Теория механизмов и машин

Л.А. Чёрная, Г.А. Тимофеев

Теория механизмов и машин

Курсовое проектирование

Учебное пособие

УДК 531.8(075.8)
ББК 34.42
 
Ч-45

Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.ru/catalog/225/book1869.html

Рецензенты: 
заведующий кафедрой «Теория механизмов и машин» СПбПУ им. Петра Великого 
д-р техн. наук, профессор А.Н. Евграфов; 
доцент кафедры «Основы конструирования машин» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
канд. техн. наук В.В. Лычагин 

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Чёрная, Л. А.
Ч-45  
Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование : учебное пособие / Л. А. Чёрная, Г. А. Тимофеев. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2019. — 172, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4939-2

В краткой форме изложены основные разделы дисциплины «Теория механизмов и машин», охватывающие 
структурный анализ и метрический синтез механизмов, их кинематическое и динамическое исследования, синтез 
зубчатых зацеплений и проектирование планетарных и кулачковых механизмов, позволяющие разработать алгоритмы 
как графоаналитического, так и численного их исследования. Приведены примеры выполнения листов кур-
сового проекта с использованием математического пакета Mathсad и графических пакетов AutoCAD и «Компас». 
Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, читаемому в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов 3-го курса машиностроительных специальностей, выполняющих курсовой проект (курсовую 
работу) по дисциплине «Теория механизмов и машин». 
УДК 531.8(075.8)
ББК 34.42

ISBN 978-5-7038-4939-2 

© Чёрная Л. А., Тимофеев Г. А., 2019
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

Учебное пособие предназначено студентам 
высших учебных заведений, изучающим дисциплину «
Теория механизмов и машин» и обучающимся 
по машиностроительным направлениям 
подготовки и специальностям. При выполнении 
курсового проекта (работы) студент использует 
знания и навыки, полученные им при изучении 
теоретической части дисциплины, выполнении 
лабораторных работ и домашних заданий, а также 
при изучении предшествующих дисциплин: 
физики, математики, информатики и теоретической 
механики.
Основная цель учебного пособия — формирование 
у студентов навыков исследования и 
проектирования механизмов, объединенных в 
одном машинном агрегате, с использованием 
современных программных (или компьютерных) 
средств. Для достижения указанной цели 
большое внимание уделено осмыслению и алгоритмизации 
решаемых в курсовом проектировании 
задач. В пособии изложены графоаналитические 
и аналитические методы исследования 
и проектирования, ориентированные на применение 
персональных компьютеров. Приведены 
примеры использования системы Mathcad как 
средства численной реализации полученных 
алгоритмов в сочетании с графической визуализацией 
результатов, а также систем AutoCAD 
и «Компас» для решения задач графоаналитическими 
методами. По мнению авторов, все это 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

позволит значительно повысить уровень знаний 
студентов, привить им необходимые умения и 
навыки для решения практических задач в последующей 
их инженерной и научной деятельности.

В течение многих лет коллективом кафедры 
разрабатывалась методология и создавалось 
программное обеспечение, объединенное в систему 
автоматизированных расчетов курсового 
проектирования (САРКП), с которой можно ознакомиться 
на сайте кафедры: http://tmm-umk.
bmstu.ru 
Авторы с признательностью отмечают тот 
труд, который вложили в разработку суще-
ствующей методологии курсового проектиро-
вания несколько поколений преподавателей. 
Среди них академик К.В. Фролов, профессо-
ра В.А. Гавриленко, Н.В. Умнов, С.А. Попов, 
И.В. Леонов, доценты Д.М. Лукичев, И.Н. Ер-
макова, В.В. Каганова, А.К. Мусатов, В.Б. Тара-
барин, И.Н. Чернышова, В.В. Кузенков и мно-
гие другие преподаватели кафедры.
Авторы выражают благодарность студен-
ту А.А. Лушникову за помощь в техническом 
оформлении работы.
Предложения и замечания по улучшению 
книги можно направлять по адресу: 107005, 
Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, кафедра ТММ 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, или по электронному 
адресу: timga@bmstu.ru

Курсовой проект по дисциплине «Теория 
механизмов и машин» — первый проект, вы-
полняемый студентами, — в значительной мере 
отражает реальную практику проектирования 
современных машин. При создании новой тех-
ники выделяют пять последовательных этапов 
проектирования: 1) техническое задание; 2) тех-
нические предложения; 3) эскизный проект; 
4) технический проект; 5) рабочий проект. 
Исследования и разработки, проводимые 
студентами при выполнении курсового проекта, 
относятся к первым двум этапам проектирова-
ния и в малой степени — к третьему этапу. 
Курсовой проект знакомит также с такой 
особенностью проектирования, как многовари-
антность. Этап сравнения и выбора вариантов 
по тем или иным критериям является опреде-
ляющим на начальной стадии проектирования.
Исходные данные к курсовому проекту со-
держатся в специальных сборниках заданий к 
курсовому проектированию, а также на сайте 
кафедры «Теория механизмов и машин» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана: http://tmm-umk.bmstu.ru 
Все задания носят комплексный характер и 
базируются на реально существующих маши-
нах, в которых иногда с целью упрощения вы-
делен только один из ее механизмов и частично 
изменены исходные данные. 
В части I проекта решаются задачи синтеза 
и анализа плоского рычажного механизма (ме-
ханизма с низшими кинематическими парами), 
в части II — задачи синтеза механизмов с выс-
шими кинематическими парами: зубчатых и ку-
лачкового.
Исследование рычажного механизма состав-
ляет содержание первых двух листов курсового 
проекта и включает четыре последовательных 
этапа:
1) проектирование кинематической схемы 
(метрический синтез) (см. разд. 1);
2) структурный и кинематический анализ 
(см. разд. 2);

3) анализ движения механизма в составе 
машины под действием заданных внешних сил 
(см. разд. 3);
4) кинетостатический анализ (см. разд. 4).
Третий и четвертый листы проекта посвящены 
синтезу механизмов с высшими кинематическими 
парами: трехзвенной зубчатой передачи 
(см. разд. 5), планетарного зубчатого механизма 
с заданной структурной схемой (см. разд. 6) 
и кулачкового механизма с вращающимся кулачком 
и качающимся или поступательно перемещающимся 
остроконечным или роликовым 
толкателем (см. разд. 7). 
Все выполненные по курсовому проекту исследования 
оформляют в виде соответствующего 
раздела пояснительной записки, приложения 
и четырех листов формата А1 или А2.
Примеры выполнения листов курсового 
проекта в системах AutoCAD или «Компас» 
приведены в приложении 7. 
Пояснительная записка должна содержать техническое 
задание на курсовое проектирование.
В каждом подразделе пояснительной записки 
необходимо:

• выполнить постановку задачи с указанием 
допущений, исходных данных, метода решения 
и определяемых величин;

• построить расчетные схемы для вывода 
формул и описания порядка решения задачи; 

• привести результаты решения в виде таблиц 
или отдельных величин с указанием их размерности;

• 
сделать выводы.
Замечание. Графики из Mathcad-программы 
в пояснительной записке не приводятся. 
Разработанные при исследовании и проектировании 
механизмов Mathcad-программы 
оформляют в виде приложения и предъявляют 
на защите курсового проекта в электронном 
виде (на флеш-накопителе). 
Примеры использования системы Mathcad 
при исследовании и проектировании механизмов 
приведены в приложениях 1–6.  

ВВЕДЕНИЕ 

Часть I

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ  
С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ  

1.1. Постановка задачи синтеза 

Цель метрического синтеза плоского рычажного 
механизма — определение постоянных параметров 
кинематической схемы механизма по 
его структурной схеме. 
При проектировании механизма принят ряд 
допущений.
Д о п у щ е н ие 1.1. Звенья механизма представляют 
собой абсолютно твердые тела.
Д о п у щ е н ие 1.2. Независимо от особенностей 
конструктивного выполнения все шарнирные 
соединения считаем вращательными 
кинематическими парами, а все соединения, 
допускающие прямолинейное относительное 
движение звеньев, — поступательными парами, 
поэтому все пары рычажного механизма — од-
ноподвижные пары V класса.
Д о п у щ е н ие 1.3. Зазоры в кинематических 
парах отсутствуют.
Д о п у щ е н ие 1.4. Силами трения пренебре-
гаем.
Необходимость предварительного метриче-
ского синтеза рычажного механизма обусловле-
на тем, что в техническом задании к курсовому 
проектированию приведены не все его геоме-
трические размеры. Как правило, в курсовом 
проекте решают одну типовую задачу синтеза 
плоского рычажного механизма с одной степе-
нью свободы.
Размеры звеньев механизма можно опреде-
лить, например, по крайним положениям ведо-
мого звена или по трем заданным положениям 
ведущего и ведомого звеньев, по средней ско-
рости одного из звеньев или по заданному ко-
эффициенту изменения его средней скорости. 
Для получения работоспособного механизма 
при синтезе требуется выполнить некоторые 
обязательные условия, такие как условие суще-
ствования механизма на заданном интервале 
движения входного звена, условие постоянства 
сборки и т. п. В рычажных механизмах с непре-
рывным вращением кривошипа, кроме того, 

необходимо обеспечить условие проворачивае-
мости кривошипа.
Помимо обязательных возможен ряд до-
полнительных условий, связанных, например, 
с ограничением размеров заданными предела-
ми или с требованием благоприятных условий 
передачи сил от ведущего звена к ведомым зве-
ньям, оцениваемых углами давления.
Углом давления называется угол между век-
тором силы, с которой ведущее звено действу-
ет на ведомое, и вектором скорости точки ве-
домого звена, к которой приложена сила. Если 
силами трения пренебречь, то угол давления — 
это острый угол между контактной нормалью 
и вектором скорости контактной точки ведомо-
го звена. 
В пособии рассмотрим задачи метрического 
синтеза для разных видов плоских рычажных ме-
ханизмов II класса, представленных в заданиях 
на курсовое проектирование. Расчетные алгорит-
мы большинства задач синтеза приводят к систе-
ме четырех (и более) трансцендентных уравнений. 
Для их решения используют итерационные мето-
ды с заданной степенью точности. Эффективное 
применение итерационных методов существенно 
зависит от удачного выбора начального приближения 
и быстроты сходимости процесса.
Для численной реализации полученных алгоритмов 
и графической визуализации результатов 
предлагается использовать систему Mathcad. 
Почти все встроенные функции Mathcad, предназначенные 
для решения нелинейных алгебраических 
уравнений, нацелены на нахождение 
корней, приближенные значения которых уже 
известны. Приближенные значения корней (начальные 
приближения) могут быть известны из 
физического смысла задачи, из решения аналогичной 
задачи при других исходных данных или 
найдены графическим способом.
Для решения системы уравнений в Mathcad 
необходимо построить так называемый вычислительный (
решающий) блок, имеющий следующую 
структуру:

Раздел 1. МЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

• начальные условия — определяют начальные 
значения искомых переменных и задаются 
обычным присваиванием;

• Given — ключевое слово, которое указывает 
Mathcad, что далее следует система уравнений;

• уравнения — задаются с применением 
жирного знака равенства (панель инструментов 
Boolean) между левой и правой частями уравнения; 

• 
ограничительные условия — задаются в виде 
неравенств или равенств (панель инструментов 
Boolean), которые должны выполняться при ре-
шении системы уравнений; 

• выражение, содержащее функцию для реше-
ния системы, — может быть представлено одной 
из функций Find, Minerr, Maximize, Minimize, 
Odesolve, Pdesolve.
Рассмотрим функции Find и Minerr. 
Функция Find(x1,x2,…,xn) возвращает значе-
ние одной или ряда переменных x1,x2,…,xn для 
точного решения системы уравнений; число 
аргументов должно быть равно числу неизвест-
ных.
Внутри вычислительного блока недопу-
с ти мы: 

• ограничения со знаком «≠»; 

• дискретный аргумент или выражения, со-
держащие дискретный аргумент в любой форме;

• неравенства вида a < b < c;

• вложенные один в другой блоки решения 
уравнений (каждый блок может иметь только 
одно ключевое слово Given и имя функции Find). 
Функция Find, которая завершает блок ре-
шения уравнений, может быть использована 
аналогично любой другой функции. С помо-
щью этой функции можно выполнить следую-
щие три действия:

• вывести найденное решение, напечатав 
выражение вида Find(var1,var2,…) =;

• определить переменную a := Find(x) — ска-
ляр или var := Find(var1,var2,…) — вектор; 

• определить другую функцию f(a,b,c,…):= 
:= Find(x,y,z,…); эта конструкция удобна для мно-
гократного решения системы уравнений при 
различных значениях некоторых параметров 
a, b, c, …, непосредственно входящих в систему 
уравнений.
Сообщение об ошибке («Решение не найде-
но») при решении уравнений появляется в сле-
дующих случаях: 

• поставленная задача может не иметь реше-
ния;

• для уравнения, которое не имеет веще-
ственных решений, в качестве начального при-
ближения взято вещественное число, и наобо-
рот;

• одно из приближений попало в точку ло-
кального минимума невязки (для поиска иско-

мого решения следует задать другие начальные 
приближения);

• поставленная задача не может быть реше-
на с заданной точностью (в этом случае следует 
увеличить значение TOL (TOL — точность чис-
ленных методов)). 
TOL = 10–3 — допустимая погрешность для 
различных алгоритмов аппроксимации (инте-
грирования, решения уравнений и т. п.).
СTOL = 10–3 — погрешность для условий огра-
ничения при решении оптимизационных задач 
с применением функций Maximize, Minimize, 
Final и Minerr. 
Функция Minerr(x1,x2,…,xn) возвращает зна-
чение одной или ряда переменных x1,x2,…,xn 
для приближенного решения системы уравнений 
с минимальной ошибкой. 
Разли чие между функциями Find и Minerr 
заключается в том, что первая используется, 
когда решение F(x1,x2,…,xn)=0 реально существу-
ет, а вторая — когда находятся такие значения 
переменных x1,x2,…,xn, при которых функция 
F(x1,x2,…,xn) будет максимально приближена к 
нулю. 
Например, если функция F(x1,x2,…,xn) тако-
ва, что при заданной точности вычислений при 
использовании функции Find выдается сооб-
щение о том, что решения не существует, при 
использовании функции Minerr будут найдены 
значения переменных x1,x2,…,xn, но с меньшей 
точностью. 

1.2. Кривошипно-ползунные механизмы

1.2.1. Типы и особенности  
кривошипно-ползунных механизмов 

Кривошипно-ползунный механизм (рис. 1.1) 
применяют для преобразования вращательного 
движения кривошипа 1 в возвратно-поступа-
тельное движение ползуна 3 и наоборот. 
Смещение центра вращения кривошипа А 
относительно оси ползуна называется эксцен-
триситетом е. Если e > 0, механизм называется 
дезаксиальным (рис. 1.1, а), если е = 0 — аксиаль-
ным или центральным (рис. 1.1, б ). Аксиальный 
механизм применяют как при ведущем кривоши- 
пе (звено 1), так и при ведущем ползуне (звено 3). 
Геометрические параметры механизма: l1  — 
длина кривошипа 1; l2  — длина шатуна 2; e — 
эксцентриситет (внеосность). В расчетах удобно 
использовать относительные величины: λ2 =
= l
l
2
1
/  — относительную длину шатуна 2; 

λe
e l
= / 1  — относительную внеосность. На 
рис. 1.1 показаны направление вращения кри-
вошипа с угловой скоростью ω1  и угол ϑ давле-
ния между шатуном и ползуном. 

Примем следующие обозначения: ∆ϕi  — 
интервал изменения угловой координаты ϕi;  
ϕ j  — угол, отсчитываемый от положительного 
направления оси x против хода часовой стрелки 
до положительного направления соответствую-
щего вектора. 
Звено 1 будет кривошипом, если выполнено 
условие проворачиваемости кривошипа: 

l
l
e
2
1
>
+ .  

При несоблюдении этого условия механизм 
становится коромыслово-ползунным.
В крайних положениях механизма криво-
шип 1 и шатун 2 расположены на одной пря-
мой. Перемещение ползуна 3 из крайнего поло-
жения Сн в крайнее положение Ск (прямой ход) 
происходит при повороте кривошипа на угол 
∆ϕпр.х, а обратный ход — при его повороте на 
угол ∆ϕобр.х. Фазовые углы ∆ϕпр.х  и ∆ϕобр.х  со-
ответствуют прямому (рабочему) и обратному 
(холостому) ходу. Рабочий ход H механизма — 
расстояние между крайними положениями 
ползуна 3, т. е. между положениями Сн и Ск вра-
щательной 
кинематической 
пары 
С 
(см. 
рис. 1.1). В д е за ксиальном механизме углы 
∆ϕпр.х  и ∆ϕобр.х  не равны (см. рис. 1.1, а) и, как 
правило, ∆
∆
ϕ
ϕ
пр.х
обр.х
>
.  
Введем вспомогательный угол θ, называе-
мый углом перекрытия (см. рис. 1.1). В течение 
времени ∆tпр.х прямого хода кривошип повер-
нется на угол ∆ϕ
π
θ
пр.х =
+ ,  а в течение времени 
∆tобр.х обратного хода — на угол ∆ϕ
π
θ
обр.х =
− .  

Коэффициент Kv изменения средней скорости 
выходного звена 3 есть отношение его средних 
скоростей vобр.х  и vпр.х  при обратном и прямом 
ходе соответственно:

 
K
v
v
H
t
H
t
v =
=
обр.х

пр.х

обр.х

пр.х

/
/
∆
∆
.  
(1.1)

Из формулы (1.1) следует, что коэффициент Kv 
характеризует также отношение продолжитель-
ности прямого ∆ϕпр.х  и обратного ∆ϕобр.х  хода: 

 
Kv =
=
+
−
∆
∆
ϕ
ϕ

π
θ
π
θ

пр.х

обр.х
.  
(1.2)

Угол перекрытия 

 
θ
π
=
−
+
K
K

v

v

1
1.  
(1.3)

В дезаксиальном механизме (см. рис. 1.1, а) 
значение Kv >1.

В аксиальном механизме (см. рис. 1.1, б) 

∆
∆
ϕ
ϕ
π
пр.х
обр.х
=
= ,  угол перекрытия θ = 0, ко-
эффициент Kv =1, рабочий ход равен удвоен-
ной длине кривошипа: H
l
= 2 1.

Введем еще одно понятие: ход hC ползуна есть 
расстояние между положениями Cн и Cк ползу-
на 3 при движении кривошипа из положения 
ϕ1н  в положение ϕ1к.  

1.2.2. Синтез механизма по двум заданным  
положениям кривошипа и ходу ползуна

Заданы: относительная длина λ2  шатуна; от-
носительная внеосность λe;  угловые координа-
ты кривошипа 1 (рис. 1.2, а) в двух положениях: 
начальном ϕ1н  и конечном ϕ1к,  причем не обя-
зательно они будут соответствовать крайним 
положениям механизма; ход hC  ползуна 3 при 
движении кривошипа из начального положения 
ϕ1н  в конечное положение ϕ1к;  координата 
y
e
C = . 
Найти: длину l1 кривошипа и l2 шатуна, углы 
ϑн и ϑк давления между шатуном и ползуном 
в начальном и конечном положениях. 
В соответствии с определением ход ползуна 

h
x
x
x
x
C
C
C
C
C
=
−
=
−
н
к
н
к
(
)
(
),
ϕ
ϕ
1
1
 

где xCн, xCк  — координаты центра вращатель-
ной кинематической пары C в начальном Cн 
и конечном Cк положениях. 
Используя рис. 1.2, а, составим замкнутый 
векторный контур ABCA  (рис. 1.2, б). Запишем 

е

H

A

B

1

Bн
обр.х

пр.х

0

1

2

0

C

Cн

Bк


а



Cк

3



1

2

0



3

B

0
Cн


A

1

2

H

Cк
0

3
C
1

б

Bн
Bк

0

2

0

3

1

Рис. 1.1

для него условие замкнутости: l
l
rC
1
2
+
=
.  Про-

ецируя это условие на оси x и y для двух углов 
ϕ1н  и ϕ1к,  получим систему уравнений, опреде-
ляющих линейные координаты точек и угловые 
координаты звеньев механизма в начальном и 
конечном положениях:

 

l
l
x

l
l
e
l
l

C
1
1
2
2

1
1
2
2

1
1
2
2

cos
cos
,

sin
sin
,
cos
cos

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

ϕ
ϕ

н
н

н
н

к

н
+
=

+
=

+
к

к
к

к
=

+
=











x

l
l
e

C ,

sin
sin
.
1
1
2
2
ϕ
ϕ

 
(1.4)

С учетом условий связи λ2
2
1
= l
l/  и λe
e l
= / 1  
из второго уравнения системы (1.4) найдем

ϕ
λ
ϕ
λ
2
1
2
н
н /
=
−
[
]
arcsin (
sin
)
,
e

а из четвертого уравнения определим 

ϕ
λ
ϕ
λ
2
1
2
к
к /
=
−
[
]
arcsin (
sin
)
.
e

Углы давления между шатуном и ползуном 
в начальном и конечном положениях соответ-
ственно ϑ
ϕ
н
н
=
2 , ϑ
ϕ
к
2к
=
.

Длину кривошипа l1  найдем, если из перво-
го уравнения системы (1.4) вычтем третье урав-
нение:

l
hC
1
2
=
−
+
−
[
]
/
1н
1к
2н
2к
cos
cos
(cos
cos
) ,
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
 

где h
x
x
C
C
C
=
−
н
к .

Длина шатуна 

l
l
2
2 1
= λ
.

Решение данной задачи синтеза в системе 
Mathcad приведено в приложении П1.1.

1.2.3. Синтез механизма по средней скорости 
движения ползуна и по заданному углу  
давления

Чаще всего синтез по средней скорости дви-
жения ползуна применяют при проектировании 
аксиального кривошипно-ползунного механиз-
ма (см. рис. 1.1, б). В этом случае дополнитель-
но заданы: средняя скорость vср движения ползу-
на, м/c, и частота n1 вращения кривошипа, с–1.
Кривошип совершает один оборот за вре-
мя tц полного цикла работы механизма, с: 

t
n
ц
/
=1
1.  

Учитывая, что механизм движется с одина-
ковой средней скоростью в прямом и обратном 
направлениях, найдем рабочий ход ползуна:

H
v t
=
ср ц/2.

Как уже указывалось, для центрального кри-
вошипно-ползунного механизма H
l
= 2 1,  тогда 
длина кривошипа l
v
n
1
1
4
=
ср/(
), м, а длина ша-
туна l
l
2
2 1
= λ
,  м.
При синтезе механизма по заданному углу 
давления необходимо, чтобы максимальное зна-
чение угла давления во вращательной кинема-
тической паре на ползуне не превышало 
допустимого значения [ϑ]: ϑ
ϑ
max
[ ].
≤
 Ориенти-
ровочно [ϑ] ≤ 30° при прямом (рабочем) ходе 
и [ϑ] ≤ 45° при об ратном (холостом) ходе. 
В центральных кривошипно-ползунных меха-
низмах поршневых машин обычно угол давле-
ния [ϑ] = 10…20°. 
В кривошипно-ползунных механизмах угол 
ϑ давления (см. рис. 1.1) принимает максималь-
ное значение при углах поворота кривошипа 
ϕ1 = 90° или ϕ1 = 270°, т. е. 

ϑmax
arcsin
,
=
+







l
e

l

1

2

 

или

ϑ
λ
λ

max
arcsin
.
=
+






1

2
e

 

Эти формулы можно использовать как при 
проверочном расчете, так и при метрическом 
синтезе для определения недостающих разме-

е

Cк

Bн

x

Bк

а

hC

1н

0

к

хCк

хCн

y
1
2
1

1к
Cн
3

0
A
н

0

2

1

3

0

l1

x

C

б

y

2

A

1
rC

l2

B





Рис. 1.2