Начертательная геометрия: сборник задач

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ

С.А. ФРОЛОВ

3-е издание, исправленное

Рекомендовано 

Учебно-методическим советом СПО 

в качестве учебного пособия для студентов 

учебных заведений, реализующих программу 

среднего профессионального образования 

по техническим специальностям

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 514(075.32)
ББК 22.151.3я723
 
Ф91

Фролов С.А.

Ф91  
Начертательная геометрия: сборник задач : учебное пособие / С.А. Фро
лов. — 3-е изд., испр. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 172 с. — (Среднее 
профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-014147-3 (print)
ISBN 978-5-16-108946-0 (online)
Учебное пособие соответствует примерной программе по начертатель
ной гео метрии для вузов технических направлений. Подчеркнута роль 
инвариантных свойств ортогонального проецирования в создании теоретической базы курса. Особое внимание уделено способам образования поверхностей, их заданию на эпюре Монжа.

Для студентов учреждений среднего профессионального образования 

по техническим специальностям.

УДК 514(075.32)

ББК 22.151.3я723

Р е ц е н з е н т ы:

Верховский А.В. — доктор технических наук, профессор, заведу
ющий кафедрой Московского государственного института электроники и математики (Технического университета);

В.И. Лобачов — кандидат технических наук, доцент, заведующий 

кафедрой Московского государственного технического университета 
имени Н.Э. Баумана

ISBN 978-5-16-014147-3 (print)
ISBN 978-5-16-108946-0 (online)
© Фролов С.А., 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ

у

В настоящем сборнике все задачи распределены по разделам, 
соответствующим тематике глав учебника и расположенным в 
той же последовательности, в какой изложены теоретические 
вопросы в учебнике.
Отличительной особенностью настоящего задачника является 
также то, что обширный круг задач, который обычно составляет 
содержание нескольких разделов, в данном задачнике помещен 
всего лишь в двух главах: гл. III – позиционные задачи и гл. IV – 
метрические задачи. Такое объединение позволяет получить 
обобщенные алгоритмы и на их основе дать рекомендации, пригодные для решения широкого круга однотипных задач.
В начале каждой главы даны основные сведения теоретического характера. Особое внимание обращено на инвариантные 
свойства параллельного проецирования. На конкретных примерах показано их применение для решения типовых задач.
При решении задач необходимо графические условия исходных данных увеличивать в 2 раза.
Все замечания и предложения по совершенствованию задачника просим направлять по адресу издательства.

Задачник предназначен для студентов технических специальностей, изучающих начертательную геометрию по учебнику 
С.А. Фролова «Начертательная геометрия» (М.: ИНФРА-М).
Для записи отношений между геометрическими фигурами 
и различных логических высказываний применена система символов, используемых при изложении курса высшей математики.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ

В задачнике, как и в учебнике, для которого он написан, используются обозначения и символы, принятые в курсе математики и геометрии в средней школе.

ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИХ ПРОЕКЦИЙ
ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИХ ПРОЕКЦИЙ

1. Геометрическая фигура обозначается буквой Ф.
2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

A, B, C, D, …, L, M, N, …

1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14 …

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского 
алфавита:
a, b, c, d, …, k, m, n, …
Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фронталь; 
w – профильная прямая.
Для прямых используются также следующие обозначения: 
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; [АВ) – луч с началом 
в точке А; [АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками A и В.
4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого 
алфавита:
, , , , …, , , .
5. Углы обозначаются:
ABC – угол с вершиной в точке В или

°, °, °, …, °.

Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком , 
который ставится над буквенным обозначением угла

АВС
– величина угла ABC;

ϕ°
– величина угла °.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

6. Расстояние между фигурами пространства обозначается 
двумя вертикальными отрезками – ||. Например:
|АВ| – расстояние от точки А до точки В (длина от резка АВ);
|Аα| – расстояние от точки A до поверхности α;
|ab| – расстояние между линиями a и b;
|αβ| – расстояние между поверхностями α и β.
7. Плоскости проекций обозначаются π1, π2, π3, где π1 – горизонтальная плоскость проекций; π2 – фронтальная плоскость 
проекций; π3 – профильная плоскость проекций.
При замене плоскостей проекций новую плоскость обо значают 
той же буквой, что и плоскость, которую она за менила, с добавлением подстрочного индекса π4, π5, π6 и т.д.
8. Оси проекций обозначаются буквами х, у, z.
9. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и 
оригинал, с добавлением верхнего индекса, например:

A′, A″, A′′′;  l′, l″, l′′′;  β′, β″, β′′′;  Ф′, Ф″, Ф′′′.

Верхний индекс соответствует плоскости проекции, на которой они получены. Индексом ′ обозначаются горизонтальные, 
индексом ″ – фронтальные и индексом ′′′ – про фильные проекции.
10. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми 
же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавле нием 
подстрочного индекса 0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.
Так: h0α – горизонтальный след плоскости (поверхности) α; 
f0α – фронтальный след плоскости (поверхности) α.
11. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, 
с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с добавлением подстрочного индекса, указывающего принадлежность к линии, например: На – горизонтальный след прямой 
(линии) а; Fa – фронтальный след прямой (линии) а.

12. Последовательность точек, линий, поверхностей лю бой 
фигуры отмечается подстрочным индексом:

A1,  A2,  A3, …,  An;

l1,  l2,  l3, …,  ln;

β1,  β2,  β3, …,  βn
Ф1,  Ф2,  Ф3, …,  Фn  и т.д.

Вспомогательные проекции точек, линий, поверхностей любой фигуры, полученные в результате преобразования для определения действительной величины геометрической фигуры, обозначаются той же буквой (цифрой) с подстроч ным индексом  0:

A0,  l0,  β0,  Ф0  и т.д.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ОТНОШЕНИЯ 
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ОТНОШЕНИЯ 

МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ
МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ

1. = – совпадают, равны, результат действия.
2. ≅ – конгруэнтны.
3. ∞ – подобны.
4. || – параллельны.
5. ⊥ – перпендикулярны.
6. —⋅ – скрещиваются.
7. → – параллельное проецирование.
8. 
 – отрицание.
9. ∈ – принадлежит, A ∈ l – точка A принадлежит линии l.
10. ⊂ – включает (является подмножеством),  а  a ⊂ γ – поверхность γ включает в себя линию а (или множество точек линии 
а является подмножеством точек поверхности γ).
11. ∪ – объединение множеств, ABCD = [АВ] ∪ [ВС] ∪ [CD] – 
ломаная линия ABCD есть объединение отрезков AB, ВС и CD.
12. ∩ – пересечение множеств, l = α ∩ β – линия l есть результат пересечения поверхностей α и β.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

13. ∧ – конъюнкция предложений, соответствует союзу «и».
14. ⇒ – импликация – логическое следствие, означает: 
«если, … то»; (а||с ∧ b||с) ⇒ а||b – если две прямые параллельны 
третьей, то они параллельны между собой.

15. ⇔ – эквивалентность.
16. ∀ – квантор общности, читается: «для всякого (для любого)»; ∀ (ΔABC) (А+ B+ C= 180°) – для вся кого (для любого) 
треугольника ABC сумма величин углов при вершинах A, B, и C 
равна 180°.

ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
§ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Начертательная геометрия как учебная дисциплина зна комит 
студентов:
а) с методом отображения пространственных фигур на плоскость (построение проекций);
б) с возможностью получить с помощью проекций обратимый 
чертеж;
в) со способами решения на этом чертеже различных задач, 
позволяющих определять метрические характеристики геометрических фигур и позиционные отношения между фигурами.
Любую геометрическую фигуру следует рассматривать как 
множество всех принадлежащих ей точек, соответственно, проекцией геометрической фигуры является множество проекций этих 
точек, поэтому, чтобы упростить понимание сущности проецирования, которое составит основу метода построения проекций, покажем на примере получение про екций только одной точки.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Пусть заданы (рис. 1) плоскость α и точка S1 (S1 ∉ α). 
Принимаем α за плоскость проекций, a S1 за центр, тогда, при заданном аппарате проецирования, точке пространства A (A ∉ β Â S1 

α

A
B

B2
α

S2
S1

A2
α
B1
α
A1
α

           Рис. 1

и β||α) на плоскости α будет однознач но соответствовать точка 
Aα
1 (Aα
1 = [S1 A) ∩ α) – цен тральная проекция точки А.
К сожалению, обратное утверждение не имеет смысла, поэтому одна центральная проекция Aα
1 точки А не дает возможности 
судить о положении точки в пространстве.
Чтобы получить обратимый чертеж, позволяющий по проекции 
судить о положении точки в пространстве, необходимо указать дополнительную проекцию Aα
2, полученную из другого центра S2. 
Зная, как определяются центральные проекции одной точки, не 
составляет труда построить проекции любого числа точек.
На рис. 1 показаны также проекции Bα
1 и Bα
2 точки B.
Две центральные проекции Aα
1, Aα
2 (или Bα
1, Bα
2) одно значно определяют положение точки А (или В).

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

В качестве центров проекций S1 и S2 можно взять несобственные (бесконечно удаленные) точки S1∞ и S2∞. Полученные из 
этих центров проекции точек принято называть параллельными 
проекциями.
На рис. 2 показаны центральные проекции Aα
1, Aα
2 (Bα
1, Bα
2), которые однозначно определяют точку пространства A (В).

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

В инженерной практике для отображения геометрических фигур на плоскости широко применяется метод пря моугольного 
(ортогонального) проецирования.
Ортогональная модель евклидова пространства строится следующим путем: в пространстве выделяются две вза имно перпендикулярные плоскости π1 и π2.
Принимаем их за плоскости проекций (рис. 3). Точки пространства прямоугольно проецируем на плоскость π1, множество 
проекций точек {K′…} образует поле горизон тальных проекций 
точек {K…}. При прямоугольном про ецировании точек K на плоскость π2 получим множество точек {K″…}, образующих поле 
фронтальных проекций.
На рис. 3 показаны точки пространства A и В и их ортогональные проекции A′, A″ и В′, В″. Здесь, как и в ранее рассмотренных случаях (см. рис. 1 и 2), одной точке пространства 
соответствуют две точки – ее проекции.

α

A
B

B2
α

S2
S1

A2
α
B1
α
A1
α

           Рис. 2

Если положение плоскостей π1 и π2 фиксировано, то каждой 
точке пространства будет соответствовать упорядоченная пара 
точек на полях проекций.
Справедливым оказывается и обратное утверждение – упорядоченной паре точек полей проекций соответствует единственная 
точка пространства.
Отмеченное свойство является фундаментальным, составляющим основу построения проекционного чертежа.

ЭПЮР МОНЖА
ЭПЮР МОНЖА

Для получения плоской ортогональной модели евклидова пространства – эпюра Монжа горизонтальную плоскость (см. рис. 3) 
совмещают с фронтальной плоскостью путем ее поворота на 90° 
вокруг оси х в направлении, указанном стрелкой.

A

x

A′
B′

A″
B″
B

Bx
Ax
π2

π1

           Рис. 3

После завершения поворота полуплоскость π1 займет положение, указанное на рис. 4. Вместе с полуплоскостью π1 переместятся и принадлежащие ей горизонтальные проекции A′ и B′ точек А и В.