Курс теоретической механики

T E R R A  M E C H A N I C A

КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
МЕХАНИКИ

5-е издание, исправленное

Рекомендовано Научно-методическим советом по механике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по машиностроительным направлениям подготовки и специальностям

Под редакцией К.С. Колесникова, В.В. Дубинина

ISBN 978-5-7038-4568-4

© Оформление. Издательство
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

УДК 531.8 (075.8)
ББК 22.21
 
К93

Авторы:
В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин, К.С. Колесников, 
В.А. Космодемьянский, Б.П. Назаренко, А.А. Панкратов, П.Г. Русанов,
Ю.С. Саратов, Ю.М. Степанчук, Г.М. Тушева, П.М. Шкапов

Рецензенты:
кафедра теоретической механики Московского государственного 
авиационного института (Государственного технического университета); 
д-р физ.-мат. наук В.В. Сазонов

Курс теоретической механики : учебник для вузов / [В. И. Дронг,  
В. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.] ; под ред. К. С. Колесникова, В. В. Дубинина. — 5-е изд., испр. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 580 [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4568-4

Изложены кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механической системы; аналитическая механика; теория колебаний; теория удара; введение в динамику тел переменной массы; основы небесной механики. 
Приведены примеры решения задач.
Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые 
авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана. 
Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. 
Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам в 
области статики и динамики механических систем.

УДК 531.8(075.8)
ББК 22.21

К93

Предисловие

Учебник является результатом многолетней преподавательской деятельности авторов в МГТУ им. Н.Э. Баумана, выпускающем инженеров-конструкторов и исследователей, которые специализируются в области машино- и приборостроения. Ему предшествовали учебники, написанные также 
преподавателями университета В.В. Добронравовым, А.Л. Дворниковым, 
Н.Н. Никитиным, которые переиздавались несколько раз и сыграли большую 
роль в обучении студентов.
Переход к университетскому инженерному образованию потребовал расширения содержания курса, более полной физической трактовки ряда вопросов и естественного усложнения используемого математического аппарата.  
С этой целью в разделе «Кинематика» более полно изложен материал главы 
«Общий случай движения твердого тела». 
Статика излагается как самостоятельный раздел, поскольку такие предметы, как сопротивление материалов, теория механизмов и механика машин, 
детали машин, предметы инженерного проектирования, требуют от студента 
четкого представления о способах преобразования и передачи силовых взаимодействий в механизмах машины.
Значительные дополнения сделаны к разделу «Динамика». Здесь введены интегральные вариационные принципы, элементы небесной механики; 
более полно изложены теория колебаний, теория удара и некоторые другие 
вопросы. 
Материал в учебнике распределен между авторами следующим образом: 
Предисловие, Введение, гл. 8–12 написаны К.С. Колесниковым (примеры в гл. 
8–12 составлены В.И. Дронгом); В2.1–В2.6, В2.8, гл. 6 — Г.М. Тушевой; В2.7, 4.2,  
гл. 5, 16.2 и 16.3 — П.Г. Русановым; гл. 1, 2, 7, 16.1 — П.М. Шкаповым; гл. 3, 4 —  
Б.П. Назаренко;     гл. 13, 19.10  —   Ю.С. Саратовым;      гл. 14, 15, 20   —   В.В. Дубининым;  
15.6, 15.7 — Ю.М. Степанчуком;   гл. 17, 18 — В.И. Дронгом; 18.6 — В.А. Космодемьянским; гл. 19 — М.М. Ильиным;  гл. 21 и 22 — А.А. Панкратовым.
Основная переработка материала учебника была осуществлена при подготовке четвертого издания (2011). В настоящее издание внесено несколько незначительных изменений и устранены замеченные погрешности и опечатки.
Авторы будут благодарны читателям, приславшим замечания и пожелания по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5, Издательство МГТУ  
им. Н.Э. Баумана.

Введение

В1. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Теоретическая механика (классическая механика Галилея – Ньютона) есть 
наука об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел. Будучи по существу одним из разделов физики, теоретическая механика выделилась в самостоятельную дисциплину и получила широкое развитие благодаря своим обширным и важным приложениям в естествознании 
и технике, одной из основ которой она является. Беря свое начало от техники 
и развиваясь вместе с ней, теоретическая механика особенно тесно связана 
с техническими науками, в которых законы и методы механики широко используются как при обосновании ряда исходных положений, так и при проведении многочисленных конкретных инженерных расчетов.
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, есть форма существования материи и охватывает все происходящие во Вселенной изменения 
и процессы. В теоретической механике изучается одна из форм движения — 
механическое, состоящее в том, что тело изменяет с течением времени свое 
положение в пространстве по отношению к другим телам.
Для учета меры механического взаимодействия между телами в классической механике, основание которой положили Галилео Галилей (1564–1642) и 
Исаак Ньютон (1643–1727), вводится понятие о силе. Для данного тела сила 
является внешним фактором, изменяющим его движение. Характер движения зависит как от силы, так и от степени инертности тела. Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием данной 
силы, и наоборот. Мерой инертности тела является его масса. Таким образом, 
понятиями, лежащими в основе классической механики, являются: движущаяся материя (материальные тела), пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инертности материальных 
тел и сила как мера механического взаимодействия между телами.
В классической механике Галилея – Ньютона пространство считается 
трехмерным евклидовым, свойства которого не зависят от движущихся в нем 
материальных объектов. Положение точки в таком пространстве относительно 
какой-либо системы отсчета определяется тремя независимыми параметрами, 
или координатами точки. Время в классической механике универсально. Оно не 
связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах 
отсчета, движущихся друг относительно друга, оно протекает одинаково. Массы 
материальных объектов не зависят от скорости их движения.

После Г. Галилея и И. Ньютона (Галилей опубликовал «Беседы о науках» 

в 1638 г., Ньютон — «Математические принципы натуральной философии»  
в 1687 г.) методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря применению мощного математического аппарата — анализа бесконечно 

В1. Классическая механика

малых. Основная заслуга в приложении этих методов к решению задач динамики принадлежит великому математику и механику Леонарду Эйлеру 
(1707–1783), являвшемуся с 1727 г. действительным членом молодой тогда 
Российской академии наук и прожившему в Петербурге 31 год. Л. Эйлер разработал аналитические методы решения задач динамики путем составления и 
интегрирования дифференциальных уравнений. Аналитическое направление 
в развитии механики достигло наиболее широких обобщений в капитальном 
сочинении «Аналитическая механика» крупнейшего французского ученого 
Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813), вышедшем в 1788 г.

Из наших соотечественников М.В. Остроградскому (1801–1861) принадлежит ряд существенных результатов в развитии теоретической механики по аналитическому пути, в частности, им дан вариационный принцип динамики, который называется принципом Остроградского – Гамильтона, так 
как независимо от М.В. Остроградского в несколько менее общем виде он 
одновременно был сформулирован ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (1805–1865). К двум случаям, когда движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно аналитически изучить до конца, С.В. Ковалевская (1850–1891) добавила третий. Работы А.М. Ляпунова (1857–1918) 
об устойчивости движения до сих пор в мировой науке являются непревзойденными. И.В. Мещерский (1859–1935) впервые дал уравнение движения точки переменной массы. Н.Е. Жуковский (1847–1921) создал себе 
мировую известность работами в области аэродинамики. Он значительно 
расширил границы механики и разработал прочную теоретическую базу 
для ряда разделов техники. Для него механика была не разделом прикладной математики, а подлинной наукой о природе, использующей все средства математики, но во всех стадиях своего развития опирающейся на эксперимент. Н.Е. Жуковский в 1878 г. организовал первую в России кафедру 
теоретической механики в ИМТУ (МВТУ им. Н.Э. Баумана) и заведовал ею  
в течение 43 лет до конца своей жизни. С 2012 года кафедра носит его имя. 

Успехи физики в начале ХХ в., ознаменовавшиеся новыми исследованиями в области электродинамики и строения материи, показали, что законы 
классической механики Галилея – Ньютона применимы только к движению 
тел, размеры которых значительно больше размеров атома, а скорости — значительно меньше скорости света. Для тел очень малых размеров и для очень 
больших скоростей выводы классической механики теряют свою силу.
В теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном (1879–
1955), свойства пространства зависят от материальных объектов и их движения; 
пространство и время связаны между собой, они рассматриваются как единое 
четырехмерное пространство – время; время при этом зависит от того, в какой 
системе отсчета оно изменяется. Теория относительности внесла довольно существенные изменения в основы механики и показала ограниченность ньютоновских представлений о пространстве, времени и материи, вследствие чего стало возможным дать теоретическое обоснование ряду явлений, которые 
не могли быть объяснены с точки зрения классической механики. Кроме того, 
классическая механика оказалась неприменимой к теории строения атома,  
и это обстоятельство явилось причиной возникновения квантовой механики.
Несмотря на это, классическая механика Галилея – Ньютона продолжает сохранять свою огромную ценность как мощное орудие научного 

Введение
8

исследования различных вопросов естествознания и техники, а ее законы 
дают при этом вполне достаточную для практики точность. Она явилась основой для создания многих прикладных направлений, получивших большое 
развитие. Это механика жидкости и газа, механика деформируемого твердого 
тела, теория колебаний, динамика и прочность машин, гироскопия, теория 
полета и управления, навигация и др. Классическая механика замечательна 
тем, что наряду со строгостью изложения имеет широкое инженерное приложение. Все разнообразные технические сооружения и все современные 
расчеты, связанные с космическими полетами, построены на основе законов 
классической механики и, как показывает опыт, с успехом выполняют свое 
назначение. Поправки и изменения, вносимые в законы классической механики теорией относительности и квантовой механикой, исчезающе малы в 
обычных условиях и становятся заметными только при больших скоростях, 
близких к скорости света, и для тел, размеры которых имеют порядок размеров атома. Поэтому классическая механика Галилея – Ньютона никогда не 
потеряет своего научного значения и практической ценности.

В2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ

В2.1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы

В теоретической механике широко применяются методы векторного исчисления, имеющие большое преимущество перед координатным методом 
благодаря компактности и физической наглядности векторных формул.
Главным преимуществом этих методов является независимость векторных формул от выбора системы координат.
В математической физике встречаются два типа величин: скалярные и 
векторные.
Скаляром называется величина, которая не имеет направления, но выражается числовым значением, не зависящим от выбора системы координат.
Вектором называется количественная характеристика, имеющая как 
числовое значение, так и направление, и не связанная с выбором системы координат. Геометрический образ вектора — это направленный отрезок прямой, 
определенным образом ориентированный в евклидовом пространстве. 
Точки A и B, ограничивающие вектор AB  (рис. В1), называют его началом 
и концом. Длина отрезка AB представляет собой модуль вектора AB:

|
|
.
AB
AB
=

Часто вектор обозначают одной буквой с чертой над 
ней:

A
AB
=
,

а его модуль — символом

|
|
.
A
A
=
Рис. В1

В2. Некоторые сведения из теории векторов

Если вектор не связан с какой-либо определенной линией или точкой, он 
называется свободным. Вектор, связанный с прямой, по которой он направлен, называется скользящим. Если же вектор связан с точкой своего приложения, он называется приложенным.
Рассмотрим далее основы векторного исчисления для свободных векторов. 
Векторы, расположенные в одной плоскости, называются компланарными.
Если A
B
| |
,  то векторы называются параллельными, или коллинеарными; 
эти векторы могут быть одинаково или противоположно направленными. Два 
вектора A  и B  называются равными, если они равны по модулю и направлены 
вдоль параллельных прямых в одну сторону: если A
B
=
,   A
B
↑↑ , то A
B
=
.

Если два вектора равны по модулю, но противоположно направлены, т. е. A
B
=
,  A
B
↑↓ , то 

A
B
= − .

Единичным вектором, или ортом, данного вектора A  называется вектор a0,  по направлению совпадающий с данным вектором A,  а по модулю 
равный единице (рис. В2). Тогда

A
Aa
=
0,  или a
A A
0 =
.                (В1)

Умножая вектор A  на скаляр m, получаем новый вектор

B
m A
m Aa
=
=
0,

направленный в ту же или противоположную сторону в зависимости от знака 
скаляра m.

В2.2.  Проекции вектора на ось и плоскость

Осью называется прямая, на которой установлено положительное направление отсчета.
Ортогональной проекцией вектора A
AB
=
 на ось l (рис. В.3) называется отрезок
′ ′
A B , заключенный между ортогональными проекциями на эту ось начала и конца вектора AB,  или алгебраическая величина, равная произведению 
модуля вектора на косинус угла между направлением вектора A  и положительным направлением 
оси l:

(
)
cos(
, )
|
|,
AB
AB
AB l
A B
l =
= ±
′ ′

∧

или

A
A
A l
l =

∧
cos(
, ).                     (В2)

Рис. В2

Рис. В3

10
Введение
10

Проекцией вектора A
AB
=
 на плоскость П называется вектор A B
1
1,  соединяющий проекции начала и конца вектора 
AB  на эту плоскость (рис. В4). Модуль вектора AП  определяется равенством

|
|
|
|
cos ,
A
A
A B
A
П
П
=
=
=
1
1
ϕ

где ϕ — угол между векторами A  и AП.

В2.3. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора.  
Радиус-вектор точки 

Вектор A
OM
=
 (рис. В5) считается заданным, если известны его модуль 
A и направление прямой, на которой он лежит, т. е. направляющие косинусы 
углов α,  β  и γ,  образуемых этой прямой с осями прямоугольной системы 
координат Oxyz:

cos
cos( ,
),
α =
x OM
 

 cos
cos( ,
),
β =
y OM
 

 cos
cos( ,
).
γ =
z OM
 
          (В3)

Поскольку направляющие косинусы углов α,  β  и γ  связаны между собой известным соотношением cos
cos
cos
,
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=
 то вектор однозначно 
определяется тремя независимыми величинами, называемыми координатами 
вектора. Удобнее всего принять за координаты вектора его проекции на оси 
декартовой прямоугольной системы координат:

A
A
A
A
A
A
x
y
z
=
=
=
cos
;
cos ;
cos .
α
β
γ
  
  
                         (В4)

Рис. В4

Рис. В5