Экспериментальные исследования в электроэнергетике и агроинженерии

В.Я. Хорольский, М.А. Таранов, 
В.Н. Шемякин, С.В. Аникуев
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 
В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ 
И АГРОИНЖЕНЕРИИ
Учебное пособие
Допущено
Министерством сельского хозяйства Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших аграрных учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 
35.04.06 «Агроинженерия»


УДК 621.3
ББК 31.2
       Х81
Рецензенты:
А.С. Степанов – доктор технических наук, заместитель директора 
по научной работе Института электроэнергетики, электроники 
и нанотехнологий Северо-Кавказского федерального университета;
С.В. Оськин – доктор технических наук, профессор, 
заведующий кафедрой электрических машин и электропривода 
Кубанского государственного аграрного университета
Хорольский В.Я.
Х81
ISBN 978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)
В учебном пособии изложены теоретические и практические вопросы организации и проведения экспериментальных исследований, 
оценки погрешности измерений, планирования экспериментов, обработки статистических данных.
Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям магистерской подготовки 35.04.01 
«Агроинженерия».
Будет также полезно студентам средних специальных учебных заведений, обучающимся по электротехническим специальностям,
спе 
циалистам энергетических служб.
и
УДК 621.3
ББК 31.2
©  
В.Я. Хорольский, М.А. Таранов, 
В.Н. Шемякин, С.В. Аникуев, 2014
© Издательство «ФОРУМ», 2014
ISBN  978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)

COДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................................................................................................................. 4
Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей.................................................... 5
1.1. Случайные события и случайные величины 
.................................................. 5
1.2. Числовые характеристики случайных величин 
.............................................. 7
1.3. Законы распределения случайных величин ................................................... 8
Глава 2. Основы постановки и проведения экспериментальных исследований 
........13
2.1. Понятие экспериментаи характеристика объекта исследований ................13
2.2. Специфика проведения экспериментальных исследований 
........................15
2.3. Классификация экспериментов 
......................................................................16
2.4. Этапы постановки и проведения экспериментальных исследований 
.........19
Глава 3. Обработка результатов экспериментов ........................................................24
3.1. Погрешности измерений 
.................................................................................24
3.2. Предварительная обработка экспериментальных данных 
............................26
3.3. Оценка случайной погрешности прямых измерений 
...................................28
3.4. Обработка результатов косвенных измерений 
..............................................35
3.5.  
Определение параметров эмпирических зависимостей методов 
наименьших квадратов 
....................................................................................40
3.6. Корреляционный анализ экспериментальных данных.................................47
Глава 4. Планирование экспериментов 
.......................................................................52
4.1. Общие положения............................................................................................52
4.2 Планирование однофакторного эксперимента 
..............................................55
4.3. Планирование многофакторных экспериментов 
..........................................57
4.4.  
Экспериментальная оптимизация при постановке 
многофакторного эксперимента ....................................................................73
Глава 5. Статистическая обработка результатов исследований 
................................76
Приложения 
.................................................................................................................88
Приложение А. Критерии для исключения выскакивающих значений .............88
Приложение Б. Коэффициенты Стьюдента tα 
......................................................89
Приложение В.  
Квантели распределения Кохрена gn для уровня 
достоверности 95 %.......................................................................89
Приложение Г.  
Квантели распределения Фишера для уровня 
достоверности 95 %.......................................................................90
Приложение Д. Квантили распределения χ2 - Пирсона 
......................................91
Приложение Е. Приведенная функция Лапласа 
...................................................93
Литература 
...................................................................................................................95

ПРЕДИСЛОВИЕ
Переход в высшей школе на систему образования с подготовкой бакалавров и магистров диктует необходимость создания методического 
обеспечения для разработки магистерских диссертаций. Среди различных 
дисциплин, обеспечивающих выполнение такой задачи, важное место 
принадлежит экспериментальным исследованиям.
В процессе организации экспериментальных исследований решается 
широкий круг задач, связанных с постановкой исследования, разработкой программы его проведения, оценкой полученных результатов. В ряде 
случаев эксперименты выполняются в условиях действия случайных факторов, и обработка результатов таких экспериментов связана с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.
Учитывая ограниченный объем методических материалов по вопросу разработки магистерской диссертации, авторы при написании пособия 
придерживались точки зрения, что излагаемый материал должен быть написан кратко, ясно, доступно для понимания, а необходимые теоретические выкладки подкреплены решением задач из области электроэнергетики и электротехники.
Основное теоретическое содержание пособия составляют вопросы, 
связанные с оценкой погрешности измерений, планированием экспериментов, обработкой статистических данных.
В пособии даются методические рекомендации по оценке погрешности прямых и косвенных измерений.
Внедрение математических методов планирования экспериментов позволяет в значительной степени исключить интуитивный, волевой подход 
и заменить его научнообоснованной программой проведения экспериментальных исследований, содержащей объективную оценку полученных 
результатов. При этом осуществляется управление процессами проведения эксперимента с минимальным числом опытов. Известно, что методы 
планирования экспериментов базируются на теоретических положениях 
корреляционно-регрессионного анализа. Использование такого подхода 
в книге доведено до решения конкретных примеров из области электроэнергетики и электротехники.
Пособие содержит также необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики, позволяющие студенту квалифицированно проводить обработку статистических данных.
Авторы надеются, что методические рекомендации, изложенные в 
данном пособии, будут также полезны студентам и аспирантам других 
направлений, работающим над магистерскими и кандидатскими диссертациями.

ГЛАВА 1
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Абстрактное понятие «событие» определяется тем, что происходит или не происходит некоторое явление. Понятия «случайность», 
«вероятность» заимствованы из внешнего мира. Случайность – случай, вероятность – вера. В этом случае теория вероятностей является 
прикладной наукой, она работает с окружающим миром. При этом 
случайность – это явление, а вероятность – это средство его количественного описания, мера возможности его наступления в будущем.
Итак, вероятность – это численная мера возможности появления 
или непоявления изучаемого события, например, при производстве испытаний ею называется отношение числа благоприятных исходов испытаний к общему числу проведенных испытаний. 
Вероятность события А определяется по формуле
 
N
m
)
A
(
P
=
,  
 (1.1)
где m – число благоприятных исходов, N – общее число исходов.
Событие, вероятность которого равна единице, называется достоверным событием, т.е. таким событием, которое в результате опыта 
обязательно произойдет. Событие, вероятность которого равна нулю, 
называется невозможным событием. Случайным называется событие, 
которое может произойти или не произойти при определенных заданных условиях.
Предсказать каждое случайное событие невозможно. Однако большое число однородных случайных событий подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Теория вероятностей занимается изучением этих закономерностей.
При одновременном изучении двух или нескольких событий различают независимые и зависимые, совместные и несовместные события. Если вероятность одного события не изменяется от того, 
произошло или не произошло другое событие, то такие события называются независимыми. Если же возможность появления одного события зависит от того, произошло или не произошло другое событие, 
то такие события называются зависимыми событиями. Импульсные 

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
6
перенапряжения в электрических сетях возникают независимо от технического состояния этих сетей (независимые события), и в то же 
время отказ одного из элементов электрической сети может привести 
к отказу других элементов электроустановки (зависимые события). 
События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе и, наоборот, события называются совместными, 
если они могут появиться одновременно.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 0 ≤ Р(А) ≤ 1.
Понятием, весьма близким к понятию вероятности, является относительная частота событий, или частость. Частость определяется 
по формуле
 
ω(A) = ω/N 
(1.2)
где ω – число появления событий в испытаниях.
Разница между вероятностью и частостью заключается в том, что 
для определения частости требуется проведение испытаний, а для 
определения вероятности они не требуются.
Случайной величиной Х называется величина, которая в данном 
конкретном опыте может принимать одно из множества возможных 
значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные 
величины могут быть дискретными или непрерывными. В качестве 
дискретных величин можно рассматривать число аварийных заявок 
на обслуживание электроустановок, количество поступивших в ремонт электродвигателей и др. Непрерывной случайной величиной 
является время вынужденного простоя электроустановки из-за аварийной ситуации, длительность грозовых перенапряжений и т.д.
Для описания случайной величины нужно знать вероятности принятия ею различных значений. Исчерпывающей характеристикой 
случайной величины является закон ее распределения, под которым 
понимается связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями [5].
Закон распределения случайной величины может задаваться в виде 
таблиц, графиков, аналитически. Например, для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, 
первая строка которой содержит все возможные значения случайной 
величины, а вторая – соответствующие вероятности их появления 
(табл. 1.1).
Таблица 1.1
 Табличная форма задания закона распределения
х1
х2
…
хn
Р1
Р2
…
Рn

1.2. Числовые характеристики случайных величин
7
Pi
Сумма вероятностей всех возможных событий равна единице:
Р1 + Р2 + … + Рn = 1.        (1.3) 
Закон распределения дискретной случайной величины может задаваться в виде графика (рис. 1.1), 
где каждому значению Х = хi соответствует вероятность Рi.
Х=х
Рис. 1.1.  Закон распределения 
дискретной случайной величины
1.2. ЧИСЛОВЫЕ 
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ 
ВЕЛИЧИН
Вместо полного определения случайной величины в виде закона 
распределения в прикладных задачах часто используют числовые характеристики, называемые моментами случайной величины. Наиболее часто на практике в качестве числовых характеристик используются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание М(х) дискретной случайной величины – 
сумма произведений всех возможных значений случайной величины 
на вероятность этих значений. Если задан ряд распределения вероятностей Рi для значений хi дискретной случайной величины Х, то 
математическое ожидание определяется по формуле
 
М(х) = mx = Σ 
n
 хi Рi. 
(1.4)
Основные свойства математического ожидания: математическое 
ожидание приблизительно равно среднему арифметическому значению случайной величины (чем больше число испытаний, тем точнее это тождество), математическое ожидание постоянной величины 
равно постоянной величине.
Показателем, характеризующим степень рассеяния случайной величины около своего математического ожидания, является дисперсия 
(математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины 
от ее математического ожидания):
 
D(X) = M[X – D(X)]2. 
(1.5)
Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением:
 
 
)
X
(
D
x =
σ
. 
(1.6)

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
8
Так как для непрерывных случайных величин невозможно перечислить все их возможные значения, то для таких величин пользуются не вероятностью события P (X = xi), а вероятностью события 
P (X < xi). Зависимость вероятности P (X < xi) от х называется функцией распределения непрерывной случайной величины F(x):
 
 
).
x
X
(
P
)
x
(
F
<
=
 
(1.7)
Функция распределения – самая универсальная характеристика 
случайной величины. Она существует для всех случайных величин, 
как дискретных, таки непрерывных.
Кроме интегральной функции распределения F(x) в практике проведения вероятностных расчетов используется такая характеристика, как плотность распределения вероятностей случайной величины 
(дифференциальный закон распределения случайной вели 
чины):
 
 
.
dx
)
x
(
dF
)
x
(
f
=
 
(1.8)
Функции F(x) и f(x) обладают следующими основными свойствами:
• 
F(–∞) = 0, F(+∞) = 1;
• 
F(x1) ≥ F(x2) при х1≥ x2;
• 
функция распределения непрерывна слева, т.е. F(x) = F(x – 0);
∞
• ∫
∞
−
= 1
dx
)
x
(
f
;
• 
f(x) ≥ 0.
Математическое ожидание и дисперсия для непрерывных случайных величин определяются по формулам
∞
 
∫
∞
−
=
dx
)
x
(
xf
mx
, 
(1.9)
∞
 
 
(
)
[
]
(
)
∫
∞
−
−
=
−
=
dx
)
x
(
f
m
x
m
X
M
)
x
(
D
2
x
2
x
. 
(1.10)
1.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Известно большое количество законов распределения случайных 
величин. Рассмотрим наиболее часто используемые из них.
Распределение Пуассона. Распределение Пуассона применяется для 
описания дискретных случайных величин. Он позволяет определить 
вероятность Рk(t) наступления ровно k событий за промежуток времени t:
 
a
k
k
e
!
k
a
)
t
(
P
−
=
, 
(1.11)
где a – математическое ожидание числа событий за время t.
От значения величины а зависит вид кривых распределения (рис. 1.2).

1.3. Законы распределения случайных величин
Pk(t)
0,5
а = 0,5
а = 1
а = 2
0,25
а = 3,5
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 1.2. Вид кривых распределения Пуассона 
при различных значениях а
Пример 1.1. Средний выход осветительных приборов в ремонтной 
мастерской за время T = 1000 ч составил 20 шт. Какова вероятность 
того, что за время 100 ч возникнет 3 отказа?
Р е ш е н и е. 1. Так как отказы независимы друг от друга и 
равномерно распределены во времени, число отказов за время 100 ч 
распределяется по закону Пуассона. Математическое ожидание числа 
отказов за время 100 ч а определим следующим образом:
λ = n
T  = 20
1000 = 0,02  и а = λt = 0,02×100 = 2.
2. Вероятность возникновения трех отказов
 
3
k
=
⋅
⋅
=
=
−
−
=
.
18
,
0
е
3
2
1
2
е
!
k
а
Р
2
3
а
k
Нормальный закон распределения. Нормальное распределение занимает особую роль в теории вероятностей. Множество событий происходит случайно вследствие воздействия на них большого числа независимых (или слабо зависимых) возмущений, и у таких явлений 
закон распределения близок к нормальному. Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее 
полно разработано. Основная особенность его заключается в том, что 
он является предельным законом, к которому приближаются другие 
законы распределения.
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной 
по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид
⎛
⎞
 
(
)
2
x
 
σ
−
−
σ
π
=
2
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎠
x
x
2
m
x
exp
2
1
)
x
(
f
, 
(1.12)
где mx и σx – математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х.

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
10
График плотности нормального распределения (см. рис. 1.3) называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Функция распределения при нормальном законе равна
⎛
2
x
x
. 
(1.13)
 
(
)
dx
2
m
x
2
1
)
x
(
F
 
2
σ
−
−
σ
π
=
∫
∞
−
⎞
⎜
⎜
⎝
x
x
⎟
⎟
⎠
⎞
x
x
m
Ф
m
Ф
)
x
(
P
, 
(1.14)
⎛
σ
β
=
β
<
<
α
При нормальной кривой распределения вероятность попадания 
случайной величины х в интервал (α, β) можно определить по формуле
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
α
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
x
x
σ1 < σ2 < σ3
f(X)
σ1
σ2
σ3
t
mx
Рис. 1.3. Плотность нормального 
распределения
где Ф(х) – табулированная функция Лапласа.
Нормальное распределение 
обладает двумя замечательными свойствами:
1. Согласно правилу трех 
сигм  вероятность отклонения 
случайной величины более чем 
на 3σ ничтожно мала (0,0027). 
С учетом правила 3σ можно 
установить наличие промаха 
в результате отдельного измерения, а значит, отбросить 
его, если результат измерения 
более чем на 3σ отличается от 
измеренного среднего значения случайной величины.
2. Если случайная величина Х представляет собой 
сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, 
влияние которых на всю сумму мало, то величина Х имеет нормальное распределение. Закономерность такого утверждения следует из 
центральной предельной теоремы Ляпунова.
Распределение Вейбулла. Плотность распределения для случайных 
величин, подчиняющихся закону Вейбулла, определяется по формуле
 
f(t) = βαtα–1exp(–βαtα), 
(1.15)
где β и α – параметры распределения, β – параметр масштаба, α – 
параметр формы кривой.
Кривая, характеризующая плотность распределения случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, показана на рис. 1.4.