Аэродинамика

Аэродинамика

2-е издание, исправленное и дополненное

Допущено Учебно-методическим объединением вузов 
Российской Федерации по университетскому политехническому 
образованию в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки 
24.03.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», специальности 
24.05.01 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет 
и ракетно-космических комплексов»

Под редакцией доктора технических наук, 
профессора В. Т. Калугина

УДК 533.6
ББК 22.253.3
 
А99

А в т о р ы:

А. Г. Голубев, А.С. Епихин, В.Т. Калугин, А.Ю. Луценко, В.О. Москаленко,  

Е. Г. Столярова, А. И. Хлупнов, П. А. Чернуха

Р е ц е н з е н т ы: 

заведующий кафедрой «Аэродинамика, конструкция и прочность летательных аппаратов» 

Московского государственного технического университета гражданской авиации,  

д-р техн. наук, профессор В. Г. Ципенко; 

д-р физ.-мат. наук, профессор И.И. Липатов

А99

 
Аэродинамика : учебник / [А. Г. Голубев и др.] ; под ред. В. Т. Калугина. — 2-е 

изд., испр. и доп. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 607, 
[1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4428-1

Изложены теоретические и прикладные вопросы современной аэродинамики. При
ведены сведения из кинематики и динамики газов; даны основные уравнения аэродинамики, аналитические и численные методы расчета вихревых, потенциальных, плоских, 
пространственных и вязких течений, а также методы расчета течений газа и силового 
воздействия воздушной среды на движущиеся тела. Рассмотрены теории скачков уплотнения; изоэнтропических, отрывных течений; пограничного слоя. Предложены практические задачи по определению аэродинамических характеристик летательных аппаратов 
и их элементов, даны понятия гистерезисных и нестационарных явлений в аэродинамике, представлены методы экспериментального моделирования процессов обтекания и исследования структур. Во втором издании (первое 2010 г.) добавлены материалы по методам вычислений и физического исследования потоков в аэродинамике.

Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ 

им. Н. Э. Баумана. 

Для студентов технических университетов, слушателей военных академий, а также 

аспирантов, инженеров и научных работников, специализирующихся в области ракетнокосмической техники.

                                                                                                                УДК 533.6 
                                                                                                                ББК 22.253.3

ISBN 978-5-7038-4428-1

© Оформление. Издательство 
     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

Предисловие

Аэродинамика является одной из фундаментальных научных дисциплин, 
от развития которых зависит дальнейшее совершенствование авиационной, артиллерийской и ракетно-космической техники. Создание современных образцов 
летательных аппаратов невозможно без предварительного выбора и расчета их 
аэродинамических характеристик. В связи с этим знание аэродинамики, овладение методами аэродинамического расчета — необходимая и важная задача в подготовке будущего инженера в области авиации и ракетостроения.
В книге наряду с общими законами движения газовой (жидкой) среды рассматривается применение аэродинамики главным образом в ракетной технике.
При изучении любого курса, в том числе и аэродинамики, основным является глубокое усвоение его важнейших теоретических основ, без чего невозможно творческое решение практических задач. Поэтому в первой части 
учебника особое внимание уделено изложению материалов, посвященных механике газовых сред: приведены основные понятия и определения, уравнения 
сохранения для различных моделей воздуха, теория изоэнтропических течений, скачков уплотнения; рассмотрены вопросы кинематики и динамики вязкого газа, особенности и закономерности отрывных течений, а также методы 
расчета воздушных (газовых) потоков.
Особое место в книге занимает освещение важнейших теоретических и 
прикладных вопросов, связанных с определением аэродинамических характеристик корпусов снарядов, ракет, крыльев (оперения) и летательного аппарата 
в целом с учетом интерференционных эффектов. Этот материал содержится во 
второй части учебника. Здесь же рассмотрены вопросы газодинамики разреженных сред, нестационарной и экспериментальной аэродинамики.
Естественно, что в учебном курсе нельзя охватить все многообразие проблем, которыми занимается аэродинамическая наука. Поэтому в книге представлена научная информация, усвоение которой необходимо специалисту, занимающемуся научно-инженерной деятельностью в области артиллерийских 
систем и ракетно-космической техники. Содержание и объем этой информации при условии ее глубокого изучения будут достаточны для того, чтобы самостоятельно разобраться в других проблемах аэродинамики, с которыми могут сталкиваться молодые специалисты в практической деятельности.

Продолжая традиции научной школы аэродинамики ракет МГТУ им. Н. Э. Баумана, авторы сочли своим долгом использовать подходы и материалы, изложенные в трудах доктора технических наук, профессора Н. Ф. Краснова (1922—1990), 
который создал в МВТУ кафедру «Аэродинамика» и многие годы заведовал ею.
Учебник подготовлен коллективом авторов, материал между которыми распределен следующим образом: предисловие, гл. 2, 6.4, 6.5, 7.6, 7.7, 
гл. 11 — В. Т. Калугин; гл. 1, 5.11, 7.4, 7.8 — А. Г. Голубев; 7.9 — А. С. Епихин; гл. 3, 5 
(кроме 5.11), 13 — Е. Г. Столярова; гл. 4, 6.1 — 6.3, 7.2, 7.3, 7.5, 14.4 — П. А. Чернуха; 
7.1, гл. 8, 12.4, 12.5, 14.1 — А. И. Хлупнов; гл. 9, 10 — А. Ю. Луценко; 

12.1—12.3  — В. О. Москаленко; 14.2, 14.3 — В. О. Москаленко и А. И. Хлупнов. 
Общее редактирование учебника осуществлено лауреатом премии Правительства РФ в области науки и техники, лауреатом премии им. Н. Е. Жуковского, доктором технических наук, профессором В. Т. Калугиным.

Авторы выражают глубокую признательность доктору физико-математи
ческих наук, профессору И. И. Липатову, а также доктору технических наук, 
профессору В. Г. Ципенко и коллективу возглавляемой им кафедры за полезные замечания и ценные предложения по улучшению содержания книги.

4
Предисловие

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И МОДЕЛИ  
ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ. 
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ

Движение летательных аппаратов происходит в воздушной среде, которая оказывает на их поверхность сложное комплексное 
воздействие. Современное представление о воздухе, его составе и 
свойствах, причинах возникновения аэродинамического сопротивления и методах его расчета основывается на фундаментальных 
положениях механики сплошной среды и теории подобия физических процессов.
В главе приведены основные параметры воздушной атмосферы, 
а также важные соотношения, используемые в различных типах 
аэродинамических задач. Рассмотрено результирующее силовое 
воздействие атмосферной среды на летательный аппарат, введены понятия аэродинамической силы, момента, центра давления 
и соответствующих аэродинамических коэффициентов, определены основные системы координат, используемые при расчетах 
аэродинамических характеристик летательный аппарат.

1.1. Физическое и математическое описание  
воздушной среды

Основной средой, в которой происходит движение ЛА, является атмосфера Земли. Атмосфера представляет собой смесь газов, водяного пара и аэрозолей. Объемный состав сухого воздуха до высот 90…95 км остается практически постоянным, %: 78,08 N2; 20,95 O2; 0,94 инертные газы и H2; 0,03 CO2, 
а также  другие газы в незначительных количествах.

Чтобы изучать воздействие воздуха на покоящиеся или движущиеся в нем 
тела, в первую очередь следует определить количественные и качественные 
показатели, описывающие саму воздушную среду; условия, при которых эти 
показатели являются существенными, а также математический аппарат, используемый при решении задач аэродинамики.
Число молекул в 1 см3 воздуха при нормальных условиях равно 2,5471 ⋅ 1019. 
Как показывает практика, для большинства аэродинамических расчетов молекулярную структуру воздуха можно не учитывать и рассматривать его как однородную среду, заполняющую предоставленное ей пространство сплошь, без 
образования пустот. Это предположение, называемое гипотезой сплошности 
среды, позволяет представлять все используемые в расчетах характеристики 
воздуха как функции координат пространства и времени, причем в большинстве 
случаев эти функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми.

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

Как и любое упрощение действительности, гипотеза сплошности имеет свои 
границы применимости, которые можно оценить с помощью числа Кнудсена:

 
Kn = l/L, 
(1.1)

где l — средняя длина свободного пробега молекул воздуха между двумя столкновениями; L — характерный размер обтекаемого тела. При Kn < 0,01 среда считается сплошной, при Kn > 0,01 необходимо учитывать молекулярную 
структуру воздуха и использовать в расчетах методы аэродинамики разреженной среды.
Состояние воздуха как сплошной среды описывается различными параметрами, основными из которых являются плотность ρ, давление p и температура 
T. Экспериментально установлено, что только два из трех основных параметров состояния газа независимы, т. е. p = f (ρ, T). Это соотношение называется 
уравнением состояния.
Когда объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с занимаемым газом объемом, а силы взаимного притяжения молекул можно не учитывать, газ 
называется совершенным. Практика показывает, что при решении большинства задач аэродинамики воздух с достаточной точностью можно считать совершенным газом, для которого уравнение состояния имеет вид

 
рv = RT, 
(1.2)

где v — удельный объем, м3/кг, v = 1/ρ; R — удельная газовая постоянная, равная для сухого воздуха 287,053 Дж/(кг⋅К).
Умножая обе части уравнения (1.2) на молярную массу газа M, получаем

 
pvM = MRT, 
(1.3)

где vM — объем, занимаемый 1 молем газа, м3/моль.
Согласно закону Авогадро (1811), моль любого совершенного газа при одних и тех же давлении и температуре имеет одинаковый объем. Следовательно, 
произведение MR имеет постоянное значение для всех газов:

 
MR = R0 = 8,3143 Дж/(моль⋅К), 
(1.4)

и называется универсальной газовой постоянной. В уравнение состояния она 
была введена Д. И. Менделеевым в 1874 г.

С учетом (1.4) выражение (1.2) принимает вид уравнения Клапейрона — 
Менделеева:

 
p
R
M
T
=
0 ρ ,  
(1.5)

где M — средняя молярная масса воздуха как смеси газов, равная 0,02896 кг/моль.
Теплоемкостью называют количество теплоты, необходимое для нагрева 
рассматриваемой массы газа на один градус. Под удельной теплоемкостью понимают теплоемкость единицы массы газа.
Значение удельной теплоемкости зависит от условий, в которых происходит нагрев газа. Обычно вводят в рассмотрение удельную теплоемкость при 
постоянном давлении ср и удельную теплоемкость при постоянном объеме cV. 

6

Для совершенного газа обе эти величины постоянны и связаны между собой 
уравнением Майера:

 
ср – cV = R. 
(1.6)

Для воздуха при T < 450 К значения теплоемкостей составляют ср = 
= 1 000 Дж/(кг⋅К) и cV = 713 Дж/(кг⋅К).
Большую роль в термо- и газодинамических зависимостях играет показатель адиабаты (отношение удельных теплоемкостей)

 
k = ср/cV, 
(1.7)

который для воздуха равен 1,4.
В аэродинамических расчетах широко используют такие функции состояния воздуха, как внутренняя энергия e, энтальпия i и энтропия S, зависящие в 
общем случае от двух произвольных параметров состояния. Для совершенного газа при постоянных теплоемкостях эти зависимости упрощаются и могут 
быть записаны в виде следующих формул.
Внутренняя энергия единицы массы совершенного газа удовлетворяет 
уравнению

 
e = cVT. 
(1.8)

Это означает, что при любом термодинамическом процессе совершенного газа изменение его внутренней энергии определяется только изменением 
температуры.
Используя уравнение состояния, внутреннюю энергию можно выразить 
через два других основных параметра состояния:

 
e
c
R

p
V
=
ρ .

Последнее выражение на основании уравнения (1.6) может быть преобразовано к виду

 
e
k

p
=
−
1

1 ρ .  

Энтальпией, или теплосодержанием, единицы массы газа называют 
величину

i = e + pv.

Для совершенного газа справедлива зависимость

 
i
c T
p
=
. 
(1.9)

С учетом уравнений (1.2) и (1.6) получаем

 
i
k

k

p
=
−1 ρ .

Второй закон термодинамики устанавливает существование особой функ
ции состояния термодинамической системы — энтропии — и ее неубывание 

7
1.1. Физическое и математическое описание воздушной среды 

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

при любых процессах в изолированной системе. В общем случае изменение 
энтропии
 
d
d
S
q T
e
=
,

где dqе — приращение теплоты.
Через параметры состояния совершенного газа с точностью до некоторой 
константы энтропия выражается в виде
 
S
c
p
C
V

k
=
+
ln(
)
,
/ρ

где С = const.
Если энтропия термодинамической системы остается постоянной, то проходящий в ней процесс называется изоэнтропическим. В этом случае давление 
и плотность связаны уравнением
 
p/ρk = C.
Рассмотрим установившееся движение воздуха с различными скоростями 
относительно неподвижной системы координат Oxyz, ограничившись изображением только плоскости xOy. В начале системы координат расположим источник слабых (акустических) возмущений.
Прежде всего рассмотрим простейший случай, когда воздух неподвижен, 
т. е. V = 0 (рис. 1.1, а). Возмущения распространяются во все стороны с одинаковой скоростью, называемой скоростью звука a. Если возмущения возникают 
с некоторым интервалом ∆t, то в результате получается система концентрических сфер. Пусть процесс идет без диссипации энергии. Тогда при t → ∞ возмущения займут все координатное пространство.
На рис 1.1, б показан случай, когда поток движется в направлении оси Ox со 
скоростью V < a (дозвуковая скорость потока). За интервал времени ∆t фронт возмущения образует в потоке сферу радиусом r = a∆t, а поток смещается на расстояние x = V∆t, причем x < r. Таким образом, относительно неподвижного наблюдателя (относительно системы координат xOy) в направлении оси Ox (по потоку) 
возмущения распространяются с суммарной скоростью V + a, а в противоположном направлении (против потока) — с меньшей скоростью V – а.
В предельном случае при V = a возмущения не будут распространяться 
вверх по потоку (рис. 1.1, в) и с течением времени заполнят только всю правую 
половину координатного пространства (правую полусферу).
Совершенно особая картина распространения возмущений получается 
при сверхзвуковой скорости потока (V > a). Как видно на рис. 1.1, г, сферы возмущений сносятся вниз по потоку быстрее, чем распространяются сами возмущения. Если рассмотреть два момента времени ∆t1 и ∆t2, то легко показать, 
что прямоугольные треугольники OA1B1 и OA2B2 подобны, а следовательно, все 
сферы распространения возмущений имеют общую касательную, наклоненную к направлению движения потока (к оси Oх) под углом µ = arcsin(a/V). Отношение скорости потока в точке пространства к скорости распространения в 
ней слабых возмущений называется числом Маха:

 
M = V/a. 
(1.10)

8

С учетом (1.10) угол µ вычисляют по формуле

 
µ = arcsin(1/M) 
(1.11)

и называют углом Маха. При сверхзвуковой скорости потока в неподвижной 
системе координат все возмущения оказываются локализованными внутри конуса Маха с полууглом при вершине, равным µ. Образующие конуса (например, OB2) называются линиями слабых возмущений или линиями Маха.
Одним из важных свойств газа является его сжимаемость — способность 
изменять плотность под воздействием давления. Все процессы, связанные с течением газа, характеризуются изменением давления и, следовательно, влиянием 
в той или иной степени на эти процессы свойства сжимаемости. Исследования 
показывают, что пока скорости малы, изменение плотности вследствие малых 
изменений давления невелико и эффектом сжимаемости можно пренебречь. Для 
исследования обтекания тел потоками с малыми скоростями можно принять 
уравнения гидродинамики, изучающей законы движения несжимаемой жидкости. Практически влиянием сжимаемости можно пренебречь в диапазоне скоростей движения воздуха от нескольких метров в секунду до 100…110 м/с.

Рис. 1.1. Распространение слабых возмущений в воздушной среде 

9
1.1. Физическое и математическое описание воздушной среды 

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

Следует отметить, что для учета сжимаемости среды принципиальным является не ее абсолютная скорость, а соотношение между скоростью потока и 
скоростью распространения возмущений в нем, т. е. критерием сжимаемости 
среды является число Маха. Сжимаемостью воздуха можно пренебрегать до 
скоростей движения, соответствующих числу Маха M ≤ 0,3.
Наблюдения показывают, что для жидкостей и газов характерны два вида 
движения. Ламинарное, или слоистое, движение отличается упорядоченным 
расположением струек, не смешивающихся между собой. В ламинарном потоке перенос количества движения между слоями происходит вследствие молекулярных процессов. Такое движение возникает и сохраняется устойчивым, 
как правило, при небольших скоростях движения. Если при заданных условиях течения скорость потока превышает некоторое критическое значение, то 
ламинарное движение перестает быть устойчивым и переходит в новый вид, 
для которого характерны поперечное перемешивание среды и, как следствие, 
исчезновение упорядоченного слоистого течения. Такое течение называется 
турбулентным. На молекулярное хаотическое движение, которое было характерным для ламинарного течения, в турбулентном потоке накладывается 
перемешивание макроскопических частиц, обладающих перпендикулярными 
направлению продольного движения компонентами скорости. В этом состоит 
основное отличие турбулентного движения от ламинарного. Другое отличие 
заключается в том, что если ламинарное течение может быть как установившимся, так и неустановившимся, то турбулентный поток по своей сущности 
имеет неустановившийся характер, при котором скорость и другие параметры 
в данной точке зависят от времени.
Вязкость (внутреннее трение) — свойство текучих тел (жидкостей и газов) 
оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. 
Происхождение сил вязкости связано с собственным хаотическим движением 
молекул газа, в результате которого они переносят вместе с собой из одного 
места в другое определенное количество движения. Как известно из кинетической теории газов, скорость движения молекул газа с ростом температуры возрастает, а следовательно, увеличивается вязкость газа.
Наиболее простая количественная зависимость может быть получена для 
так называемого квазиодномерного слоистого течения. Напряжение трения, 
возникающее при таком движении между слоями жидкости или газа, прямо 
пропорционально градиенту скорости V в поперечном направлении:

 
τ
µ
=
∂
∂
V
y .  
(1.12)

Эту зависимость называют законом трения Ньютона (1687). Коэффициент 
пропорциональности, характеризующий вязкость среды (молекулярный перенос количества движения между слоями), называют динамической вязкостью 
µ и измеряют в паскаль-секундах (Па⋅с). Наряду с µ в аэродинамике используют кинематическую вязкость ν, вычисляемую по формуле

 
ν = µ / ρ 
(1.13)

10