва 
ИНФРА-М 
2023

Монография

УДК 004.896(075.4)
ББК 32.813.5
 
Б72

Бобырь М.В.
Б72 
 
Прикладные нейро-нечеткие вычислительные системы и устройства : 
монография / М.В. Бобырь, С.Г. Емельянов, А.Е. Архипов, Н.А. Милостная. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 263 с. — DOI 10.12737/1900641.

ISBN 978-5-16-017976-6 (print)
ISBN 978-5-16-110980-9 (online)
Монография посвящена анализу и разработке прикладных нейро-нечетких систем и устройств. Изложены вопросы, связанные с обуче нием 
нейро-нечетких систем вывода. Приведено множество примеров и алгоритмов, поясняющих суть функционирования разработанных методов.
Предназначена для студентов, аспирантов, исследователей, инженеров, 
занимающихся разработкой интеллектуальных систем и устройств управления механизмами.

УДК 004.896(075.4) 
ББК 32.813.5

Р е ц е н з е н т ы:
Ронжин А.Л., доктор технических наук, профессор, директор 
Санкт-Петербургского федерального исследовательского центра Российской академии наук;
Мещеряков Р.В., доктор технических наук, профессор, главный 
научный сотрудник лаборатории № 80 «Киберфизические системы» 
Института проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской академии наук

Монография основана на материалах, полученных в ходе научных 
исследований по Государственному заданию № 0851-2020-0032,  
и подготовлена в рамках выполнения проекта Российского научного 
фонда № 23-21-00071. Авторы выражают благодарность Фонду  
за оказанную поддержку

ISBN 978-5-16-017976-6 (print)
ISBN 978-5-16-110980-9 (online)

© Бобырь М.В., Емельянов С.Г., 
Архипов А.Е., Милостная Н.А., 
2023

Данная книга доступна в цветном  исполнении  
в электронно-библиотечной системе Znanium

Предисловие

Предлагаемая книга является монографией в области разработки нейро-нечетких вычислительных систем и устройств. Предназначена для студентов различных специальностей: приборостроительных, машиностроительных, физико-математических и др. технических вузов. Будет полезна в качестве практического пособия 
для аспирантов, исследователей, преподавателей вузов, научнотехнических работников, инженеров и технологов, работающих 
как в указанных областях, так и в смежных отраслях науки и техники.
В издании изложены вопросы, связанные с обучением нейро-нечетких систем вывода. Приведено большое число примеров и алгоритмов, поясняющих суть работы разработанных методов.
Авторы стремились изложить материал книги с учетом последних исследований и достижений в области адаптации 
и обучения нейро-нечетких систем.
Авторы приносят извинения за возможные опечатки и ошибки.

Введение

В монографии рассматриваются примеры реализации сложных 
систем управления, на входе которых информация о конкретных 
объектах редко бывает полной и достоверной. В таких случаях 
для их реализации широко используется теория нечеткой логики 
(fuzzy logic), предложенная Лотфи Заде в 1965 г., которая позволяет 
оперировать с неопределенными данными. В рамках этой теории 
есть возможность определить промежуточные значения для общепринятых оценок: да — нет, ложь — истина. Лотфи Заде предложил 
использовать функции принадлежности элемента к множеству, 
степень истинности которых может принимать любые значения 
в интервале от 0 до 1, а не только 0 либо 1, как в традиционных 
четких системах. Множества, имеющие функцию принадлежности, 
степень истинности которой находится в диапазоне от 0 до 1, были 
названы нечеткими множествами. Заде также ввел понятие лингвистической переменной и предположил, что она описывается 
кортежем, основными элементами которого являются нечеткие 
множества и правила логического вывода. Это позволило создать 
мощный аппарат синтеза нечетко-логических систем.
Нечеткая логика находит все большее применение в различных 
автоматизированных системах управления. В частности нечеткая 
логика используется в системах управления мобильными роботами, движением различного транспорта и регулировкой потока 
дорожного движения и т.д.; в бытовых приборах (телевизоры, холодильники, стиральные машины, пылесосы и т.п.).
Следует отметить, что интерес к системам управления, работающим на принципах нечеткой логики, постоянно увеличивается. Так, в мире в 1993 г. по тематике нечеткого управления было 
опубликовано порядка 15 тысяч публикаций. В 2000 г. порядка 
30 тысяч публикаций. В 2022 г., по данным издательства Springer 
(http://link.springer.com/), поиск по ключевым словам «нечеткая 
логика» (fuzzy logic) составил порядка 103 тысяч научных работ. 
По данным издательства Elsevier (http://www.sciencedirect.com), 
аналогичный поиск нашел порядка 77 тысяч научных работ.
В России данная тематика также вызывает значительный интерес. Так, количество публикаций на октябрь 2022 года составило 
около 4 тысяч.
Следует отметить, что реальное количество публикаций по тематике, связанной с нечеткой логикой, и количество систем управления, работающих на их основе, значительно больше.

Теория нечеткой логики входит в курсы по искусственному интеллекту программы обучения в вузах.
Реализация систем, основанных на нечеткой логике, все чаще 
выполняется не только на процессорных системах, но и на базе микроконтроллеров и программируемых логических интегральных 
схем, что заметно повышает их производительность и снижает затраты.

Глава 1.  

ОСНОВЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

1.1. ОСНОВНЫЕ ТЕрмИНЫ ТЕОрИИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

Общепринятые математические методы предназначены для обработки точных данных, например, «температура в помещении 
t = 25°C». При этом, оценка возможна только с помощью одноточных (одноэлементных) множеств (рис. 1.1).

0 
25 
50 
t, °C 

рис. 1.1. Представление измерения температуры в помещении

При этом точные данные измерения температуры могут быть получены с помощью различных сенсорных систем. Однако человек 
может оценить температуру в помещении, оперируя терминами 
«низкая температура», «средняя температура» и «высокая температура» (рис. 1.2). Данные выражения в рамках теории нечеткой 
логики называются термами.
Человек не может точно оценить значение температуры в помещении, но приближенно сделать данную оценку он может, сказав, 
что температура в помещении низкая. Информация, представленная в виде термов, имеющих конечную ненулевую ширину, называется нечеткой информацией [1].

0 
20 
30 
t, °С 

Термы: 
t1 – низкая температура; 
t2 – средняя температура; 
t3 – высокая температура 

1 

µT 

10 

t1 
t2 
t3 

рис. 1.2. Представление оценки температуры в помещении

Как отмечено в работе [2], нечеткая логика позволила широко 
использовать новые возможности, предложенные Л. Заде, в различных системах управления. Пусть задана SISO-система (Single 
Input Single Output — система с одним входом и выходом): y = f(x) 
(рис. 1.3).

0 
1 
x

y = f (x) 

y 

7 

1 

5 

рис. 1.3. Взаимосвязь между входным и выходным состояниями  
SISO-системы

В работе [2] рекомендуется для описания данной модели использовать два нечетких правила (НП) (М — Малое, Б — Большое), 
(см. рис. 1.4):
НП1: Если (значение х малое),
То
(значение у малое);
НП2: Если (значение х большое), То
(значение у большое).

Модель, представленная на рис. 1.4, не обладает высокой точностью, так как позволяет управлять только двумя крайними точками А и Аʹ. Для повышения чувствительности нечеткой SISOсистемы необходимо ввести дополнительный терм (С – среднее) 
(рис. 1.5), и добавить еще правило:

П1: Если (значение х малое),
То (значение у малое);
П2: Если (значение х среднее), То (значение у среднее);
П3: Если (значение х большое), То (значение у большое).

Если модель, представленная на рис. 1.5, также не удовлетворяет 
заданной точности, то в нее необходимо добавлять новые термы 
и правила. Следует отметить, что при функционировании нечеткологического вывода существует порог, превышение которого уже 
не влияет на точность исследуемой системы. Поэтому для описания 
переменных, входящих в структуру нечетко-логической системы, 
достаточно не более 9 термов.

0 
1 
x

y = f (x) 

5 
y 

7

1 

0 
1 
µy 

М 

y  

Б 

0 
1  
x
7 

µx 

М 
Б  

А 

А' 

рис. 1.4. SISO-системы с двумя термами: «Малое» и «Большое»

0 
1 
x

5 
y 

7 

1 

0 
1 
µy 

М 

y 

Б 

0 
1 
x
7 

µx 

М 
Б 

С
 

С 

y = f (x) 

рис. 1.5. SISO-системы с тремя термами: «Малое», «Среднее» и «Большое»

Отметим, что нечеткая логика позволяет оценивать и качественные характеристики. С учетом того, что качественная 
оценка не обладает аддитивностью (нет четких числовых значений), например, если сложить «1 литр воды» с «1 литром 
воды», то получится «2 литра воды». А если сложить величину 
«немного воды» с величиной «немного воды», то ответ будет 
непонятен. Ясно, что результат выполнения данной операции 
зависит напрямую от смысла, вкладываемого в каждый из терминов «немного воды». Следовательно, качественные характеристики нельзя агрегировать, как это можно сделать с количественными оценками.
Оперировать с качественными оценками человеку приходится, 
когда он анализирует скорость своего движения. Например, известно, что «скорость пешехода» составляет около 7 км/ч, однако 
при ходьбе мы пользуемся качественной оценкой:

• 
«Я шел очень быстро»;
• 
«Я шел с ускорением»;
• 
«Я шел со скоростью, близкой к 7 км/ч».

Нам легче оперировать качественными характеристиками, 
так как у человека существует некоторое ограничение памяти, 
и с целью ее экономии достаточно делать грубые оценки происходящих событий. Следует учитывать, что в мире существует большое 
количество качественной информации, которую нельзя оценить 
с помощью самых высокоточных сенсоров: прогноз погоды, прогноз 
курса валюты, прогноз природных катаклизмов и т.д.
Но человечество выработало у себя способности оценивать эти 
показатели без каких-либо измерительных приборов. Поэтому нечеткая логика делает попытку трансформировать нечеткие, качественные оценки текущих событий, происходящих в окружающем 
мире и постоянно анализируемых человеческим мозгом, на язык 
математических формул.
Для анализа данных, характеризующих их степень влияния 
на события, Л. Заде [3, 4] ввел понятия нечеткого множества 
и функции принадлежности.
Нечеткое подмножество А области рассуждений U характеризуется функцией принадлежности (ФП) µА: U → [0, 1], которая 
каждому элементу y множества U ставит в соответствие число µА(y) 
из отрезка [0, 1], описывающее степень принадлежности элемента 
у множеству А.

Причем функция принадлежности может быть задана: в непрерывном или дискретном виде; таблицей; аналитическим выражением (формула); формулой с логическим ограничением области 
значений функции принадлежности; суммой или интегралом; 
в виде вектора степеней принадлежности [2].
Одноточечным нечетким множеством называется множество, носитель которого состоит из единственной точки. Если А – одноточечное нечеткое множество, носителем которого является точка y, то

А = y

µ ,

где µ — степень принадлежности y множеству А.
Для четкого (определенного) одноточечного множества Л. Заде 
ввел обозначение 1/y.
При этом Л. Заде выделил, что нечеткое множество можно рассматривать как объединение одноточечных множеств, и записывается оно в виде

 
( ),
A

U

y
A
y
µ
= ∫
 
(1.1)

где ∫ — символ интегрирования, который обозначает операцию 

объединения одноточечных нечетких множеств 
( )
A y
y

µ
.

Если носитель А состоит из конечного числа элементов, то интегрирование заменяется суммированием:

 
1
2

1
2

,
n

n

A
y
y
y
µ
µ
µ
=
+
+
+

 
(1.2)

где µi (i = 1, ..., n) — степень принадлежности элемента yi множеству А, 
при этом знак «+» означает не операцию алгебраического суммирования, а операцию объединения одноточечных нечетких множеств.
Формула (1.2) может быть записана и в виде суммы:

 

1

.

n
i

i
i

A
y
=

µ
= ∑
 
(1.3)

Рассмотрим виды представления функции принадлежности 
для нечеткой переменной «примерно один». Графическая интерпретация данного термина в непрерывном и дискретном видах 
представлена на рис. 1.6.