Введение в теорию гироскопов

П.Г. Русанов, О.В. Скуднева

Введение в теорию гироскопов

Примеры решений задач по динамике  
сферического движения твердого тела

Учебное пособие

Под редакцией П.Г. Русанова

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5125-8 

УДК 531.381(075.8)
ББК 22.213 
 
Р88 

Издание доступно в электронном виде по адресу

Факультет «Информатика и системы управления»
Кафедра «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

 
Русанов, П. Г.
Р88 
 
Введение в теорию гироскопов. Примеры решений задач по динамике 
сферического движения твердого тела: учебное пособие / П. Г. Русанов, 
О. В. Скуднева ; под ред. П. Г. Русанова — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 154, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-5125-8 

Издание содержит справочную теоретическую информацию, примеры решений задач по динамике сферического движения твердого тела и контрольные вопросы для самопроверки полученных знаний. 
Для студентов, обучающихся по специальности 24.05.06 «Системы управления 
летательными аппаратами» на факультетах «Информатика и системы управления», 
«Приборостроительный», «Ракетно-космическая техника» и «Аэрокосмический», 
изучающих дисциплины «Гироскопические приборы» и «Высокоточные системы 
навигации», предусмотренные учебными программами кафедры «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

УДК 531.381(075.8)
ББК 22.213 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019 

bmstu.press/catalog/item/6083/

Предисловие

Учебное пособие соответствует программе дисциплин «Введение в теорию гироскопов» и «Высокоточные системы навигации». Теории гироскопов и ее практическому применению посвящены многочисленные учебные 
и специальные издания. Однако к настоящему времени среди них отсутствуют свежие издания практических руководств по методам решения задач динамики сферического и свободного движений твердого тела в присутствии сил 
гироскопической природы. Данное учебное издание призвано отчасти устранить сложившуюся нехватку учебной литературы по указанной тематике.
В пособии приведены справочные теоретические сведения и развернутые 
решения задач по динамике сферического и свободного движений твердого 
тела. Условия основной части задач заимствованы из различных сборников задач по теоретической механике и сформулированы в авторской редакции. Условия остальных задач предложены авторами. Ключевые вопросы рассматриваемых задач затрагивают следующие тематические и методические вопросы:
анализ движения и сил взаимодействия тел на основе прецессионной 
теории гироскопов;
динамика сферического и свободного движений твердого тела;
влияние суточного вращения Земли на относительное движение тел;
устойчивость движения тел с учетом сил гироскопической природы.
Развернутые решения всех задач, представленные в стиле беседы — обсуждения с читателем, опираются на классические приемы вывода уравнений динамики тел на основе общих теорем динамики, принципа Даламбера 
и уравнений Лагранжа второго рода.
Цель данного пособия — расширить кругозор и активизировать самостоятельную работу студентов в области инструментальных основ и практических методов решения задач с элементами сферического движения тел, 
что позволит повысить качество профессиональной подготовки специалистов в области динамики гироскопических систем.
Полученные в ходе ознакомления с учебным пособием знания помогут студентам старших курсов осваивать специальные дисциплины, посвященные проблемам проектирования, конструирования и анализа процессов 
функционирования технических систем ориентации, навигации и управления. Для успешной работы в этой области по окончании вуза студенту необходимо на стадии обучения понять физическую природу гироскопических 
явлений и овладеть достаточно сложной технологией вывода уравнений динамического состояния механических объектов.
Многолетний опыт обучения студентов свидетельствует о том, что регулярное и самостоятельное решение новых задач учащимся является для него 
самым эффективным способом закрепления полученных знаний и самооценки своих компетенций. 

1. СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ДИНАМИКЕ ДВИЖЕНИЯ 
ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Системы отсчета движения и расчетные системы координат

Тем, кто исследует статическое или динамическое физическое состояние механического объекта (точек, тел, механизмов, конструкций, сплошной среды), приходится иметь дело с двумя типами трехмерных систем координат:
1) системой отсчета положения и движения механической системы;
2) расчетной системой, на оси которой задаются проекции применяемых векторов кинематического или силового состояния механической системы, а также элементы физических и геометрических матриц.
При выполнении расчетов с помощью компьютерных программ в описании математической модели объекта исследования следует применять 
только правые системы взаимно ортогональных осей, так как по умолчанию 
в пакетах математических программ все стандартные алгоритмы выполнения векторно-матричных операций рассчитаны на представление векторов 
и матриц исключительно в правых системах координат.

1.1.1. Инерциальная и псевдоинерциальная системы отсчета движения

Практически в любой задаче механики возникает необходимость введения явным или неявным способом инерциальной системы отсчета движения. 
Это вызвано тем, что только в инерциальных системах отсчета кинематические параметры движения механических систем удовлетворяют аксиоматическим законам Ньютона и их многочисленным следствиям, в число 
которых входят общие теоремы динамики, принцип Даламбера и принципы 
аналитической механики.
Инерциальные системы отсчета движения материальных объектов — 
это постулируемые системы координат, относительно которых каждая материальная точка, изолированная от действия на нее сил, движется равномерно и прямолинейно либо покоится. Оси любой инерциальной системы 
координат не имеют ускорений и неизменно ориентированы относительно 
других инерциальных систем координат.
В курсах теоретической механики основные теоремы динамики формулируют, предполагая, что входящие в них кинематические параметры 
движения исследуемой механической системы оцениваются по отношению 
к инерциальной системе отсчета. В учебных задачах косвенным намеком на 
необходимость учета инерциальной системы отсчета обычно служит упо

1.1. Системы отсчета движения и расчетные системы координат

требление в ее условиях термина абсолютные в отношении кинематических 
параметров движения материальных точек и твердых тел.
Векторы положения, скорости и ускорения точки, а также векторы 
угловой скорости и углового ускорения твердого тела относительно иных, 
неинерциальных систем отсчета движения дополнительно называют относительными, а кинематические параметры движения таких систем и ее точек 
относительно инерциальной системы отсчета — переносными.
Следует отметить, что для науки понятие «инерциальная система отсчета», еще ни разу не подводившее инженерную практику, до сих пор остается 
умозрительным, или воображаемым. Такая характеристика дана понятию 
«инерциальная система отсчета» в связи с тем, что эта система не имеет 
(и принципиально не может иметь!) своего явного материального механического представителя — эталонного носителя ее свойств. Существованию такой системы отчасти «мешает» физическое отсутствие в природе абсолютно 
твердых тел и материалов, а также практическая невозможность оградить ее 
от внешних сил. Тем не менее к настоящему времени мировое научно-техническое сообщество в навигационных целях уже освоило разработку сложных автоматизированных комплексов и алгоритмов, способных виртуально 
имитировать в памяти компьютера прообраз инерциальной системы с помощью математической обработки сигналов, поступающих от гироскопических приборов и акселерометров.
В отсутствие физических образцов инерциальных систем координат 
учебная литература предлагает студентам на начальной стадии освоения инженерных дисциплин приемлемую для практики замену. Так, в большинстве 
расчетных схем, применяемых для изучения статического и динамического состояния реальных механических объектов, в качестве инерциальных 
систем отсчета условно выступают, с некоторым приближением, неинерциальные системы координат. Например, в задачах теоретической механики 
по статике и динамике, а также в дисциплинах, изучающих методы расчета 
конструкций на прочность и устойчивость, вместо инерциальных систем отсчета движения в основном применяют псевдоинерциальную систему координат, жестко связанную с Землей, как мало отличающуюся от инерциальной. 
В оправдание такой подмены авторы задач ссылаются на малое влияние 
на итоговые результаты решения не только орбитального движения центра 
масс связки планет Земля — Луна вокруг Солнца, но и угловой скорости 
суточного вращения самой Земли в космическом пространстве Солнечной 
системы.
Кратко формулируя условия (с применением принципа «по умолчанию» 
и понятия «неподвижное основание»), авторы учебных задач тем самым допускают возможность их решения на основе упрощенной расчетной схемы, 
в которой следует пренебречь: 1) индивидуальным движением самого «основания» в инерциальном пространстве и 2) слабыми силовыми взаимодействиями. Поэтому в учебных задачах любая вводимая в решение система 
координат, жестко связанная с основанием, принимается в качестве инерциальной, но фактически является лишь псевдоинерциальной.
Те задачи, в которых необходимо выяснить законы движения механической системы относительно неинерциальной системы отсчета S, будут 

1. Справочные сведения по динамике движения твердого тела

разрешимы только в тех случаях, когда закон движения неинерциальной 
системы S относительно инерциальной либо заранее известен, либо станет 
известным в ходе решения задачи.

1.1.2. Расчетные системы координат

Выбор рациональной расчетной системы координат позволяет существенно упростить алгоритм решения поставленной задачи. В частном случае 
в качестве расчетной системы координат могут выступать оси инерциальной 
системы отсчета движения. Достаточно удобными с точки зрения снижения трудоемкости решения поставленной задачи являются сопровождающие 
расчетные системы координат, некоторым образом копирующие отдельные 
особенности движения точки, тела или механической системы.
Сопровождающие системы координат подразделяют на жестко связанные и сопутствующие. Вариант жестко связанных осей, очевидно, возможен 
лишь для таких моделей материи, как материальная точка и абсолютно твердое тело.
Сопутствующими расчетными осями для точки являются, например, 
оси естественной и цилиндрической систем координат. Начало естественных 
осей совпадает с движущейся точкой, а оси ориентированы по отношению 
к кривой движения точки относительно тела отсчета соответственно по трем 
направлениям: касательному, нормальному и бинормальному, задаваемым 
единичными ортами ,
,
 
 .
n b

Одна из осей (Оz) цилиндрической системы координат, называемая 
аксиальной осью, неподвижна относительно тела отсчета движения. В каждый момент времени через исследуемую точку проходит сопутствующая ей 
аксиальная плоскость , в которой расположены две оси: аксиальная Оz 
и радиальная Оr. Третья ось Оp — трансверсальная (или окружная), перпендикулярна аксиальной плоскости . Единичные орты этой системы задают 
в подвижной точке три направления (радиальное r, окружное p и аксиальное z).
Для абсолютно твердого тела с эллипсоидом инерции общего вида 
в центре масс жестко связанными с ним осями, например, будут его главные 
центральные оси инерции. В этих осях матрица IC моментов инерции массы 
тела является диагональной, а сумма ее элементов, расположенных на главной диагонали, имеет минимальное значение в сравнении с аналогичными 
суммами для матриц в нецентральных осях.
Оси Кёнига для рассматриваемой механической системы — это виртуальная система взаимно ортогональных сопутствующих осей SK с началом 
в ее центре масс, движущихся поступательно относительно инерциальной 
системы отсчета.
Векторы угловой скорости и углового ускорения твердого тела относительно осей Кёнига и относительно инерциальных систем координат являются одинаковыми, т. е. абсолютными.
Системы дифференциальных уравнений, отражающие динамику сферического движения абсолютно твердого тела относительно инерциальных 

1.2. Основные формулы кинематики

осей или осей Кёнига, существенно упрощаются, если эллипсоид инерции 
массы тела в неподвижной точке О тела или в центре масс тела имеет форму 
поверхности тела вращения. Ось вращения такой поверхности эллипсоида 
называют осью динамической симметрии тела, а само тело — динамически 
симметричным.
Оси любой ортогональной системы координат SR, в число которых входит ось динамической симметрии тела, называют осями Резаля этого тела. 
Независимо от закона движения осей Резаля относительно самого тела 
в каждый момент времени они остаются его главными осями инерции тела. 
Матрица моментов инерции тела в осях Резаля имеет диагональный вид 
с двумя равными осевыми моментами инерции.
Систему осей Резаля твердого тела, у которой постоянно равна нулю 
проекция ее вектора абсолютной угловой скорости вращения на ось динамической симметрии, называют осями Булгакова SB. С применением осей 
Булгакова дифференциальные уравнения сферического движения твердого 
тела имеют наиболее компактный вид.

1.2. Основные формулы кинематики

1.2.1. Расчет скорости и ускорения точки

В курсах теоретической механики в первую очередь излагают три способа задания и расчета проекций векторов положения r,  скорости v  и ускорения a  точки на оси декартовой, естественной и цилиндрической систем 
координат.
Формулы для расчета проекций векторов скорости и ускорения точки на 
оси указанных систем по заданному закону ее движения таковы:

v
v
v
v
x y z
a
a
a
a
x y z
x
y
z
x
y
z
(
,
,
)
( , , ) ;
(
,
,
)
( , , ) ;
T
T
T
T

 
v
v
v
v
s
a
a
a
a
s v
n
b
n
b
=
=
=
=
(
,
,
)
( , , ) ;
(
,
,
)
( ,
, ) ;
τ
τ
T
T
T
T
/
0 0
0
2 ρ
 
(1.1)

v
v
v
v
r r
z
a
a
a
a
r
r
r
r
p
z
r
p
z
=
=
=
=
−
+
(
,
,
)
( ,
) ;
(
,
,
)
(
,
T
T
T
ϕ
ϕ
ϕ
,
2
2r
z
ϕ,
) .
T

1.2.2. Взаимосвязь скоростей и ускорений точек твердого тела 

При любом движении твердого тела1 для любых моментов времени векторы скоростей v
r
v
r
B
B
A
A
,
, где А и В — условные обозначения двух 
произвольно выбранных точек тела; r
r
A
B
,
 — их радиус-векторы в осях системы S; r
r
AB
B
A
=
+
 и векторы ускорений a
r
a
r
B
B
A
A
,
 его любых двух 
точек относительно произвольно выбранной системы отсчета движения S 
удовлетворяют следующим формулам: 

1 Для краткости изложения далее упоминаемые в тексте тела следует считать 
абсолютно твердыми, если нет иных уточнений.

1. Справочные сведения по динамике движения твердого тела

 

v
v
AB

a
a
AB
AB

B
A

B
A

=
+
×

=
+
×
+
×
×
(
)

ω

ε
ω
ω

;

.
  
(1.2)

Здесь ,  — векторы угловой скорости и углового ускорения тела относительно осей системы S.
Формулы (1.2) получены на основании формул Эйлера и Ривальса, указывающих способы расчета первых двух производных по времени от вектора 
b
AB
постоянного модуля 

b
AB
const:

 

b
b b
b
b
=
×
=
×
+
×
×
(
)
ω
ε
ω
ω
;
. 
(1.3)

При выполнении численных расчетов следует иметь в виду, что все векторы, входящие в правую часть формул (1.2) и (1.3), должны быть представлены своими проекциями на оси какой-либо одной системы координат, выбранной по усмотрению пользователя.

1.2.3. Связь между скоростями и между ускорениями 
точки при ее составном движении

Ситуацию, в которой одновременно учитывают параметры движения 
некоторой точки М относительно двух разных систем отсчета SO, S, движущихся относительно друг друга, называют случаем составного, или сложного, 
движения точки. Обычно одну из этих систем отсчета (SO) условно называют 
неподвижной, а другую (SO) — подвижной. Кинематические характеристики 
движения точки относительно систем SO и S называют соответственно абсолютными и относительными. Взаимосвязи векторов абсолютных и относительных скоростей и ускорений точки М в текущий момент времени отражены в следующих формулах: 

 
v
v
v
a
r
e
=
+
;  
(1.4)

 
a
a
a
a
a
r
e
k
=
+
+
. 
(1.5)

Здесь v
a
a
a
,
 — абсолютные скорость и ускорение точки М; v
a
r
r
,
 — относительные скорость и ускорение точки М; v
a
e
e
,
 — переносные скорость и ускорение точки подвижной системы S, совпадающей в данный момент времени 
с точкой М; ak — ускорение Кориолиса для точки М;

v
r a
r v
a
a
a
r
r
=
=
=
=
∼
∼
;
;
;
;
ρ
ρ

r
r
OM v
v
O
e
O
e
=
+
=
=
+
×
ρ ρ
ω
ρ
;
;
;
a
a
e
O
e
e
e
=
+
×
+
×
×
ε
ρ
ω
ω
ρ
(
); a
v
k
e
r
=
×
2 ω
,

где точка О — начало координат системы S; r, — векторы положения точки М в системах SO и S; e,  e  — векторы угловой скорости и углового ускорения подвижной системы S относительно неподвижной SO.

1.3. Инструментальные методы анализа динамики механических систем

Формулы теорем сложения скоростей и сложения ускорений получены на основании формулы Бура, которая для текущего момента времени 
устанавливает взаимосвязь между скоростями изменения относительно двух 
систем отсчета SO и S для произвольного вектора 

b t( )  независимо от его 
физической природы: 

 
d
d
d
d

b
t
b
t
b
=
+
×
ω
,  
(1.6)

где d
d

b
t
b
— абсолютная (полная) производная вектора 

b t( ),  или скорость 

изменения вектора 

b t( )  в системе SO; 

∼
d
d
b
t
b
— относительная (локальная) 

производная вектора 

b t( )  в системе S, или скорость изменения вектора 

b t( )  
в системе S; — вектор угловой скорости вращения системы S относительно системы SO. 

Одному и тому же физическому вектору 

b  в системах SO и S отвечают два 
математических вектора 

U  и u,  элементами которых являются проекции 

вектора 

b  на оси систем SO и S соответственно. По умолчанию все векторы, участвующие в формуле Бура (см. (1.6)), должны иметь одномоментное 
представление своими проекциями на оси какой-либо одной и той же системы координат. Обычно в качестве такой системы координат в расчетах 
служит правая система осей S с ортами 

i
j k
,
,
. Тогда

u
u i
u j
u k

v i
v j
v k

i
j
k
x

y

z

x

y

z

x
=

⎛

⎝

⎜
⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟
⎟
=

⎛

⎝

⎜
⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟
⎟
+ ω
ωy
z

x
y
z
b
b
b
ω .

Элементы математических векторов 

U  и u  связаны формулами:

 

U
A u
u
AU
=
=
−1 ;
,  
(1.7)

где А, А–1 АТ — соответственно прямая и обратная матрицы преобразований поворота осей системы SO к осям системы S и обратно, dimA dimAТ (33); A
A
AA
E
−
−
=
=
1
1
 (Е — единичная матрица).

1.3. Инструментальные методы анализа динамики  
механических систем

1.3.1. Интегральные характеристики системы материальных точек

Центр масс (точка С ) произвольной системы материальных точек — это 
абстрактный расчетный образ, виртуальная нематериальная точка пространства. Применение понятия расчетного образа позволяет упростить запись 

1. Справочные сведения по динамике движения твердого тела

законов динамики и вычислительные алгоритмы исследования динамики механических систем. Свойства кинематических параметров движения  
центра масс (вектора положения rC, вектора скорости vC  и вектора ускорения aC ),  справедливые для любой механической системы с произвольным 
числом n > 0 материальных точек при любом ее движении относительно 
любой системы отсчета S в любой момент времени, отражены в формулах:

 
r
m r

M
С

k k
k

n

=
=∑
1
;   v
r
m r

M
C
С

k k
k

n

=
=
=∑
1
;  a
r
m r

M
C
С

k k
k

n

=
=
=∑
1
,  
(1.8)

где mk,  rk  — масса и вектор положения k-й материальной точки в системе 

отсчета S; k
n
{ , };
1
 M
mk
k

n
=

=∑
1

 — общая масса всех материальных точек.

В любой центральной системе S отсчета движения с началом в центре 
масс механической системы в каждый момент времени тождественно равны 
нулю векторы r
v
a
C
C
C
0
0
0
,
,
. Поэтому, согласно (1.8), кинематические параметры движения материальных точек в центральной системе отсчета движения удовлетворяют тождествам 

 
m r
k k
k

n
=∑
≡

1
0;   
m r
k k
k

n
=∑
≡

1
0;   
m r
k k
k

n
=∑
≡

1
0.  
(1.9)

Элементы матриц моментов инерции системы материальных точек 
в двух разных расчетных системах координат SO и S, отличающихся друг от 
друга преобразованием относительного сдвига или преобразованием относительного поворота осей, связаны формулами Штейнера двух типов. 
1. В случае параллельного сдвига осей Oxyz относительно центральных 
осей Сxyz

 
I
I
Mr
O
C
C
=
−
2,  
(1.10)

где r
z
y
z
x
y
x
r
y
z
x y
x z
x
C

C
C

C
C

C
C

C

C
C
C
C
C C
=
−
−
−

⎛

⎝

⎜
⎜⎜

⎞

⎠

⎟
⎟⎟
= −
+
−
−
−
0
0
0

2

2
2

;
C C
C
C
C C

C C
C C
C
C

z
x
z
y z
x z
y z
x
y

2
2

2
2
+
−
−
−
+

⎛

⎝

⎜
⎜
⎜

⎞

⎠

⎟
⎟
⎟
; xС, yС, zС — 

координаты центра масс в системе осей Oxyz; IC, IO — матрицы моментов 
инерции.
2. В случае, когда оси OXYZ получены поворотом осей Oxyz вокруг точки О, 

 
I
A I
A
OXYZ
Oxyz
=
⋅
⋅
T,  
(1.11)

где A — матрица преобразования поворота осей координат Oxyz к осям OXYZ.