Газовая динамика

Н.В. Быков

Газовая динамика  

Одномерные течения совершенного газа

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 533
ББК 22.253.3

Б95

ISBN 978-5-7038-5373-3

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2020

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6765

Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Ракетные и импульсные системы»

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

 
Быков, Н. В.

 
 
Газовая динамика. Одномерные течения совершенного газа : учебное 

пособие / Н. В. Быков. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 105, [1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5373-3

Представлена первая часть курса «Газовая динамика» (первый семестр). Изложены 

вопросы, касающиеся термодинамических свойств газов, одномерных стационарных 
и нестационарных течений. Рассмотрены основные термодинамические свойства газов, 
существенные для газовой динамики; теория одномерных стационарных течений 
в каналах переменного сечения, в том числе в соплах реактивных двигателей; теория 
прямого скачка уплотнения; теория одномерных нестационарных движений с образо-
ванием ударных волн и волн разрежения; задача о вылете тела под действием сжатого 
газа и основные аналитические и численные методы ее решения. 

Для студентов, обучающихся по специальности 17.05.02 «Стрелково-пушечное,  

артиллерийское и ракетное оружие», а также научных работников и инженеров.

УДК 533
ББК 22.253.3

Б95

Предисловие

Целями изучения дисциплины «Газовая динамика» в первом семестре яв-

ляются усвоение основных законов, описывающих течения газа в каналах, а 
также умение применять их на практике.

Задачи изучения дисциплины:
– освоение теоретических основ описания одномерных течений газа;
– изучение особенностей применения законов сохранения одномерной 

газовой динамики в различных ситуациях, закономерностей одномерного ста-
ционарного течения газа в соплах ракетных двигателей и нестационарного 
одномерного течения газа при выстреле из ствольной системы.

В результате изучения дисциплины студент должен:
– знать термодинамические аспекты записи газодинамических уравне-

ний, различные виды записи уравнений сохранения массы, импульса и энер-
гии, условия применимости основных уравнений газовой динамики;

– уметь работать с научно-технической литературой, проводить в ней по-

иск данных об уравнениях состояния и физических свойствах газов;

– владеть методами расчета течений в газодинамических трактах устройств; 

навыком составления математических моделей работы основных газодина-
мических устройств.

На основе теории одномерного течения совершенного газа описаны прин-

ципы работы двух важнейших технических устройств — сопла реактивного 
двигателя и ствольной метательной установки на сжатом газе.

Особенностью ракетных двигателей, работающих на твердых топливах, 

является то, что они обладают большим участком стационарной работы, по-
этому в большинстве случаев для их описания применяется стационарная те-
ория. Процесс выстрела из любой ствольной системы, напротив, является 
существенно нестационарным. В то же время при описании выстрела почти 
всегда можно ограничиться одномерной моделью, для ракетных систем это 
утверждение справедливо гораздо реже.

Для изучения «Газовой динамики» необходимо предварительное освоение 

следующих дисциплин учебного плана:

 
• «Интегралы и дифференциальные уравнения»;

 
• «Линейная алгебра и функции нескольких переменных»;

 
• «Физика»; 

 
• «Теоретическая механика»;

 
• «Информатика».
Освоение дисциплины «Газовая динамика» предшествует изучению сле-

дующих дисциплин образовательной программы:

Предисловие 

 
• «Баллистика ракетного и ствольного оружия»;

 
• «Проектирование ракетного оружия»;

 
• «Проектирование ствольного оружия»;

 
• «Тепломассообмен в ракетном и ствольном оружии».
Настоящее учебное пособие является попыткой восполнить пробел, име-

ющийся в учебно-методической литературе по газовой динамике для студентов 
технических вузов, поскольку многие учебники по газовой динамике давно 
стали библиографической редкостью.

С момента начала активного развития газовой динамики как отдельного 

раздела механики сплошной среды, которое сопровождалось совершенство-
ванием методов расчета и проектирования летательных аппаратов и других 
технических устройств, на фоне увеличения производительности вычисли-
тельной техники в изучении этой науки акценты существенно сместились. 
Это связано в первую очередь с тем, что классические аналитические подхо-
ды все больше используются только для приближенной оценки, поскольку в 
современных условиях имеется возможность провести численное моделиро-
вание довольно сложных газодинамических процессов в разумное время. При 
этом разрыв между базовыми знаниями газовой динамики и теми знаниями, 
которые требуются для овладения методами расчетов течений, заложенными 
в современных вычислительных пакетах, весьма велик. 

Возможность применения вычислительных пакетов на уровне пользова-

теля, без глубокого понимания сути проводимых вычислений, отодвигает на 
второй план различные приближенные и диаграммные методы, которые тре-
бовались для повышения точности аналитических расчетов, когда нельзя бы-
ло провести полноценное моделирование. В то же время будет преувеличени-
ем считать, что роль основных аналитических методов расчета снизилась, 
потому что в отличие от единичного вычислительного эксперимента, позволяющего 
получить распределение газодинамических параметров для конкретных 
начальных и граничных условий с конкретной геометрией, аналитическое 
решение дает возможность исследовать взаимное влияние различных факторов 
и получить общие закономерности течения.

Существующие учебные пособия и учебники можно разделить на две группы. 
К первой относятся классические руководства, предназначенные для физико-
математических специальностей, в том числе фундаментальные учебники 
Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [1], Л.И. Седова [2], Г.Г. Черного [3], Н.Е. Ко-
чина, И.А. Кибеля и Н.В. Розе [4], Ю.П. Райзера [5] и др.; ко второй – руководства 
по технической газовой динамике, такие как учебники Г.Н. Абрамо- 
вича [6], Л.Г. Лойцянского [7], И.П. Гинзбурга [8], К.П. Станюковича [9], 
М.Е. Дейча [10] и др. [11, 12].

Первая группа учебников базируется на математическом аппарате достаточно 
высокого уровня, и в них много внимания уделяется вопросам, которые 
зачастую не являются существенными для технических приложений. 

В учебниках второй группы изложение ведется последовательно, от построения 
общей теории течения газа до подробного описания приложений; 
при этом большое внимание уделяется приближенным и диаграммным ме-
тодам расчета, некоторые из которых уже устарели. 

Предисловие 

Все эти учебники довольно объемны для подробного изучения, а при совре-

менном темпе обучения студенту необходимо иметь пособие, позволяющее в 
относительно короткие сроки изучить ключевые закономерности газовой дина-
мики, которые используются при описании течений в технических устройствах.

В отличие от большинства учебников по газовой динамике, в которых из-

ложение материала ведется по принципу «сверху вниз» — от наиболее общих 
уравнений к выводу частных случаев, в данном пособии принят способ из-
ложения «снизу вверх» — от частных случаев к наиболее общим. При этом 
последующий этап освоения включает предыдущий как частный случай, об-
разуя некоторую «образовательную спираль». Такой подход, на взгляд автора, 
способствует лучшему усвоению материала студентами технических вузов. 
Кроме того, такое изложение позволяет строить курсы различной сложности. 
Например, при постановке базового курса прикладной газовой динамики 
можно ограничиться материалом первых двух глав.

При анализе одномерных задач газовой динамики акцент в учебном по-

собии делается на течении в каналах и соплах, поскольку эти расчетные схе-
мы соответствуют движению газа по соплам ракетных двигателей и внутри 
стволов артиллерийских орудий.  

При современном подходе к изучению газовой динамики с практической 

точки зрения в обязательном порядке требуется умение численного решения 
ряда простейших задач, поскольку точные или приближенные аналитические 
решения в газовой динамике носят очень частный и ограниченный характер. 
В силу этих обстоятельств в пособии приведены некоторые сведения о под-
ходах к численному решению уравнений газовой динамики.

Для более глубокого изучения теоретических основ газовой динамики 

можно рекомендовать обратиться к учебникам [1–5, 7, 9]. С прикладными 
аспектами газовой динамики можно ознакомиться по книгам [6, 8, 10–12]. 
Углубленные знания по термодинамике и теплотехнике можно получить в  
[13–16]. Теория баллистических установок, частным случаем которых явля-
ется установка на сжатом газе, рассматривается в книге [17]. Наконец, с чис-
ленными методами можно ближе ознакомиться по литературе [18–20].

Учебное пособие имеет следующую структуру.
В главе 1 приведены основные положения термодинамики газов, суще-

ственные для дальнейшего изложения материала. Глава 2 посвящена основ-
ным законам сохранения и следствиям из них для одномерных стационарных 
течений. Глава 3 является центральной для понимания основ одномерной не-
стационарной газовой динамики, в ней раскрыты механизмы образования 
ударных волн и волн разрежения. В главе 4 описаны методы решения прак-
тической задачи о выталкивании тела из трубы сжатым газом.

Главы 1 и 2 соответствуют модулю 1 «Одномерные стационарные течения 

газа», главы 3 и 4 — модулю 2 «Одномерные нестационарные течения газа» 
дисциплины «Газовая динамика».

Пособие написано так, чтобы минимизировать обращение к сторонним 

источникам. В приложения вынесены материалы, в которых даются краткие 
теоретические сведения о численных методах. Имеется словарь терминов.  
В подстрочных примечаниях приведена информация об известных ученых и 
их деятельности, которая, по мнению автора, может быть интересна студентам.

Предисловие

За рамками этого учебного пособия остались многие важные и интерес-

ные вопросы: двумерные и трехмерные течения газа, вязкие течения, турбу-
лентность и физико-химические процессы в газах. Всем этим вопросам будет 
посвящена вторая часть курса.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специ-

альности 17.05.02 «Стрелково-пушечное, артиллерийское и ракетное оружие», 
а также может быть полезно студентам других специальностей, в учебных 
планах которых имеются курсы газовой динамики, механики жидкости и га-
за и др.

Условные обозначения

A — механическая работа, совершаемая термодинамической системой или 

над ней (гл. 1); постоянная в уравнении адиабаты (кроме гл. 1)

Aтехн — работа технического устройства

Aтр — работа сил трения

C – теплоемкость термодинамической системы
c — скорость звука в газе
Cp — теплоемкость термодинамической системы при постоянном давлении
cp — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении
CV — теплоемкость термодинамической системы при постоянном объеме
cV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме
D — скорость ударной волны
d — диаметр трубы (калибр); диаметр молекулы
E — полная энергия единицы массы газа
E — внутренняя энергия термодинамической системы

Fтехн — сила, действующая на газ со стороны технического устройства

Fтр — сила трения
Fp — сила давления, действующая на элемент газового потока
Fw — сила реакции со стороны стенок канала, действующая на элемент 

газового потока 

f — вектор потоков
G — расход газа (масса газа, протекающего в единицу времени через не-

которое сечение канала)

H — полная энтальпия единицы массы газа
ℌ — энтальпия термодинамической системы
h — удельная энтальпия газа
IΣ — полный импульс тяги двигателя за определенное время
iтΣ— удельный (единичный) импульс топлива
J± — инварианты Римана
Kn — число Кнудсена
Ku — число Куранта

k — показатель адиабаты газа
kB — постоянная Больцмана
M — число Маха

min — функция, определяющая минимальное значение

P — тяга реактивного двигателя
p — давление газа; проекция вектора импульса на направление скоро-

сти летательного аппарата (параграф 2.8)

p — вектор импульса летательного аппарата
pp — давление на поршень со стороны газа

Условные обозначения 

Q — количество теплоты, подведенной к термодинамической системе 

или отведенной от нее

q — удельное количество теплоты (гл. 1 и 2); массовая лагранжева ко-

ордината (гл. 4); 

q — вектор переменных

qвн — внутренняя теплота газового потока
qнар — теплота, подведенная к газовому потоку снаружи

R — газовая постоянная
Rf — сила реакции газового потока
Ru — универсальная газовая постоянная

r — радиальная пространственная координата
S — площадь поперечного сечения трубы
ST — энтропия термодинамической системы

s — удельная энтропия газа
T — температура газа
t — время
u — скорость поршня (гл. 2); скорость интерфейса (гл. 4); скорость  

газа относительно летательного аппарата (параграф 2.8)

V — объем термодинамической системы
υ — скорость газа
υp — скорость поршня
υpm — скорость поршня при вылете из трубы (ствола)

vr — скорость летательного аппарата
υsq — среднеквадратичная скорость молекул газа
W — объем запоршневого пространства в задаче Лагранжа
W0 — объем камеры с газом

w — удельный объем газа
x — пространственная координата
x0 — приведенная длина камеры с газом
xp — координата поршня
α — константа в уравнении Ван-дер-Ваальса (гл. 1); константа в методе 

AUSM+ (гл. 4) 

β — коволюм газа (гл. 1); константа в методе AUSM+ (гл. 4)
Λp — число объемов расширения газа
Σ∆ x — шаг по координате

ε — внутренняя энергия единицы массы газа
η — коэффициент полезного действия
λ — скоростной коэффициент
μg — молярная масса газа
μт — относительная масса топлива
ν — количество вещества (в молях)
ξ — лагранжева координата
ρ — плотность газа
σ — коэффициент сохранения полного давления
τ — шаг по времени
ϕ — коэффициент фиктивности массы поршня

Введение

Газовая динамика — это раздел механики сплошной среды, изучающий 

движение и равновесие газов.

Газы состоят из большого количества атомов и молекул, например, число 

молекул в 1 см3 воздуха составляет 2,686 · 1019 и называется постоянной Ло-
шмидта1. Системы, состоящие из такого большого числа молекул, называ-
ются макросистемами. Для того чтобы описать движение подобного количе-
ства частиц в рамках классической механики, потребовалось бы составить 
для каждой частицы два дифференциальных уравнения движения первого 
порядка. Умножив число частиц на два, можно получить общее число диф-
ференциальных уравнений, которое необходимо было бы решить. Довольно 
очевидно, что, по крайней мере в настоящее время, это неосуществимо. По-
этому для описания макросистем разработаны особые методы.

Выделяют два подхода к описанию макросистем: статистический (моле-

кулярно-кинетический) и термодинамический. Последний более универсален 
и основан на обобщении экспериментальных данных о поведении вещества 
(построенные на этом подходе теории называются феноменологическими).  
В то же время статистический подход зачастую позволяет лучше раскрыть 
физическую сущность явлений. 

В газовой динамике принято, что изучаемые макросистемы можно счи-

тать сплошными в пределах решаемых задач. Поскольку в реальности все те-
ла состоят из атомов и молекул, расстояние между которыми имеет вполне 
конкретные значения, ответ на вопрос о том, можно ли считать среду сплош-
ной или нет, зависит от решаемой задачи, определяемой некоторым харак-
терным для нее масштабом. Например, для течения газа в трубе это может 
быть диаметр трубы, для обтекания шара газовым потоком — диаметр шара. 
В то же время расстояние между молекулами можно охарактеризовать дли-
ной свободного пробега — средним расстоянием, которое проходит частица 
между двумя последовательными столкновениями с другими частицами. На-
пример, для воздуха при нормальных условиях длина свободного пробега со-
ставляет порядка 10–7 м. 

Отношение длины свободного пробега к характерному масштабу длины L 

в задаче называется числом Кнудсена. В идеальном с термодинамической точ-
ки зрения газе, с учетом известной из курса физики формулы для длины сво-
бодного пробега, число Кнудсена имеет вид 

1 Лошмидт Иоганн Йозеф (1821–1895) — австрийский физик и химик. Раскрыл строение 

озона и впервые предложил кольцеобразную структуру бензола.

Введение 

Kn =
k T

d pL

B

2
2
π

,

где kB =
⋅
−
1 38 10 23
,
 Дж/К — постоянная Больцмана; T — температура газа;  

d — диаметр молекулы; p — давление газа.

Можно выделить несколько характерных случаев:
Kn ≫1 — длина свободного пробега существенно превышает характер-

ный размер задачи. В этом случае среду нельзя считать сплошной;

Kn ≪1 — длина свободного пробега значительно меньше характерного 

размера задачи. В этом случае среда может рассматриваться как сплошная; 

Kn ≈1 — длина свободного пробега имеет порядок характерных размеров 

задачи. Это область течения разреженных газов, которая лучше описывается 
кинетической теорией.

Объектами изучения газовой динамики являются течения газов в каналах 

технических устройств: в соплах ракетных двигателей, в пневмоприводах, газовых 
трубах, пневматических винтовках; течения, образующиеся при взрывах, 
в том числе ядерных; течения в газодинамических лазерах; движение газовых 
скоплений в астрофизике и т. д.

Одна из ключевых особенностей газовой динамики состоит в том, что в 

ней на первый план выходит свойство сжимаемости среды, поскольку по своей 
природе газы легко сжимаемы и не требуется больших усилий, чтобы, например, 
изменить объем воздушного шарика. Это приводит к ряду специфических 
процессов, которые встречаются только в газовой динамике. Основным 
из них является ударная волна — движущаяся поверхность, на которой параметры 
газа изменяются скачком.