Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Экспериментальные исследования в электроэнергетике и агроинженерии

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 277600.05.01
Доступ онлайн
от 116 ₽
В корзину
В учебном пособии изложены теоретические и практические вопросы организации и проведения экспериментальных исследований, оценки погрешности измерений, планирования экспериментов, обработки статистических данных. Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям магистерской подготовки 35.04.01 «Агроинженерия». Будет также полезно студентам средней специальных учебных заведений, обучающимся по электротехническим специальностям, и специалстам энергетических служб.
Экспериментальные исследования в электроэнергетике и агроинженерии : учебное пособие / В. Я. Хорольский, М. А. Таранов, В. Н. Шемякин, С. В. Аникуев. — Москва : Форум : ИНФРА-М, 2022. — 96 с. - ISBN 978-5-91134-882-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1946462 (дата обращения: 29.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
В.Я. Хорольский, М.А. Таранов, 

В.Н. Шемякин, С.В. Аникуев

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ 

И АГРОИНЖЕНЕРИИ

Учебное пособие

Допущено

Министерством сельского хозяйства Российской Федерации

в качестве учебного пособия

для студентов высших аграрных учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки 

35.04.06 «Агроинженерия»


Ðåöåíçåíòû:

À.Ñ. Ñòåïàíîâ – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà 
ïî íàó÷íîé ðàáîòå Èíñòèòóòà ýëåêòðîýíåðãåòèêè, ýëåêòðîíèêè 
è íàíîòåõíîëîãèé Ñåâåðî-Êàâêàçñêîãî ôåäåðàëüíîãî óíèâåðñèòåòà;
Ñ.Â. Îñüêèí – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, 
çàâåäóþùèé êàôåäðîé ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è ýëåêòðîïðèâîäà 
Êóáàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àãðàðíîãî óíèâåðñèòåòà

Õîðîëüñêèé Â.ß.

ISBN 978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)

 ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû òåîðåòè÷åñêèå è ïðàêòè÷åñêèå âîï-

ðîñû îðãàíèçàöèè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, 
îöåíêè ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ, îá-
ðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.

Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäå-

íèé, îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì ìàãèñòåðñêîé ïîäãîòîâêè 35.04.01 
«Àãðîèíæåíåðèÿ».

Áóäåò òàêæå ïîëåçíî ñòóäåíòàì ñðåäíèõ ñïåöèàëüíûõ ó÷åáíûõ çà-

âåäåíèé, îáó÷àþùèìñÿ ïî ýëåêòðîòåõíè÷åñêèì ñïåöèàëüíîñòÿì,

ñïå öèàëèñòàì ýíåðãåòè÷åñêèõ ñëóæá.

Õ81

ÓÄÊ 621.3
ÁÁÊ 31.2
       Õ81

ÓÄÊ 621.3
ÁÁÊ 31.2

©  Â.ß. Õîðîëüñêèé, Ì.À. Òàðàíîâ, 

Â.Í. Øåìÿêèí, Ñ.Â. Àíèêóåâ, 2014

© Èçäàòåëüñòâî «ÔÎÐÓÌ», 2014

ISBN  978-5-91134-882-3 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-009791-6 (ИНФРА-М)

è

COДЕРЖАНИЕ

Ïðåäèñëîâèå.................................................................................................................. 4

Ãëàâà 1. Êðàòêèå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.................................................... 5
1.1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû .................................................. 5
1.2. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .............................................. 7
1.3. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................................... 8

Ãëàâà 2. Îñíîâû ïîñòàíîâêè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ........13
2.1. Ïîíÿòèå ýêñïåðèìåíòàè õàðàêòåðèñòèêà îáúåêòà èññëåäîâàíèé ................13
2.2. Ñïåöèôèêà ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ........................15
2.3. Êëàññèôèêàöèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ......................................................................16
2.4. Ýòàïû ïîñòàíîâêè è ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé .........19

Ãëàâà 3. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ ........................................................24
3.1. Ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé .................................................................................24
3.2. Ïðåäâàðèòåëüíàÿ îáðàáîòêà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ............................26
3.3. Îöåíêà ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè ïðÿìûõ èçìåðåíèé ...................................28
3.4. Îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé ..............................................35
3.5.  Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýìïèðè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé ìåòîäîâ 
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ....................................................................................40
3.6. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.................................47

Ãëàâà 4. Ïëàíèðîâàíèå ýêñïåðèìåíòîâ .......................................................................52
4.1. Îáùèå ïîëîæåíèÿ............................................................................................52
4.2 Ïëàíèðîâàíèå îäíîôàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà ..............................................55
4.3. Ïëàíèðîâàíèå ìíîãîôàêòîðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ..........................................57
4.4.  Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðè ïîñòàíîâêå 
ìíîãîôàêòîðíîãî ýêñïåðèìåíòà ....................................................................73

Ãëàâà 5. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ................................76

Ïðèëîæåíèÿ .................................................................................................................88
Ïðèëîæåíèå À. Êðèòåðèè äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âûñêàêèâàþùèõ çíà÷åíèé .............88
Ïðèëîæåíèå Á. Êîýôôèöèåíòû Ñòüþäåíòà tα ......................................................89
Ïðèëîæåíèå Â.  Êâàíòåëè ðàñïðåäåëåíèÿ Êîõðåíà gn äëÿ óðîâíÿ 
äîñòîâåðíîñòè 95 %.......................................................................89
Ïðèëîæåíèå Ã.  Êâàíòåëè ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà äëÿ óðîâíÿ 
äîñòîâåðíîñòè 95 %.......................................................................90
Ïðèëîæåíèå Ä. Êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 - Ïèðñîíà ......................................91
Ïðèëîæåíèå Å. Ïðèâåäåííàÿ ôóíêöèÿ Ëàïëàñà ...................................................93

Ëèòåðàòóðà ...................................................................................................................95

ПРЕДИСЛОВИЕ

Ïåðåõîä â âûñøåé øêîëå íà ñèñòåìó îáðàçîâàíèÿ ñ ïîäãîòîâêîé áà-
êàëàâðîâ è ìàãèñòðîâ äèêòóåò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ ìåòîäè÷åñêîãî 
îáåñïå÷åíèÿ äëÿ ðàçðàáîòêè ìàãèñòåðñêèõ äèññåðòàöèé. Ñðåäè ðàçëè÷íûõ 
äèñöèïëèí, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå òàêîé çàäà÷è, âàæíîå ìåñòî 
ïðèíàäëåæèò ýêñïåðèìåíòàëüíûì èññëåäîâàíèÿì.
 ïðîöåññå îðãàíèçàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ðåøàåòñÿ 
øèðîêèé êðóã çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïîñòàíîâêîé èññëåäîâàíèÿ, ðàçðàáîò-
êîé ïðîãðàììû åãî ïðîâåäåíèÿ, îöåíêîé ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.  ðÿäå 
ñëó÷àåâ ýêñïåðèìåíòû âûïîëíÿþòñÿ â óñëîâèÿõ äåéñòâèÿ ñëó÷àéíûõ ôàê-
òîðîâ, è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñâÿçàíà ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííûé îáúåì ìåòîäè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ïî âîïðî-
ñó ðàçðàáîòêè ìàãèñòåðñêîé äèññåðòàöèè, àâòîðû ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ 
ïðèäåðæèâàëèñü òî÷êè çðåíèÿ, ÷òî èçëàãàåìûé ìàòåðèàë äîëæåí áûòü íà-
ïèñàí êðàòêî, ÿñíî, äîñòóïíî äëÿ ïîíèìàíèÿ, à íåîáõîäèìûå òåîðåòè÷å-
ñêèå âûêëàäêè ïîäêðåïëåíû ðåøåíèåì çàäà÷ èç îáëàñòè ýëåêòðîýíåðãåòè-
êè è ýëåêòðîòåõíèêè.
Îñíîâíîå òåîðåòè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ïîñîáèÿ ñîñòàâëÿþò âîïðîñû, 
ñâÿçàííûå ñ îöåíêîé ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé, ïëàíèðîâàíèåì ýêñïåðè-
ìåíòîâ, îáðàáîòêîé ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
 ïîñîáèè äàþòñÿ ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî îöåíêå ïîãðåøíî-
ñòè ïðÿìûõ è êîñâåííûõ èçìåðåíèé.
Âíåäðåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ ïî-
çâîëÿåò â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè èñêëþ÷èòü èíòóèòèâíûé, âîëåâîé ïîäõîä 
è çàìåíèòü åãî íàó÷íîîáîñíîâàííîé ïðîãðàììîé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ñîäåðæàùåé îáúåêòèâíóþ îöåíêó ïîëó÷åííûõ 
ðåçóëüòàòîâ. Ïðè ýòîì îñóùåñòâëÿåòñÿ óïðàâëåíèå ïðîöåññàìè ïðîâåäå-
íèÿ ýêñïåðèìåíòà ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì îïûòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ìåòîäû 
ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ áàçèðóþòñÿ íà òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ 
êîððåëÿöèîííî-ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ïîäõîäà 
â êíèãå äîâåäåíî äî ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ èç îáëàñòè ýëåêòðî-
ýíåðãåòèêè è ýëåêòðîòåõíèêè.
Ïîñîáèå ñîäåðæèò òàêæå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíî-
ñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ïîçâîëÿþùèå ñòóäåíòó êâàëèôèöèðî-
âàííî ïðîâîäèòü îáðàáîòêó ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè, èçëîæåííûå â 
äàííîì ïîñîáèè, áóäóò òàêæå ïîëåçíû ñòóäåíòàì è àñïèðàíòàì äðóãèõ 
íàïðàâëåíèé, ðàáîòàþùèì íàä ìàãèñòåðñêèìè è êàíäèäàòñêèìè äèññåð-
òàöèÿìè.

1.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå «ñîáûòèå» îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîèñõî-
äèò èëè íå ïðîèñõîäèò íåêîòîðîå ÿâëåíèå. Ïîíÿòèÿ «ñëó÷àéíîñòü», 
«âåðîÿòíîñòü» çàèìñòâîâàíû èç âíåøíåãî ìèðà. Ñëó÷àéíîñòü – ñëó-
÷àé, âåðîÿòíîñòü – âåðà.  ýòîì ñëó÷àå òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ 
ïðèêëàäíîé íàóêîé, îíà ðàáîòàåò ñ îêðóæàþùèì ìèðîì. Ïðè ýòîì 
ñëó÷àéíîñòü – ýòî ÿâëåíèå, à âåðîÿòíîñòü – ýòî ñðåäñòâî åãî êîëè÷å-
ñòâåííîãî îïèñàíèÿ, ìåðà âîçìîæíîñòè åãî íàñòóïëåíèÿ â áóäóùåì.
Èòàê, âåðîÿòíîñòü – ýòî ÷èñëåííàÿ ìåðà âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ 
èëè íåïîÿâëåíèÿ èçó÷àåìîãî ñîáûòèÿ, íàïðèìåð, ïðè ïðîèçâîäñòâå èñ-
ïûòàíèé åþ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ èñ-
ïûòàíèé ê îáùåìó ÷èñëó ïðîâåäåííûõ èñïûòàíèé. 
Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
N
m
)
A
(
P
=
,  
 (1.1)
ãäå m – ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ, N – îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ.
Ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ äîñòî-
âåðíûì ñîáûòèåì, ò.å. òàêèì ñîáûòèåì, êîòîðîå â ðåçóëüòàòå îïûòà 
îáÿçàòåëüíî ïðîèçîéäåò. Ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, 
íàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì ñîáûòèåì. Ñëó÷àéíûì íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, 
êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè ïðè îïðåäåëåííûõ çà-
äàííûõ óñëîâèÿõ.
Ïðåäñêàçàòü êàæäîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå íåâîçìîæíî. Îäíàêî áîëü-
øîå ÷èñëî îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïîä÷èíÿåòñÿ îïðåäåëåí-
íûì âåðîÿòíîñòíûì çàêîíîìåðíîñòÿì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìà-
åòñÿ èçó÷åíèåì ýòèõ çàêîíîìåðíîñòåé.
Ïðè îäíîâðåìåííîì èçó÷åíèè äâóõ èëè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé ðàç-
ëè÷àþò íåçàâèñèìûå è çàâèñèìûå, ñîâìåñòíûå è íåñîâìåñòíûå ñî-
áûòèÿ. Åñëè âåðîÿòíîñòü îäíîãî ñîáûòèÿ íå èçìåíÿåòñÿ îò òîãî, 
ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå, òî òàêèå ñîáûòèÿ íà-
çûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Åñëè æå âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ îäíîãî ñî-
áûòèÿ çàâèñèò îò òîãî, ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî äðóãîå ñîáûòèå, 
òî òàêèå ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ çàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè. Èìïóëüñíûå 

ГЛАВА 1
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
6

ïåðåíàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêèõ ñåòÿõ âîçíèêàþò íåçàâèñèìî îò òåõ-
íè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýòèõ ñåòåé (íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ), è â òî æå 
âðåìÿ îòêàç îäíîãî èç ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè ìîæåò ïðèâåñòè 
ê îòêàçó äðóãèõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîóñòàíîâêè (çàâèñèìûå ñîáûòèÿ). 
Ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè íèêàêèå äâà èç íèõ íå ìî-
ãóò ïîÿâèòüñÿ âìåñòå è, íàîáîðîò, ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòíûìè, 
åñëè îíè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îäíîâðåìåííî.
Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ åñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, çà-
êëþ÷åííîå ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé 0 ≤ Ð(À) ≤ 1.
Ïîíÿòèåì, âåñüìà áëèçêèì ê ïîíÿòèþ âåðîÿòíîñòè, ÿâëÿåòñÿ îò-
íîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèé, èëè ÷àñòîñòü. ×àñòîñòü îïðåäåëÿåòñÿ 
ïî ôîðìóëå
 
ω(A) = ω/N 
(1.2)
ãäå ω – ÷èñëî ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèé â èñïûòàíèÿõ.
Ðàçíèöà ìåæäó âåðîÿòíîñòüþ è ÷àñòîñòüþ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî 
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîñòè òðåáóåòñÿ ïðîâåäåíèå èñïûòàíèé, à äëÿ 
îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îíè íå òðåáóþòñÿ.
Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Õ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â äàííîì 
êîíêðåòíîì îïûòå ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ 
çíà÷åíèé, ïðè÷åì çàðàíåå íåèçâåñòíî, êàêîå èìåííî. Ñëó÷àéíûå 
âåëè÷èíû ìîãóò áûòü äèñêðåòíûìè èëè íåïðåðûâíûìè.  êà÷åñòâå 
äèñêðåòíûõ âåëè÷èí ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ÷èñëî àâàðèéíûõ çàÿâîê 
íà îáñëóæèâàíèå ýëåêòðîóñòàíîâîê, êîëè÷åñòâî ïîñòóïèâøèõ â ðå-
ìîíò ýëåêòðîäâèãàòåëåé è äð. Íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé 
ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ âûíóæäåííîãî ïðîñòîÿ ýëåêòðîóñòàíîâêè èç-çà àâà-
ðèéíîé ñèòóàöèè, äëèòåëüíîñòü ãðîçîâûõ ïåðåíàïðÿæåíèé è ò.ä.
Äëÿ îïèñàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íóæíî çíàòü âåðîÿòíîñòè ïðè-
íÿòèÿ åþ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé. Èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ çàêîí åå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîä êîòîðûì 
ïîíèìàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû è ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿìè [5].
Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò çàäàâàòüñÿ â âèäå 
òàáëèö, ãðàôèêîâ, àíàëèòè÷åñêè. Íàïðèìåð, äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü çàäàí â âèäå òàáëèöû, 
ïåðâàÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé 
âåëè÷èíû, à âòîðàÿ – ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè èõ ïîÿâëåíèÿ 
(òàáë. 1.1).
Òàáëèöà 1.1
 Òàáëè÷íàÿ ôîðìà çàäàíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ

õ1
õ2
…
õn

Ð1
Ð2
…
Ðn

Ñóììà âåðîÿòíîñòåé âñåõ âîç-
ìîæíûõ ñîáûòèé ðàâíà åäèíèöå:

Ð1 + Ð2 + … + Ðn = 1.        (1.3) 

Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåò-
íîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò çà-
äàâàòüñÿ â âèäå ãðàôèêà (ðèñ. 1.1), 
ãäå êàæäîìó çíà÷åíèþ Õ = õi ñîîò-
âåòñòâóåò âåðîÿòíîñòü Ði.

1.2. ЧИСЛОВЫЕ 
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ 
ВЕЛИЧИН

Âìåñòî ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â âèäå çàêîíà 
ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ ÷àñòî èñïîëüçóþò ÷èñëîâûå õà-
ðàêòåðèñòèêè, íàçûâàåìûå ìîìåíòàìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íàèáî-
ëåå ÷àñòî íà ïðàêòèêå â êà÷åñòâå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê èñïîëüçó-
þòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì(õ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – 
ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
íà âåðîÿòíîñòü ýòèõ çíà÷åíèé. Åñëè çàäàí ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòåé Ði äëÿ çíà÷åíèé õi äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, òî 
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
Ì(õ) = mx = Σ 

n
 õi Ði. 
(1.4)

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêîå 
îæèäàíèå ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó çíà÷å-
íèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (÷åì áîëüøå ÷èñëî èñïûòàíèé, òåì òî÷-
íåå ýòî òîæäåñòâî), ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû 
ðàâíî ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå.
Ïîêàçàòåëåì, õàðàêòåðèçóþùèì ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû îêîëî ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèÿ 
(ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ):

 
D(X) = M[X – D(X)]2. 
(1.5)

Êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷å-
ñêèì îòêëîíåíèåì:
 
 
)
X
(
D
x =
σ
. 
(1.6)

1.2. Числовые характеристики случайных величин

Pi

Х=х

Ðèñ. 1.1.  Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ 
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
8

Òàê êàê äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íåâîçìîæíî ïåðå-
÷èñëèòü âñå èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, òî äëÿ òàêèõ âåëè÷èí ïîëüçó-
þòñÿ íå âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ P (X = xi), à âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ 
P (X < xi). Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè P (X < xi) îò õ íàçûâàåòñÿ ôóíê-
öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû F(x):

 
 
).
x
X
(
P
)
x
(
F
<
=
 
(1.7)
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ – ñàìàÿ óíèâåðñàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíà ñóùåñòâóåò äëÿ âñåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, 
êàê äèñêðåòíûõ, òàêè íåïðåðûâíûõ.
Êðîìå èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) â ïðàêòèêå ïðî-
âåäåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåòñÿ òàêàÿ õàðàêòåðèñòè-
êà, êàê ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
(äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè ÷èíû):

 
 

.
dx
)
x
(
dF
)
x
(
f
=
 
(1.8)

Ôóíêöèè F(x) è f(x) îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:

• F(–∞) = 0, F(+∞) = 1;

• F(x1) ≥ F(x2) ïðè õ1≥ x2;

• ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíà ñëåâà, ò.å. F(x) = F(x – 0);

• ∫

∞

∞
−
= 1
dx
)
x
(
f
;

• f(x) ≥ 0.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

 
∫

∞

∞
−
=
dx
)
x
(
xf
mx
, 
(1.9)

 
 
(
)
[
]
(
)
∫

∞

∞
−
−
=
−
=
dx
)
x
(
f
m
x
m
X
M
)
x
(
D
2
x
2
x
. 
(1.10)

1.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Èçâåñòíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ 
âåëè÷èí. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå èç íèõ.
Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ 
îïèñàíèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îí ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü 
âåðîÿòíîñòü Ðk(t) íàñòóïëåíèÿ ðîâíî k ñîáûòèé çà ïðîìåæóòîê âðå-
ìåíè t:
 
a
k

k
e
!
k
a
)t(
P
−
=
, 
(1.11)

ãäå a – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñîáûòèé çà âðåìÿ t.
Îò çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû à çàâèñèò âèä êðèâûõ ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 1.2).

1.3. Законы распределения случайных величин

Ïðèìåð 1.1. Ñðåäíèé âûõîä îñâåòèòåëüíûõ ïðèáîðîâ â ðåìîíòíîé 
ìàñòåðñêîé çà âðåìÿ T = 1000 ÷ ñîñòàâèë 20 øò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü 
òîãî, ÷òî çà âðåìÿ 100 ÷ âîçíèêíåò 3 îòêàçà?
Ð å ø å í è å. 1. Òàê êàê îòêàçû íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà è 
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû âî âðåìåíè, ÷èñëî îòêàçîâ çà âðåìÿ 100 ÷ 
ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà 
îòêàçîâ çà âðåìÿ 100 ÷ à îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

λ = n
T  = 20
1000 = 0,02  è à = λt = 0,02×100 = 2.

2. Âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ òðåõ îòêàçîâ

 

18
,0
е
3
2
1
2
е
!
k
а
Р
2
3
а
k

3
k
=
⋅
⋅
=
=
−
−
=
.

Íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàíè-
ìàåò îñîáóþ ðîëü â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ìíîæåñòâî ñîáûòèé ïðî-
èñõîäèò ñëó÷àéíî âñëåäñòâèå âîçäåéñòâèÿ íà íèõ áîëüøîãî ÷èñëà íå-
çàâèñèìûõ (èëè ñëàáî çàâèñèìûõ) âîçìóùåíèé, è ó òàêèõ ÿâëåíèé 
çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ áëèçîê ê íîðìàëüíîìó. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëå-
íèå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå è òåîðåòè÷åñêè íàèáîëåå 
ïîëíî ðàçðàáîòàíî. Îñíîâíàÿ îñîáåííîñòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî 
îí ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì çàêîíîì, ê êîòîðîìó ïðèáëèæàþòñÿ äðóãèå 
çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåííîé 
ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, åñëè åå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä

 

 
(
)

⎟
⎟
⎠

⎞

⎜
⎜
⎝

⎛

σ
−
−
σ
π
=
2

2
x

x
x
2
m
x
exp
2
1
)
x
(
f
, 
(1.12)

ãäå mx è σx – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû Õ.

Ðèñ. 1.2. Âèä êðèâûõ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà 
ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ à

Pk(t)

k

0,5
а = 0,5

а = 3,5

а = 1

а = 2
0,25

0
1
2
3
4
5
6
7
8

Глава 1. Краткие сведения из теории вероятностей
10

Ãðàôèê ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ðèñ. 1.3) íà-
çûâàåòñÿ íîðìàëüíîé êðèâîé èëè êðèâîé Ãàóññà.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íîðìàëüíîì çàêîíå ðàâíà

 
(
)
dx
2
m
x
2
1
)
x
(
F 
2

2
x
x

x
x
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛

σ
−
−
σ
π
=
∫
∞
−

. 
(1.13)

Ïðè íîðìàëüíîé êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû õ â èíòåðâàë (α, β) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîð-
ìóëå
 
⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
σ
α
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
σ
β
=
β
<
<
α

x

x

x

x
m
Ф
m
Ф
)
x
(
P
, 
(1.14)

ãäå Ô(õ) – òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå 
îáëàäàåò äâóìÿ çàìå÷àòåëüíû-
ìè ñâîéñòâàìè:
1. Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåõ 
ñèãì  âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ 
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áîëåå ÷åì 
íà 3σ íè÷òîæíî ìàëà (0,0027). 
Ñ ó÷åòîì ïðàâèëà 3σ ìîæíî 
óñòàíîâèòü íàëè÷èå ïðîìàõà 
â ðåçóëüòàòå îòäåëüíîãî èç-
ìåðåíèÿ, à çíà÷èò, îòáðîñèòü 
åãî, åñëè ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ 
áîëåå ÷åì íà 3σ îòëè÷àåòñÿ îò 
èçìåðåííîãî ñðåäíåãî çíà÷å-
íèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
2. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà Õ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 
ñóììó áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, 
âëèÿíèå êîòîðûõ íà âñþ ñóììó ìàëî, òî âåëè÷èíà Õ èìååò íîðìàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå. Çàêîíîìåðíîñòü òàêîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç 
öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû Ëÿïóíîâà.
Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ 
âåëè÷èí, ïîä÷èíÿþùèõñÿ çàêîíó Âåéáóëëà, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

 
f(t) = βαtα–1exp(–βαtα), 
(1.15)

ãäå β è α – ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, β – ïàðàìåòð ìàñøòàáà, α – 
ïàðàìåòð ôîðìû êðèâîé.
Êðèâàÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Âåéáóëëà, ïîêàçàíà íà ðèñ. 1.4.

Ðèñ. 1.3. Ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî 
ðàñïðåäåëåíèÿ

f(X)

t

σ1

σ1 < σ2 < σ3

σ2

σ3

mx

1.3. Законы распределения случайных величин

Ìîäåëü Âåéáóëëà ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ìîäåëüþ, õàðàêòåðèçóþ-
ùåé íàäåæíîñòü ýëåêòðîîáîðóäîâàíèÿ. Íàäåæíîñòü ýëåêòðîîáîðóäî-
âàíèÿ íà ó÷àñòêå ïðèðàáîòêè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îïèñûâàåòñÿ òàêèì 
çàêîíîì ñ α < 1, â ïåðèîä ñòàðåíèÿ ñ α > 1, à â ïåðèîä äëèòåëüíîé 
ýêñïëóàòàöèè ñ α = 1.
Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ïðè-
ìåíèòåëüíî, íàïðèìåð, ê íàäåæíîñòè îïèñûâàåò íàäåæíîñòü íå-
ñòàðåþùèõ ýëåìåíòîâ. Ýòîò çàêîí îïðåäåëÿåòñÿ âñåãî ëèøü îäíèì 
ïàðàìåòðîì λ(t) = const. Ïðè ðàñ÷åòàõ íàäåæíîñòè ýòîò ïàðàìåòð 
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ 
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì 
ðàñïðåäåëåíèåì îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

 
 

t
e
)t(
f
λ
−
λ
=
. 
(1.16)

Ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàëüíûé çàêîí ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ðàñ-
ïðåäåëåíèè ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåí â ñëåäóþùåì âèäå:

              
.
e
1
)t(
F
t
λ
−
−
=
     (1.17)

Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ýêñïî-
íåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî-
êàçàíà íà ðèñ. 1.5.
Ðàñïðåäåëåíèå χ2 èãðàåò áîëü-
øóþ ðîëü ïðè îáðàáîòêå ñòàòè-
ñòè÷åñêèõ äàííûõ, ïîëó÷àåìûõ 
â ðåçóëüòàòå ýêñïëóàòàöèè èëè 
îïûòîâ.

f(t)

t

0,5

1,0

0
1
2
3
4

Ðèñ. 1.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà

F(t)

1,0

0,632

t
m

Ðèñ. 1.5. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ 
ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

α = 2,0

α = 1,5

α =1,0

α = 0,5

Доступ онлайн
от 116 ₽
В корзину