Курс лекций по вероятностным методам в механике

А.С. Гусев

Курс лекций  

по вероятностным методам  

в механике

Учебное пособие

Под редакцией Ю.Б. Цветкова

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5371-9

 
Гусев, А. С.

Г96 
 
Курс лекций по вероятностным методам в механике : учебное пособие / 

А. С. Гусев / под ред. Ю. Б. Цветкова. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2020. — 99, [3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5371-9

Рассмотрены некорректные обратные задачи статистической динамики, задачи 

по структурному анализу траекторий случайных процессов, задачи статистического 
диагностирования конструкций, а также методы расчета конструкций, находящихся 
в условиях интенсивной коррозии и интенсивных нерегулярных воздействий. Для решения нелинейных задач рассмотрены методы марковских процессов, методы уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова, методы статистической линеаризации. 
Приведены задачи по оптимизации параметров машин и конструкций и их решения.

Для бакалавров и магистров, обучающихся по направлению 15.03.03 «Прикладная 

механика», и магистров, обучающихся по направлению 15.04.03 «Прикладная механика».

УДК 531.8:519.2(075.8)
ББК 34.42

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6732/

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»

Кафедра «Прикладная механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

УДК 531.8:519.2(075.8)
ББК 34.42

Г96

Предисловие

Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций, прочитан
ный автором студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана и МГТУ МАМИ, обучающимся по специальности «Динамика и прочность машин и конструкций» по 
направлению «Прикладная механика». Оно соответствует программам курсов 
«Статистическая динамика и надежность машин и конструкций», «Случайные процессы и их анализ» и «Вероятностные методы в механике машин и 
конструкций».

Цель учебного пособия — привить студентам навыки в постановке задач 

статистической динамики машин и конструкций и их решении с использованием современных вычислительных средств, научить обосновывать расчетные схемы для различных механических систем и в статистическом аспекте проводить их динамический анализ с определением реакций на случайные 
воздействия, задаваемые их корреляционными функциями или энергетическими спектрами, оценивать надежность и ресурс конструкций при случайных процессах нагружения.

Предложенные к изучению различные методы решения задач статисти
ческой динамики в линейной и нелинейной постановке могут быть использованы для написания студентами самостоятельных научных работ и рефератов, в которых авторы могут сформулировать собственные воззрения на 
рассматриваемые проблемы. 

Учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров, прослушав
ших курсы лекций по «Теории колебаний», «Теории вероятностей и математической статистике» и «Случайным процессам и их анализу».

 
 

Посвящается светлой памяти 

академика РАН 

Владимира Васильевича Болотина

Лекция 1

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Вероятности событий A и B обозначим P(A) и P(B).
Вероятность того, что произойдет одно из этих двух событий, определя
ется по теореме о сложении вероятностей:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность того, что произойдут оба этих события, определяется по тео
реме о произведении вероятностей:

Р(А ∙ В) = Р(А) ∙ Р(В).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина х будет прини
мать значения в интервале ∆x,  обозначим P x
x
(
).
∈∆

Плотность вероятности

f x
P x
x

x
x
( )
lim
(
).
=
∈

∆ →

∆

∆
0

Интегральная функция распределения вероятностей для величины х  

F x
P x
x
f x dx

x

( )
(
,
)
( )
.
=
∈ −
(
) =

−

∞

∞∫
 

Характеристическая функция определяется преобразованием Фурье от 

плотности вероятности:

χ ω
ω

∞

∞

ω
∫
( )
( )
,
=
=

−

e
e
i x
i
x f x dx

где 〈…〉〉 — оператор усреднения.

Стационарный случайный процесс x t( )  задается корреляционной функ
цией 

K
x t x t
x( )
( ) (
)
τ
τ
=
+

или ее преобразованием по Фурье (спектральной плотностью)

S
K
d
x
x

i
( )
( )
.
ω
π
τ
τ
ωτ
=

−∞

∞

−
∫

1
2
e

Проблема неопределенности изящно (elegantly)

решается с помощью понятий  «случайная величина»  
и «случайный процесс». Однако это не конец истории,  

а ее начало, которая никогда не закончится. 

Р. Беллман

Обратное преобразование Фурье от спектральной плотности определяет 

корреляционную функцию

K
S
d
x
x

i
( )
( )
.
τ
ω
ω
ωτ
=

−∞

∞
∫
e

Для белого шума интенсивностью k0  

K
k
x( )
( );
τ
δ τ
=
0

S
k

x( )
ω
π
=
=
0

2
const.

Здесь дельта-функция Дирака

δ τ
τ
τ
( )
;
;
=
≠

∞
=





0
0
0

   при   
  при  

−∞

∞
∫
=
δ τ
τ
( )
.
d
1

Амплитудный спектр Фурье процесса x t( )  с синонимами «трансформан
та Фурье», «интеграл Фурье» вычисляется по формуле 

Φx

i t
x t
dt
( )
( )
.
ω
π

ω
=

−∞

∞

−
∫

1
2
e

Обратное преобразование от Φx( )
ω  определяет процесс

x t
d
x

i t
( )
.
( )
=

−∞

∞
∫

1
2π
ω
ω
ω
Φ
e

Для x t
t
( )
( )
= δ
 

Φδ ω
π
( ) =
=
1
2
const;

δ
π
ω
ω
( )
.
t
d
i t
=

−∞

∞
∫

1
2
e

Основная теорема теории случайных процессов состоит в «дельта-корре
лированности амплитудных спектров», выраженной формулой Винера

Φ
Φ
x
x
x
S
* (
)
(
)
(
) (
),
ω
ω
ω δ ω
ω
1
2
2
1
2
=
−

где символом «∗» (звездочкой) обозначен переход к комплексно-сопряженным функциям.

Лекция 2

Структурный анализ случайных процессов

При формулировке задач структурного анализа случайных процессов рассмот
рим их некоторую реализацию x(t) и отметим на ней характерные точки, соответствующие им значения процесса и интервалы времени между ними (рис. 2.1): 

точки пересечения случайного процесса со средним (нулевым) уровнем, 

называемые нулями процесса;

точки, соответствующие экстремальным значениям процесса, которые 

называются экстремумами процесса;

точку А, соответствующую наибольшему для данной реализации макси
муму процесса, называемую абсолютным максимумом процесса;

точку B, соответствующую перегибу траектории процесса, называемую 

точкой перегиба траектории;

точки пересечения случайного процесса с некоторым уровнем, опреде
ляющие число превышений (выбросов) за этот уровень;

интервалы времени τ0  между двумя соседними нулями, от которых за
висит частота процесса, рассчитанная по пересечениям нулевого уровня  
(частота по нулям);

интервалы времени τэ,  соответствующие двум соседним экстремумам и 

определяющие частоту процесса по экстремумам;

отрезки xmax  и xmin  между нулевой линией и соответствующим экстре
мумом, называемые экстремальными значениями процесса (максимумом и 
минимумом);

отрезок x*  между нулевой линией и наибольшим максимумом процесса, 

называемый значением абсолютного максимума;

приращение процесса xp  между двумя соседними экстремумами, назы
ваемое размахом процесса. 

Рис. 2.1

Получение вероятностной информации о числе указанных выше точек 

за некоторый промежуток времени и о величинах указанных выше отрезков 
по заданным вероятностным характеристикам процессов (по корреляционным функциям или энергетическим спектрам) является задачей структурного анализа случайных процессов.

Отметим некоторые вероятностные характеристики параметров процес
сов, которые можно установить при проведении структурного анализа: 

1) распределение вероятностей числа нулей, экстремумов и других осо
бых точек траектории случайного процесса при заданной его длительности 
(частными характеристиками этих распределений являются среднее число 
нулей n0,  среднее число экстремумов nэ, среднее число точек перегиба траектории nп  в единицу времени);

2) распределение вероятностей интервалов времени между соседними ну
лями, экстремумами и точками перегиба траектории (частными характеристиками этих распределений является среднее значение интервала времени 
между соседними нулями τ0,  экстремумами τэ  и точками перегиба τп );

3) распределение вероятностей значений процесса, соответствующих его 

максимумам и минимумам, т. е. распределение вероятностей максимумов и минимумов;

4) распределение вероятностей приращений процесса между двумя его 

соседними экстремумами, т. е. распределение вероятностей размахов;

5) распределение вероятностей значений процесса, соответствующих его аб
солютному максимуму, т. е. распределение вероятностей абсолютного максимума.

Нули, выбросы, перегибы траекторий и другие особые точки 

случайных процессов

Число пересечений нулевого уровня (число нулей) некоторой функции x t( )  

в течение времени t  

 
n t
x
x
d

t

0

0

( )
( )
,
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.1)

где δ( )⋅  — дельта-функция.

Справедливость соотношения (2.1) следует из определения дельта-функции. 
Поскольку при дифференцировании функции ее экстремумы переходят 

в нули, то из (2.1) число экстремумов функции x t( )  за время t  можем най
ти по формуле

  
n t
x
x
d

t

1

0

( )
( )
.
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.2)

Число точек перегиба траектории, в которых вторая производная равна нулю,

 
n t
x
x
d

t

2

0

( )
( )
.
=
{
}
∫ δ
τ
τ  
(2.3)

Обобщив соотношения (2.1)–(2.3), получим следующее выражение для 

нахождения числа особых точек траектории функции x t( ),  в которых ее  
k-я производная равна нулю:

 
n t
x
x
d
k
k

k
k

t

( )
( )
(
, , ,...).
(
)
=
{
}
=
+
∫

1

0

0 1 2
δ
τ
τ   
 
(2.4)

Если x t( )  – случайная функция, то для определения вероятностных ха
рактеристик числа особых точек следует ввести соответствующие функции 
распределения вероятностей случайных величин и рассмотреть соотношения 
(2.1)–(2.4) как функции случайных аргументов. Так, если через f x x
( , , )
τ  обо
значить плотность совместного распределения вероятностей функции x t( )  и 
ее производной для некоторого момента τ, среднее число нулей этой функции за время t  

 n t
x
x
f x x
dxdxd
x

t
t

0

0
0

( )
( )
( )
( , , )
( )
=
{
}
=

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫
∫∫
∫∫
τ δ
τ
τ
τ
τ f
x
dxd
( , , )
.
0 τ
τ       (2.5)

Определение числа превышений процессом x t( )  некоторого уровня x  

сводится к определению числа нулей разности x t
x
( )
.
−
(
)  Если случайная 

функция x t( )  стационарна, из (2.5) получим следующее выражение для нахождения среднего числа превышений процессом x t( )  уровня x  в единицу 
времени:

 
n x
x f x x dx
( )
( , )
.
=

∞
∫
0

 
(2.6)

При этом среднее число пересечений нулевого уровня (т. е. среднее число 
нулей) в единицу времени

n
n
0
2
0
=
( ). 

По аналогии с (2.6) получим выражения для определения среднего числа 

экстремумов и точек перегиба траектории в единицу времени:

 
n
x f
x d x
xx
1
0
=

−∞

∞
∫ ( , )
;  
(2.7)

 
n
x f
x d x
x x
2
0
=

−∞

∞
∫ ( ,
)
,  
(2.8)

где f
x
x x
( ,
)
0
 — плотность совместного распределения вероятностей второй 

и третьей производных при x = 0; f
x
x x
( ,
)
0
 — плотность совместного распре
деления вероятностей первой и второй производных при x = 0.  

Подставив в (2.6)–(2.8) выражения для плотностей распределения веро
ятностей и вычислив интегралы, для гауссовских стационарных процессов 
получим

 
n x
s

s

x
s

x

x
x

( )
exp
;
=
−






2
2

2

2
π
 
(2.9)

n
s

s
n
s

s
n
s

s

x

x

x

x

x

x

0
1
2
2
2
2
=
=
=
π
π
π
,
,
,
  
  
 
(2.10)

где s
s
s
s
x
x
x
x
,
,
,
— средние квадратические отклонения процесса и его пер
вых трех производных соответственно.

Обобщая полученные результаты, запишем следующее выражение для 

определения среднего числа точек траектории гауссовского стационарного 
процесса, в которых k-я производная равна нулю:

 
n
s

s

k

x

x

k

k

=

+
(
) ,
2π
 
(2.11)

где sxk ,  sx k
(
)
+  — средние квадратические значения k-й и (k + 1)-й производ
ных процесса x t( ). 

Сложность структуры случайных процессов характеризуется системой па
раметров, представляющих собой отношения числа экстремумов к числу нулей, числа точек перегиба траектории к числу экстремумов и т. д.:

 
k
n
n
k
n
n
k
n
n

1

1

0

2

2

1

3

3

2

=
=
=
,
,
, ...
  
  
 
 
(2.12)

При этом выполняются соотношения

 
k
k
k
1
2
3
≥
≥
≥ ...  
(2.13)

Равенства в (2.13) достигаются только для процесса с простой структу
рой, для которого

k
k
k
1
2
3
1
=
=
=
=
...
.  

Наибольшее значение имеет первый параметр сложности структуры k1,  

который в дальнейшем для краткости будем обозначать k.  

В случае когда процесс x t( )  является нестационарным гауссовским про
цессом, из (2.5) получим следующую формулу для определения числа превышений уровня x за время t: 

n x t
s
s
r
x
x

S

x

x

t

x

( , )
( )
( )
( ) exp
( )

( )
=
−
−



−





∫

1
2
1
1
2
0

2

2

π

τ
τ
τ
τ

τ













×

×
−
−
+
−





exp
(
( ))

( )
( )(
( ))

( )

1

2 1
2r

x
s

r
x
x

s
x
x
τ

τ
τ
τ

τ


















+

+
−
+
−






2

1
2
π

τ

τ
τ

τ
τ

τ
r

x
s

r
x
x

s
x
x
( )

( )
( )

( )(
( ))

( )


−








+

+
−











Φ
1

1
2r

x
s

r
x
x

s
d

x

x

( )

( )

( )(
( ))

( )
,

τ

τ

τ
τ

τ
τ

              

(2.14)

где Φ( )
,
z
dt
t

z

=
−

−∞∫

1

2

2 2

π

e
  x( ),
τ
  x( ),
τ
 sx

2( ),
τ
 sx2( ),
τ
 r
rxx
=
( )
τ  — переменные 

во времени средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции процессов и x t( )  и x t( ).

При x
x
r
=
=
=
0  

 
n x t
s
s

x
s
d
x

x

t

x

( , )
( )
( ) exp
( )
.
=
−





∫

1
2
2
0

2

2
π

τ
τ
τ
τ

(2.15)

Для стационарного процесса x t( )  при t =1  возвращаемся к формуле (2.9).
Пример 2.1. Требуется провести анализ структуры случайного процесса x t( ),  

заданного корреляционной функцией

Kx( )
exp
,
τ
α τ
=
−
(
)
2 2
 

где α  — параметр.

Тогда в соответствии с (2.4) корреляционные функции первой, второй и 

третьей производных процесса x t( )  будем определять как

 
K
K
K
K
K
K
x
x
x
x
x
x
( )
( );
( )
( );
( )
( ).
τ
τ
τ
τ
τ
τ
= −
=
= −
  
  
IV
VI
 
(2.16) 

Отсюда найдем дисперсии первых трех производных:

s
K
s
K
s
K
x
x
x
x
x
x
2
2
2
4
2
0
2
0
12
0
1
= −
=
=
=
= −
=
( )
;
( )
;
( )
α
α
  
  
IV
VI
20
4
α .

В соответствии с (2.10) определим среднее число нулей, экстремумов и 

точек перегиба в единицу времени:

n
n
n
0
1
2
2
6
10
=
=
=
α
π

α
π

α
π
;
;
.
  
  
 

В итоге получим следующие параметры сложности структуры процесса:

k
k
1
2
3
1 73
5
3
1 29
=
≈
=
≈
,
;
,
.
  
 

Пример 2.2. Требуется найти число нулей, экстремумов и точек перегиба 

траектории случайного процесса, описываемого корреляционной функцией

Kx( )
cos
,
τ
βτ
α τ
=
−
e

2 2
 

где α,  β  — параметры.

По аналогии с примером 2.1 после вычислений получим

 

n
n

n

0

2
2

1

4
2
2
4

2
2

2

6
4

1
2
1
12
12

2

1
120
180

=
+
=
+
+

+

=
+

π
α
β
π

α
α β
β

α
β

π

α
α β

;
;
   

2
2
4
6

4
2
2
4

30

12
12

+
+

+
+
α β
β

α
α β
β
.