Вероятностные методы в механике машин и конструкции

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 531.8:519.2(075) 
ББК 34.42 
  Г 962 

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.П. Чирков; 
д-р техн. наук, проф. О.Н. Тушев 

Гусев А.С. 
Г 962 
Вероятностные методы в механике машин и конструк- 
ций : учеб. пособие / А.С. Гусев; под ред. В.А. Светлицкого. – 
М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 224 с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3160-1 

Изложены методы анализа нагруженности и расчетного прогнозирования надежности и ресурса элементов машин и конструкций, находящихся в эксплуатации под воздействием различных 
случайных факторов. Представлены прикладные методы теории 
вероятностей и теории случайных процессов. Рассмотрены случайные колебания в линейных и нелинейных упругих системах. Проведен структурный анализ траекторий случайных процессов. Описаны методы расчета на усталость, трещиностойкость и живучесть 
элементов конструкций. Дана оценка остаточного ресурса конструкций. 
Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, 
который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов и аспирантов технических университетов, специализирующихся по динамике и прочности машин. 
 
УДК 531.8:519.2(075) 
                                                                       ББК 34.42 

 
© Гусев А.С., 2009 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3160-1 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................... 
4 
1. Основные понятия и определения ........................................................ 
5 
2. Случайные величины и их характеристики ......................................... 12 
3. Законы распределения вероятностей ................................................... 16 
4. Теория редких событий ......................................................................... 18 
5. Системы случайных величин ................................................................ 21 
6. Функциональные преобразования случайных величин ..................... 28 
7. Параметрическая надежность ............................................................... 38 
8. Математическое описание случайных процессов ............................... 42 
9. Функциональные преобразования случайных процессов .................. 55 
10. Задачи и методы статистической динамики линейных систем  
      с конечным числом степеней свободы ............................................... 62 
11. Метод стохастических дифференциальных уравнений .................... 72 
12. Метод функций Грина ......................................................................... 75 
13. Метод спектральных представлений Фурье ...................................... 83 
14. Метод главных координат ................................................................... 93 
15. Особенности статистической динамики систем с кинематическими  
      воздействиями ...................................................................................... 96 
16. Метод стохастических дифференциальных уравнений в статисти- 
      ческой динамике нелинейных систем ................................................ 102 
17. Метод малого параметра в статистической динамике нелинейных 
     систем ..................................................................................................... 104 
18. Метод статистической линеаризации ................................................ 108 
19. Метод марковских процессов ............................................................. 118 
20. Статистическая динамика распределенных систем .......................... 123 
21. Задачи структурного анализа случайных процессов ........................ 128 
22. Совместное распределение вероятностей для случайного процесса  
      и его производных ................................................................................ 130 
23. Нули, выбросы, перегибы траекторий и другие особые точки  
      случайных процессов ........................................................................... 138 
24. Длительность выбросов и интервалов времени между ними .......... 143 
25. Скорость и кинетическая энергия в момент начала выброса ........... 147 
26. Максимумы случайных процессов ..................................................... 149 
27. Значения случайного процесса в точках перегиба траекторий ........ 153 
28. Амплитуды и средние значения простых циклов ............................. 154 
29. Методы приведения случайных процессов со сложной структурой  
      к процессам с простой структурой ..................................................... 156 
30. Абсолютный максимум случайных процессов и оценка вероятно- 
      сти внезапного отказа .......................................................................... 161 
31. Расчеты на сопротивление усталости ................................................ 167 
32. Расчеты на трещиностойкость и живучесть ...................................... 190 
33. Прогнозирование остаточного ресурса .............................................. 208 
Список литературы .................................................................................... 223 

Памяти В.В. Болотина 

посвящается 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие представляет собой конспект лекций, прочитанных автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана и 
МГТУ МАМИ, обучающимся по специальностям «Динамика и 
прочность машин» и «Прикладная механика». Оно соответствует 
программам курсов «Статистическая динамика и надежность машин и конструкций», «Случайные процессы и их анализ», которые 
являются продолжением и развитием курсов «Сопротивление материалов», «Теоретическая механика», «Аналитическая механика 
и теория колебаний». 
Внешние случайные воздействия на машины и конструкции и 
их прочностные характеристики описываются методами теории 
вероятностей и методами теории случайных процессов. 
Используемые в учебном пособии специальные математические методы анализа кратко изложены в § 1. Понятие о случайных 
величинах, способах их представления и законах распределения 
вероятностей приведены в § 2 и 3, а примеры их применения к теории редких событий – в § 4. 
Особенности математического анализа систем случайных величин и методов их функциональных преобразований представлены в 
§ 5 и 6, а примеры использования этой информации для оценки параметрической надежности систем – в § 7. Способы описания непрерывных случайных процессов и методы их функциональных 
преобразований приведены в § 8 и 9. Методы статистической динамики линейных систем с конечным числом степеней свободы 
рассмотрены в § 10–15, нелинейных систем – в § 16–19, а распределенных систем – в § 20. Решения задач по структурному анализу 
траекторий случайных процессов представлены в § 21–30. Методы 
расчета на сопротивление усталости, трещиностойкость и живучесть элементов конструкций с прогнозированием остаточного ресурса изложены в § 31–33. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Дельта-функция Дирака и единичная функция Хевисайда 

Дельта-функция Дирака ( )
x
δ
 определяется выражениями 

 

( )
0 при
0;
(0)
;

( )
1 при
0.

x
x

x dx

+ε

−ε

δ
=
≠
δ
= ∞

δ
=
ε >
∫
 
(1.1) 

Для любой функции 
( )
x
ϕ
 справедливо 
соотношение (интеграл Дирака) 

  
0
0
0
( ) (
)
(
),
.

b

a

x
x
x
dx
x
a
x
b
ϕ
δ
−
=ϕ
≤
≤
∫
   (1.2) 

Соотношение (1.2) выражает фильтрующее свойство дельта-функции. 
Из (1.1) и (1.2) следует равенство 

    
( )
( )
0
0
( 1)
( )
(
)
(
),

b
n
n
n

a

x
x
x
dx
x
−
ϕ
δ
−
=ϕ
∫
   (1.3) 

где 
1, 2, ...
n =
 – порядок производных. 
К дельта-функции можно прийти следующим образом. 
Рассмотрим функцию (рис. 1.1) 

            
2
0
при
0,
( )
0,5
при
0.

x
y x
x
x

<
⎧⎪
= ⎨
≥
⎪⎩
            (1.4) 

Первая производная этой функции 

            
0
при
0,
при
0.
x
z
y
x
x

<
⎧
=
=
′
⎨
≥
⎩
            (1.5) 

Рис. 1.1 

Производная функции ( ),
z x  или вторая производная функции 
( ),
y x  определяет единичную функцию Хевисайда: 

 
0
при
< 0,
( )
1
при
0.
x
x
x
⎧
= ⎨
≥
⎩
1
 
(1.6) 

В симметричной форме эту функцию также можно записать в виде 

 
0,5
при
0,
( )
0,5
при
0.

x
x
x

−
<
⎧
= ⎨
>
⎩
1
 
(1.7) 

Производная функции Хевисайда определяет дельта-функцию 
Дирака: 

 
( )
( ).
x
x
′
δ
= 1
 
(1.8) 

Дельта-функцию также можно задать с помощью следующих 
пределов: 

 
2
2
( )
lim
exp(
);
x
x
α→∞
α
δ
=
−α
π
 
 (1.9) 

 
sin
( )
lim
.
x
x
x
ω→∞

ω
δ
=
π
 
(1.10) 

Соотношение (1.10) можно записать в виде интеграла: 

 
1
( )
,
2

i x
x
e
d

∞
ω

−∞

δ
=
ω
π ∫
 
(1.11) 

где  

cos
sin
.
i x
e
x
i
x
ω =
ω +
ω  

Приведенные выше определения дельта-функции (1.1), (1.9) –
(1.11) равнозначны; их используют в том виде, в котором в каждом 
конкретном случае это оказывается наиболее удобным. 
Из соотношений (1.8) и (1.11) следует интегральное представление функции Хевисайда: 

1
( )
.
2

i x d
x
e
i

∞
ω

−∞

ω
=
π
ω
∫
1
 

Преобразование Фурье 

Преобразование Фурье Ф( )
ω  (трансформанта Фурье, интеграл 
Фурье или комплексный амплитудный спектр Фурье) абсолютно 
интегрируемой функции ( )
x t определяется равенством  

 
1
Ф( )
( )
,
2

i t
x t e
dt

∞
− ω

−∞
ω =
π ∫
 
(1.12) 

где  

cos
sin
.
i t
e
t
i
t
− ω =
ω −
ω  

Обратное преобразование Фурье имеет вид 

 
( )
Ф( )
.
i t
x t
e
d

∞
ω

−∞

=
ω
ω
∫
  
(1.13) 

При ( )
( )
x t
t
= δ
 получаем 

1
Ф( )
;
2
ω =
π  

 
1
( )
,
2

i t
t
e
d

∞
ω

−∞

δ
=
ω
π ∫
 
(1.14) 

т. е. дельта-функцию можно представить в виде интеграла Фурье. 
Следует отметить, что соотношения (1.11) и (1.14) с точностью до 
обозначений совпадают. 
Примем за определение дельта-функции соотношение (1.14) и 
покажем справедливость преобразований Фурье (1.12) и (1.13). 
Для этого умножим обе части (1.12) при 
1
t
t
=
 на exp(
)
i t
ω
и проинтегрируем полученное равенство по ω : 

1

1

1
1

(
)
1
1
1
1
1

1
( )
( )
2

1
( )
( ) (
)
( ).
2

i t
i t
i t

i
t t

e
d
e
x t e
dt d

x t
e
d
dt
x t
t
t dt
x t

∞
∞
∞
− ω
ω
ω

−∞
−∞
−∞

∞
∞
∞
ω −

−∞
−∞
−∞

⎡
⎤
Φ ω
ω =
ω =
⎢
⎥
π
⎢
⎥
⎣
⎦

⎡
⎤
=
ω
=
δ
−
=
⎢
⎥
π
⎢
⎥
⎣
⎦

∫
∫
∫

∫
∫
∫

 

Таким образом, вновь получаем соотношение (1.13). 
Физический смысл преобразований Фурье (1.12) и (1.13) состоит в представлении функции 
( )
x t  в виде бесконечной суммы 
гармоник. Распределение амплитуд по частотам этих гармоник 
описывается функцией 
( )
Φ ω . Поскольку реальные процессы задают на конечном интервале времени, необходима оценка точности вычисления амплитудного спектра. Для решения этой задачи 
сначала найдем преобразование Фурье 
1 2
Ф
( )
x x
ω  для произведения 

двух функций 
1( )
x t  и 
2( )
x t , имеющих преобразования Фурье 

1
Ф ( )
x ω  и 
2
Ф
( )
x
ω  соответственно. Используя соотношения (1.12) 

и (1.13), получаем 

1 2
1

1

1
2
2

(
)
2

1
1
Ф
( )
( )
( )
( )
( )
2
2

1
( )
( )
,
2

i t
i t
i t
x x
x

i
t
x

x t x
t e
dt
x
t e
e
d
dt

x
t e
dt d

∞
∞
∞
− ω
− ω
θ

−∞
−∞
−∞

∞
∞
− ω−θ

−∞
−∞

⎡
⎤
ω =
=
Φ
θ
θ
=
⎢
⎥
π
π
⎢
⎥
⎣
⎦

⎡
⎤
=
Φ
θ
θ
⎢
⎥
π
⎢
⎥
⎣
⎦

∫
∫
∫

∫
∫

 

или  

 
1 2
1
2
Ф
( )
Ф ( )Ф
(
)
.
x x
x
x
d

∞

−∞
ω =
θ
ω − θ
θ
∫
  
(1.15) 

Формула (1.15) называется формулой свертки или равенством 
Парсеваля. 
Пусть реализация 
( )
Тx
t  процесса ( )
x t  задана на конечном интервале времени T . Тогда можно записать:  

( )
( ) ( ),
Тx
t
x t w t
=
 

где «временнóе окно» определяется как 

1,
,
2
( )
0,
.
2

T
t
w t
T
t

⎧
≤
⎪⎪
= ⎨
⎪
>
⎪⎩

 

Если амплитудные спектры процесса ( )
x t и функции 
( )
w t  обозначить через 
( )
Φ θ  и Ф ( )
w θ , то в соответствии с (1.15) получаем 
следующие соотношения для определения амплитудного спектра 
Ф ( )
Т ω  процесса 
( ):
Тx
t
 

 
Ф ( )
Ф( )Ф (
)
Ф ( )Ф(
)
,
Т
w
w
d
d

∞
∞

−∞
−∞
ω =
θ
ω − θ
θ =
θ
ω − θ
θ
∫
∫
  
(1.16) 

где  

2

2

sin(
)
1
2
Ф ( )
.
2

T
i t
w
T

T

e
dt
θ

−

θ

θ =
=
π
πθ
∫
 

С учетом (1.10) при T → ∞  имеем Ф (
)
(
).
w ω − θ → δ ω − θ  
Функция Ф ( )
w θ  представлена на рис. 1.2.  
Поскольку функция Ф ( )
w ω  является периодической, то в соответствии с (1.16) при T ≠ ∞  различие в спектрах функций и 
( )
Тx
t  
( )
x t  состоит в том, что спектр функции 
( )
Тx t  по сравнению со спектром функции ( )
x t  определяется на большем интервале частот и включает ложные пики. Так, если спектр функции 
( )
x t  на частоте 
0
ω  описывается дельта
функцией (
)
0
δ ω− ω
, то спектр функции 

( )
Тx
t  имеет вид функции 
(
)
0
Ф
,
w ω− ω
 
т. е. вычисляется на конечном интервале 
частот и включает ложные пики. 
Указанные особенности реальных 
спектров, в частности, ограничивают 
возможность различать их пиковые 
Рис. 1.2 

значения на близких частотах. В связи с этим, поскольку период 
функции Ф ( )
w θ  равен 2
Т
π
, для того чтобы различать пики амплитудного спектра на частотах 
1
ω  и 
2,
ω
 процесс должен быть 
записан в течение интервала времени 
2
1
2
(
)
Т >
π
ω − ω
. 
Следует отметить, что определение дельта-функции в виде интеграла Фурье (1.14) позволяет представить производные этой 
функции в виде 

 
( ) ( )
1
( )
(
0,1, 2, ...).
2

n
n i t
t
i
e
d
n

∞
ω

−∞
δ
=
ω
ω
=
π ∫
 
(1.17) 

Специальные функции и интегралы 

В статистической динамике часто используют следующие специальные функции. 
Гамма-функция 

 
( )
1

0
Г
.
t x
х
e t
dt

∞
−
−
= ∫
 
(1.18) 

Неполная гамма-функция 

 
(
)
1
Г
,
.
t x
х
e t
dt

∞
−
−

α
α = ∫
 
(1.19) 

Функция ошибок 

 
( )

2

0

2
.

x
t
erf x
e
dt
−
=
π∫
 
(1.20) 

Интеграл вероятностей 

 
( )

2

2

0

2
Ф
.
2

t
x

х
e
dt
−
=
π ∫
 
(1.21) 

Функция нормального распределения вероятностей