Вероятностные задачи теории эффективности действия

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана

А.Г. Ришняк, А.Ф. Овчинников

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ  ДЕЙСТВИЯ

 Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 170103  «Cредства поражения
и боеприпасы»

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 519.21(075.8)
ББК  22.17
           Р57

Рецензенты: В.А. Попов, А.К. Ефремов

 Ришняк А.Г., Овчинников А.Ф.
Вероятностные задачи теории эффективности действия:
Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –
304  с.: ил.
ISBN 5-7038-2847-3

Приведен краткий обзор основных разделов теории вероятностей, необходимых для овладения экспресс-методиками эффективности действия. Изложение материалов дополнено подробными
решениями специально подобранных задач. Продемонстрирована
целесообразность применения математической системы MATLAB,
позволяющего сосредоточить внимание на анализе решений. Показано, что последовательная алгоритмизация расчетов (в частности,
применение объектно-ориентированных методов, универсальных
средств, основанных на методах статистического моделирования)
может существенно изменить технологию решения вероятностных
задач и позволит отказаться от ряда принципиальных допущений,
вынужденно принимаемых в обычных расчетах.
Учебное пособие соответствует курсу лекций «Эффективность
действия», читаемых на кафедре «Высокоточные летательные аппараты». Предназначено для студентов старших курсов.

                                                                                                           УДК 519.21(075.8)
                                                                                                 ББК 22.17

 ISBN 5-7038-2847-3                                                  © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Р57

ВВЕДЕНИЕ

Количественные характеристики работоспособности проектируемых изделий обычно оценивают их номинальными значениями, вычисленными в условиях полной детерминированности процессов их функционирования. Такой подход правомерен, если
влияние неконтролируемых факторов на эксплуатационные характеристики в реальных условиях применения не столь велико, чтобы поставить под сомнение проектные решения, принятые по номинальным оценкам. Так, если на основании баллистических
расчетов обеспечена требуемая по техническому заданию дальность полета, то она будет подтверждена и на полигонных испытаниях. Хотя реальная дальность и отличается от расчетной из-за
влияния случайных факторов, эта разница отчасти не имеет значения с точки зрения досягаемости цели, отчасти может быть учтена
заранее при грамотном проведении проектных расчетов или исправлена при доработке конструкции.
Другое дело – влияние рассеивания траектории полета на эффективность действия по цели. Случайные отклонения от расчетной точки встречи могут привести к несравнимым результатам: от
достоверно успешного действия при благоприятной комбинации
случайных факторов до нулевого. Оценка по искусственно детерминированной схеме при определяющем влиянии случайных факторов теряет смысл. Тем не менее при многократном повторении
стрельбы в одних и тех же условиях обнаруживаются закономерности в уровне действия по цели. Выявив эти закономерности,
оценив их количественно, можно сравнивать альтернативные варианты изделия по этим оценкам и выбирать из них объективно
лучший. На этом основан целенаправленный поиск оптимальных
проектных решений.
Изучением закономерностей в случайных явлениях занимается
теория вероятностей. Аппарат теории вероятностей составляет математическую основу теории эффективности, которая позволяет
вырабатывать критерии оценки соответствия проектируемых изделий и тактики их применения поставленным целям. Показателя

ми эффективности, которые учитываются в критерии качества,
обычно являются неслучайные характеристики случайных величин (математическое ожидание числа пораженных целей, доля пораженной площади и т. п.). Для вычисления показателей эффективности необходимо иметь полное описание случайных величин.
Исходную информацию для таких описаний приходится «добывать», проводя испытания в реальных условиях, поэтому по мере
усложнения проектируемых изделий резко возрастает стоимость
набора статистики. В связи с этим современному инженеру очень
важно уметь эффективно распоряжаться имеющимися данными,
умело оперировать вероятностными методами.
Учебное пособие посвящено практическим методам решения
типовых задач по основным разделам теории вероятностей и содержит в компактном виде необходимые основы теории. Подбор
задач, порядок их расположения  связаны с изложением материала,
некоторые теоретические результаты выводятся в ходе решения
задач, поэтому анализировать решения рекомендуется не выборочно, а систематически.
Большинство задач решаются с помощью инженерного калькулятора. Не теряют актуальности и традиционные табличные методы, так как не везде есть компьютер (например, в лекционной аудитории). Но, отдавая должное отработанным десятилетиями
методам вычислений в теории вероятностей и даже максимально
облегчая их применение (в приложении приведены наиболее часто
используемые таблицы), авторы не отказываются от преимуществ
компьютерной технологии. Многие задачи решены с помощью
системы MATLAB, приведены листинги файл-функций и команды, позволяющие воспроизводить эти методы в самостоятельной
работе. Конечно, учебное пособие не может служить введением в
MATLAB, в нем нет даже начальных сведений об этой системе. Но
действие специфических языковых конструкций подробно объясняется, они прозрачны в контексте решаемых задач, а легкость получения результатов может послужить для читателя стимулом к
освоению достаточно удобной вычислительной среды по имеющимся в изобилии руководствам.
Следует обратить внимание на то, что эта легкость достигается
после некоторых усилий. Программирование, даже в таких развитых математических средах, которые предоставляют MATLAB
или более популярный у студентов MathCAD, – не совсем подходящий способ решения нетривиальных задач, чаще всего отвле

кающий от проблем, породивших эти задачи. Необходима подготовленная для определенной области применения технология, основанная на программных компонентах, открытых для модификации и доработки. Программы, представленные в учебном пособии
в ходе решения задач, иллюстрируют применение теории и образуют согласованный пакет, который может составить основу компьютерной технологии решения вероятностных задач при оценке и
оптимизации эффективности действия. Полностью пакет программ
содержится в электронном курсе лекций «Эффективность действия» и на прилагаемом компакт-диске. Тексты программ в учебном пособии приведены в качестве иллюстраций. Эти программы,
как правило, работоспособны, но могут отличаться от рабочих
программ в пакете. Программы, составленные специально для решения конкретной задачи, обозначены словом task с добавлением
номеров главы и задачи. Такие программы помещены в отдельную
папку для каждой главы, доступ к папке должен быть установлен
только при решении задач данной главы. Универсальные программы помещены в папку Ver, к которой установлен постоянный
доступ.
 Открытость кода в MATLAB, позволяющая вдумчивым пользователям разбираться в готовых программах по всей цепочке расчетов и в случае необходимости вносить изменения, — не единственное достоинство, повлиявшее на выбор этого пакета для
решения задач. Развитая библиотека математических программ,
векторная обработка данных, удобные средства графической визуализации, возможность применения объектно-ориентированной
технологии программирования идеально отвечают первоначальному замыслу данного учебного пособия: поднять уровень решения вероятностных задач за счет применения компьютерной технологии без существенного смещения центра внимания в сторону
ее программной реализации. Цель включения в основной текст
большого количества программ не в том, чтобы научить программированию, а в том, чтобы лучше раскрыть прикладные аспекты
теории вероятностей, свободные от обычно применяемых вынужденных упрощений (предположение о независимости событий или
несовместности гипотез и т. д.). Выразительный, математически
емкий язык MATLAB в данном случае используется для формального изложения математических отношений теории вероятностей.
Особую роль играют программные структуры, объединяющие самые существенные свойства (данные) и модели поведения (вычис

лительные процедуры) выделенных классов объектов. Их можно
рассматривать как активные модули знаний, и в определенном
смысле программирование классов сродни обучению: в основе
лежит систематизация знаний, программное исполнение дает опыт
их алгоритмизации, а решение задач с использованием классов в
чистом виде демонстрирует оптимальную методику применения
знаний. Объектно-ориентированная технология представлена всего несколькими классами (двухмерные случайные векторы и плоские фигуры), но их применение сильно упростило процедуру решения разнообразных задач, связанных с вероятностью попадания
в заданную область.
То, что для решения вероятностных задач пришлось активно
воспользоваться компьютерными технологиями, вполне естественно, но совсем не означает, что освоение языка программирования обязательно для понимания способов решения задач и тем более для интерпретации результатов. Программы объясняются не
как языковые конструкции, а как рабочие процедуры решения задач. Авторы надеются, что многообразие смысловых контекстов
(теория, задачи, программы, диалог с компьютером) не вызовет
затруднений у читателя. Всего в тексте встречаются четыре типа
фрагментов, набранных различными шрифтами:
– теоретический материал;
– условия и решения задач;
– тексты программ;
– тексты из рабочего окна MATLAB.
Если в основном тексте в ходе объяснения встречаются имена
программ, идентификаторы или отдельные операторы, то они выделены как тексты программ. Результаты вычислений в основной текст вставлены копированием соответствующих фрагментов
рабочего окна, поэтому они выглядят как тексты из рабочего окна
MАTLAB.
Как правило, необходимость разработки компьютерных программ естественным образом вытекает из характера поставленных
задач. Но есть и такие задачи (они помечены «звездочкой»), в которых ставится цель разработки программ как инструментов решения
определенного класса проблем. В их решении обсуждаются не содержательные результаты, а рациональная технология составления
программных средств для решения вероятностных задач. Без ущерба
для понимания предмета эти задачи можно не рассматривать.

Некоторое усложнение от внедрения компьютерной технологии в классические разделы теории вероятностей оправдано тем,
что ее применение позволило выйти за пределы традиционных задач. В рамках созданной технологии стало возможным решение
оптимизационных задач, которые тесно связаны с оценкой эффективности действия, выступающей, как правило, в роли критерия
качества в оптимальном проектировании. Но главную перспективу
развития компьютерной методологии решения вероятностных задач при инженерной оценке эффективности действия авторы видят
в творческом продолжении усилий по расширению круга задач,
нашедших адекватную интерпретацию в рамках уже созданных и
доработанных программных средств. Авторы стремились в описании решений не столько к самим решениям, сколько к построению
целесообразной процедуры получения результата, исходя из того,
что вооруженные необходимыми знаниями и навыками их применения будущие специалисты успешно решат не только приведенные в пособии типовые задачи, но и разнообразные проблемы, которые их ожидают в практической деятельности.

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Непосредственный расчет вероятностей

Множество элементарных событий, несовместных, образующих полную группу и равновозможных, называют случаями, или шансами. Если
событию А благоприятствуют m шансов из n, то вероятность А определяют согласно формуле

( )
.
m
P A
n
=
                                               
(1.1)

Для решения задач по схеме случаев нужно определить множество
элементарных событий так, чтобы они были шансами, а затем правильно
вычислить знаменатель и числитель. Сложным в этой процедуре может
быть только первый этап – построение схемы случаев. Так, при ответе на
вопрос: «С какой вероятностью по пути к метро вы встретите пьяного
инопланетянина?» было бы неправильно рассматривать в качестве случаев два исхода (встречу, не встречу) и на основании того, что означенному
событию благоприятствует один исход из двух, определить его вероятность по формуле (1.1) как 1/2. Ошибка в том, что рассмотренные элементарные исходы неравновозможны.
1.1. По k целей действуют r поражающих элементов (ПЭ), каждый из которых выбирает себе цель независимо от других. В этой
ситуации все ПЭ могут выбрать одну и ту же цель – это случайное
событие обозначим А. Если 
,
r
k
<
то может произойти и событие В – все ПЭ действуют по разным целям. Определить вероятности событий А и В при k = 5, r = 2.
Р е ш е н и е . Выбор целей без согласования происходит по схеме выборки с возвратом: в урне находятся k перенумерованных
шаров, r раз из урны выбирают по одному шару, записывают его
номер и возвращают обратно. Таким образом, элементарный исход в данном опыте  – последовательность из r чисел, каждое из
которых независимо от других принимает одно из k возможных
значений. Общее число таких исходов n
k k
k
=
⋅ (r сомножителей). Из них только k могут иметь все одинаковые номера, значит,
,
A
m
k
=
следовательно,

2
5
1
( )
.
5
5

A
r
m
k
P A
n
k

=
=
=
=

Число 
B
m  исходов, в которых все цели разные, можно получить по схеме выборки без возврата: после извлечения из урны
номер шара записывают, а шар в урну не возвращают. Так как в
первом извлечении число возможностей k, а после каждого извлечения оно уменьшается на 1, то в r повторениях возможных комбинаций всего 
(
1)
(
1)
r
B
k
m
A
k k
k
r
=
=
−
−
+
– число размещений
из k элементов по r. Эти комбинации входят в число выборок с

возвратом, т. е. в общее число исходов в данном опыте 
,
r
n
k
=
следовательно,

2
(
1)
(
1)
5 4
4
( )
.
5
5

B
r
m
k k
k
r
P B
n
k

−
−
+
⋅
=
=
=
=
Очевидно, что только при двух целях события A и B образуют полную
группу, поэтому P(A) + P(B) = 1/5 + 4/5 = 1. Но, например, при r =

= 3 P(A) + P(B) = 5
5 4 3
13
3
3
25
5
5

⋅ ⋅
+
=
 и с вероятностью 12

25
 может произойти

событие, не совпадающее ни с A, ни с B.
Еще в одном классе задач, связанных с непосредственным расчетом
вероятностей, имеют дело с выборками без возврата, не различающими
перестановки элементов в выборке, называемыми в комбинаторике сочетаниями.  Число таких выборок из k элементов по r

(
1)
(
1)
!
.
!
!
!(
)!

r
A
k k
k
r
k
r
k
Ck
r
r
r k
r
−
−
+
=
=
=
−
…

1.2. Из партии N деталей, в которой содержится k бракованных,
случайным образом отбирают для контроля М штук. Какова вероятность того, что в контрольной выборке окажется r бракованных
деталей (случайное событие А)?
Р е ш е н и е . Мысленно перенумеровав все детали числами от 1
до N, можно представить элементарный исход как последовательность M чисел, каждое из которых принимает значение из множества номеров, но все числа в последовательности разные. Общее
число равновозможных исходов 
.
M
N
n
C
=
 Из них в число благо

приятных для события А попадают те выборки, в которых r деталей взяты из k бракованных, а остальные (M – r) – из (N – k) годных, значит, 
r
M r
k
N k
m
C C
−
−
=
. Итак,

( )
.
r
M r
k
N k
M
N

C C
P A
C

−
−
=

1.2. Геометрические вероятности

Во многих случаях несовместные, образующие полную группу элементарные исходы составляют континуальное множество, так что пересчитать их нельзя, но есть основания полагать, что все они равновозможны. Тогда в формуле непосредственного расчета вероятностей число
возможных исходов следует заменить на меру множества возможных исходов Ω (длину, площадь, объем), а число благоприятных исходов – на
меру соответствующей части этого множества A:

Мера( )
( )
.
Мера( )

A
P A =
Ω
                                          
(1.2)

1.3. Два студента договорились встретиться в интервале времени от 13.00 до 14.00 с условием, что каждый приходит в любой
момент данного интервала без предпочтений и ожидает не более
четверти часа, после чего, если встреча не состоялась, уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?
Р е ш е н и е . Если моменты прихода студентов на встречу относительно начала часового интервала обозначить t1 и t2, то элементарные исходы этого опыта – пары (t1, t2), которым соответствуют
все точки квадрата, показаного на рис. 1.1. Благоприятные для
встречи 
исходы 
ограничены 
условием

1
2
1/ 4
t
t
−
<
и соответствуют закрашенной
части квадрата. Поэтому

2
Площадь( )
1
(3/ 4)
7
( )
.
Площадь( )
1
16
A
P A
−
=
=
=
Ω

1.4. В устройство поступают сигналы по
двум каналам, причем поступление каждого
Рис. 1.1