Аэродинамика

Аэродинамика

2-е издание, исправленное и дополненное

Допущено Учебно-методическим объединением вузов 
Российской Федерации по университетскому политехническому 
образованию в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки 
24.03.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», специальности 
24.05.01 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет 
и ракетно-космических комплексов»

Под редакцией доктора технических наук, 
профессора В. Т. Калугина

УДК 533.6
ББК 22.253.3
 
А99

А в т о р ы:

А. Г. Голубев, А.С. Епихин, В.Т. Калугин, А.Ю. Луценко, В.О. Москаленко,  

Е. Г. Столярова, А. И. Хлупнов, П. А. Чернуха

Р е ц е н з е н т ы: 

заведующий кафедрой «Аэродинамика, конструкция и прочность летательных аппаратов» 

Московского государственного технического университета гражданской авиации,  

д-р техн. наук, профессор В. Г. Ципенко; 

д-р физ.-мат. наук, профессор И.И. Липатов

А99

 
Аэродинамика : учебник / [А. Г. Голубев и др.] ; под ред. В. Т. Калугина. — 2-е 

изд., испр. и доп. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 607, 
[1] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4428-1

Изложены теоретические и прикладные вопросы современной аэродинамики. При-

ведены сведения из кинематики и динамики газов; даны основные уравнения аэродина-
мики, аналитические и численные методы расчета вихревых, потенциальных, плоских, 
пространственных и вязких течений, а также методы расчета течений газа и силового 
воздействия воздушной среды на движущиеся тела. Рассмотрены теории скачков уплот-
нения; изоэнтропических, отрывных течений; пограничного слоя. Предложены практи-
ческие задачи по определению аэродинамических характеристик летательных аппаратов 
и их элементов, даны понятия гистерезисных и нестационарных явлений в аэродинами-
ке, представлены методы экспериментального моделирования процессов обтекания и ис-
следования структур. Во втором издании (первое 2010 г.) добавлены материалы по мето-
дам вычислений и физического исследования потоков в аэродинамике.

Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ 

им. Н. Э. Баумана. 

Для студентов технических университетов, слушателей военных академий, а также 

аспирантов, инженеров и научных работников, специализирующихся в области ракетно-
космической техники.

                                                                                                                УДК 533.6 
                                                                                                                ББК 22.253.3

ISBN 978-5-7038-4428-1

© Оформление. Издательство 
     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

Предисловие

Аэродинамика является одной из фундаментальных научных дисциплин, 
от развития которых зависит дальнейшее совершенствование авиационной, ар-
тиллерийской и ракетно-космической техники. Создание современных образцов 
летательных аппаратов невозможно без предварительного выбора и расчета их 
аэродинамических характеристик. В связи с этим знание аэродинамики, овладе-
ние методами аэродинамического расчета — необходимая и важная задача в под-
готовке будущего инженера в области авиации и ракетостроения.
В книге наряду с общими законами движения газовой (жидкой) среды рас-
сматривается применение аэродинамики главным образом в ракетной технике.
При изучении любого курса, в том числе и аэродинамики, основным яв-
ляется глубокое усвоение его важнейших теоретических основ, без чего не-
возможно творческое решение практических задач. Поэтому в первой части 
учебника особое внимание уделено изложению материалов, посвященных ме-
ханике газовых сред: приведены основные понятия и определения, уравнения 
сохранения для различных моделей воздуха, теория изоэнтропических тече-
ний, скачков уплотнения; рассмотрены вопросы кинематики и динамики вяз-
кого газа, особенности и закономерности отрывных течений, а также методы 
расчета воздушных (газовых) потоков.
Особое место в книге занимает освещение важнейших теоретических и 
прикладных вопросов, связанных с определением аэродинамических характе-
ристик корпусов снарядов, ракет, крыльев (оперения) и летательного аппарата 
в целом с учетом интерференционных эффектов. Этот материал содержится во 
второй части учебника. Здесь же рассмотрены вопросы газодинамики разре-
женных сред, нестационарной и экспериментальной аэродинамики.
Естественно, что в учебном курсе нельзя охватить все многообразие про-
блем, которыми занимается аэродинамическая наука. Поэтому в книге пред-
ставлена научная информация, усвоение которой необходимо специалисту, за-
нимающемуся научно-инженерной деятельностью в области артиллерийских 
систем и ракетно-космической техники. Содержание и объем этой информа-
ции при условии ее глубокого изучения будут достаточны для того, чтобы са-
мостоятельно разобраться в других проблемах аэродинамики, с которыми мо-
гут сталкиваться молодые специалисты в практической деятельности.

Продолжая традиции научной школы аэродинамики ракет МГТУ им. Н. Э. Ба-
умана, авторы сочли своим долгом использовать подходы и материалы, изложен-
ные в трудах доктора технических наук, профессора Н. Ф. Краснова (1922—1990), 
который создал в МВТУ кафедру «Аэродинамика» и многие годы заведовал ею.
Учебник подготовлен коллективом авторов, материал между которы-
ми распределен следующим образом: предисловие, гл. 2, 6.4, 6.5, 7.6, 7.7, 
гл. 11 — В. Т. Калугин; гл. 1, 5.11, 7.4, 7.8 — А. Г. Голубев; 7.9 — А. С. Епихин; гл. 3, 5 
(кроме 5.11), 13 — Е. Г. Столярова; гл. 4, 6.1 — 6.3, 7.2, 7.3, 7.5, 14.4 — П. А. Чернуха; 
7.1, гл. 8, 12.4, 12.5, 14.1 — А. И. Хлупнов; гл. 9, 10 — А. Ю. Луценко; 

12.1—12.3  — В. О. Москаленко; 14.2, 14.3 — В. О. Москаленко и А. И. Хлупнов. 
Общее редактирование учебника осуществлено лауреатом премии Правитель-
ства РФ в области науки и техники, лауреатом премии им. Н. Е. Жуковского, док-
тором технических наук, профессором В. Т. Калугиным.

Авторы выражают глубокую признательность доктору физико-математи-

ческих наук, профессору И. И. Липатову, а также доктору технических наук, 
профессору В. Г. Ципенко и коллективу возглавляемой им кафедры за полез-
ные замечания и ценные предложения по улучшению содержания книги.

4
Предисловие

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И МОДЕЛИ  
ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ. 
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ

Движение летательных аппаратов происходит в воздушной сре-
де, которая оказывает на их поверхность сложное комплексное 
воздействие. Современное представление о воздухе, его составе и 
свойствах, причинах возникновения аэродинамического сопротив-
ления и методах его расчета основывается на фундаментальных 
положениях механики сплошной среды и теории подобия физиче-
ских процессов.
В главе приведены основные параметры воздушной атмосферы, 
а также важные соотношения, используемые в различных типах 
аэродинамических задач. Рассмотрено результирующее силовое 
воздействие атмосферной среды на летательный аппарат, вве-
дены понятия аэродинамической силы, момента, центра давления 
и соответствующих аэродинамических коэффициентов, опреде-
лены основные системы координат, используемые при расчетах 
аэродинамических характеристик летательный аппарат.

1.1. Физическое и математическое описание  
воздушной среды

Основной средой, в которой происходит движение ЛА, является атмосфе-
ра Земли. Атмосфера представляет собой смесь газов, водяного пара и аэро-
золей. Объемный состав сухого воздуха до высот 90…95 км остается практи-
чески постоянным, %: 78,08 N2; 20,95 O2; 0,94 инертные газы и H2; 0,03 CO2, 
а также  другие газы в незначительных количествах.

Чтобы изучать воздействие воздуха на покоящиеся или движущиеся в нем 
тела, в первую очередь следует определить количественные и качественные 
показатели, описывающие саму воздушную среду; условия, при которых эти 
показатели являются существенными, а также математический аппарат, ис-
пользуемый при решении задач аэродинамики.
Число молекул в 1 см3 воздуха при нормальных условиях равно 2,5471 ⋅ 1019. 
Как показывает практика, для большинства аэродинамических расчетов моле-
кулярную структуру воздуха можно не учитывать и рассматривать его как од-
нородную среду, заполняющую предоставленное ей пространство сплошь, без 
образования пустот. Это предположение, называемое гипотезой сплошности 
среды, позволяет представлять все используемые в расчетах характеристики 
воздуха как функции координат пространства и времени, причем в большинстве 
случаев эти функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми.

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

Как и любое упрощение действительности, гипотеза сплошности имеет свои 
границы применимости, которые можно оценить с помощью числа Кнудсена:

 
Kn = l/L, 
(1.1)

где l — средняя длина свободного пробега молекул воздуха между двумя стол-
кновениями; L — характерный размер обтекаемого тела. При Kn < 0,01 сре-
да считается сплошной, при Kn > 0,01 необходимо учитывать молекулярную 
структуру воздуха и использовать в расчетах методы аэродинамики разрежен-
ной среды.
Состояние воздуха как сплошной среды описывается различными параме-
трами, основными из которых являются плотность ρ, давление p и температура 
T. Экспериментально установлено, что только два из трех основных параме-
тров состояния газа независимы, т. е. p = f (ρ, T). Это соотношение называется 
уравнением состояния.
Когда объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с занимаемым газом 
объемом, а силы взаимного притяжения молекул можно не учитывать, газ 
называется совершенным. Практика показывает, что при решении большинства 
задач аэродинамики воздух с достаточной точностью можно считать совершенным 
газом, для которого уравнение состояния имеет вид

 
рv = RT, 
(1.2)

где v — удельный объем, м3/кг, v = 1/ρ; R — удельная газовая постоянная, равная 
для сухого воздуха 287,053 Дж/(кг⋅К).
Умножая обе части уравнения (1.2) на молярную массу газа M, получаем

 
pvM = MRT, 
(1.3)

где vM — объем, занимаемый 1 молем газа, м3/моль.
Согласно закону Авогадро (1811), моль любого совершенного газа при одних 
и тех же давлении и температуре имеет одинаковый объем. Следовательно, 
произведение MR имеет постоянное значение для всех газов:

 
MR = R0 = 8,3143 Дж/(моль⋅К), 
(1.4)

и называется универсальной газовой постоянной. В уравнение состояния она 
была введена Д. И. Менделеевым в 1874 г.

С учетом (1.4) выражение (1.2) принимает вид уравнения Клапейрона — 
Менделеева:

 
p
R
M
T
=
0 ρ ,  
(1.5)

где M — средняя молярная масса воздуха как смеси газов, равная 0,02896 кг/моль.
Теплоемкостью называют количество теплоты, необходимое для нагрева 
рассматриваемой массы газа на один градус. Под удельной теплоемкостью по-
нимают теплоемкость единицы массы газа.
Значение удельной теплоемкости зависит от условий, в которых происхо-
дит нагрев газа. Обычно вводят в рассмотрение удельную теплоемкость при 
постоянном давлении ср и удельную теплоемкость при постоянном объеме cV. 

6

Для совершенного газа обе эти величины постоянны и связаны между собой 
уравнением Майера:

 
ср – cV = R. 
(1.6)

Для воздуха при T < 450 К значения теплоемкостей составляют ср = 
= 1 000 Дж/(кг⋅К) и cV = 713 Дж/(кг⋅К).
Большую роль в термо- и газодинамических зависимостях играет показа-
тель адиабаты (отношение удельных теплоемкостей)

 
k = ср/cV, 
(1.7)

который для воздуха равен 1,4.
В аэродинамических расчетах широко используют такие функции состоя-
ния воздуха, как внутренняя энергия e, энтальпия i и энтропия S, зависящие в 
общем случае от двух произвольных параметров состояния. Для совершенно-
го газа при постоянных теплоемкостях эти зависимости упрощаются и могут 
быть записаны в виде следующих формул.
Внутренняя энергия единицы массы совершенного газа удовлетворяет 
уравнению

 
e = cVT. 
(1.8)

Это означает, что при любом термодинамическом процессе совершенно-
го газа изменение его внутренней энергии определяется только изменением 
температуры.
Используя уравнение состояния, внутреннюю энергию можно выразить 
через два других основных параметра состояния:

 
e
c
R

p
V
=
ρ .

Последнее выражение на основании уравнения (1.6) может быть преобра-
зовано к виду

 
e
k

p
=
−
1

1 ρ .  

Энтальпией, или теплосодержанием, единицы массы газа называют 
величину

i = e + pv.

Для совершенного газа справедлива зависимость

 
i
c T
p
=
. 
(1.9)

С учетом уравнений (1.2) и (1.6) получаем

 
i
k

k

p
=
−1 ρ .

Второй закон термодинамики устанавливает существование особой функ-

ции состояния термодинамической системы — энтропии — и ее неубывание 

7
1.1. Физическое и математическое описание воздушной среды 

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

при любых процессах в изолированной системе. В общем случае изменение 
энтропии
 
d
d
S
q T
e
=
,

где dqе — приращение теплоты.
Через параметры состояния совершенного газа с точностью до некоторой 
константы энтропия выражается в виде
 
S
c
p
C
V

k
=
+
ln(
)
,
/ρ

где С = const.
Если энтропия термодинамической системы остается постоянной, то про-
ходящий в ней процесс называется изоэнтропическим. В этом случае давление 
и плотность связаны уравнением
 
p/ρk = C.
Рассмотрим установившееся движение воздуха с различными скоростями 
относительно неподвижной системы координат Oxyz, ограничившись изобра-
жением только плоскости xOy. В начале системы координат расположим ис-
точник слабых (акустических) возмущений.
Прежде всего рассмотрим простейший случай, когда воздух неподвижен, 
т. е. V = 0 (рис. 1.1, а). Возмущения распространяются во все стороны с одина-
ковой скоростью, называемой скоростью звука a. Если возмущения возникают 
с некоторым интервалом ∆t, то в результате получается система концентриче-
ских сфер. Пусть процесс идет без диссипации энергии. Тогда при t → ∞ воз-
мущения займут все координатное пространство.
На рис 1.1, б показан случай, когда поток движется в направлении оси Ox со 
скоростью V < a (дозвуковая скорость потока). За интервал времени ∆t фронт воз-
мущения образует в потоке сферу радиусом r = a∆t, а поток смещается на рассто-
яние x = V∆t, причем x < r. Таким образом, относительно неподвижного наблю-
дателя (относительно системы координат xOy) в направлении оси Ox (по потоку) 
возмущения распространяются с суммарной скоростью V + a, а в противополож-
ном направлении (против потока) — с меньшей скоростью V – а.
В предельном случае при V = a возмущения не будут распространяться 
вверх по потоку (рис. 1.1, в) и с течением времени заполнят только всю правую 
половину координатного пространства (правую полусферу).
Совершенно особая картина распространения возмущений получается 
при сверхзвуковой скорости потока (V > a). Как видно на рис. 1.1, г, сферы воз-
мущений сносятся вниз по потоку быстрее, чем распространяются сами воз-
мущения. Если рассмотреть два момента времени ∆t1 и ∆t2, то легко показать, 
что прямоугольные треугольники OA1B1 и OA2B2 подобны, а следовательно, все 
сферы распространения возмущений имеют общую касательную, наклонен-
ную к направлению движения потока (к оси Oх) под углом µ = arcsin(a/V). От-
ношение скорости потока в точке пространства к скорости распространения в 
ней слабых возмущений называется числом Маха:

 
M = V/a. 
(1.10)

8

С учетом (1.10) угол µ вычисляют по формуле

 
µ = arcsin(1/M) 
(1.11)

и называют углом Маха. При сверхзвуковой скорости потока в неподвижной 
системе координат все возмущения оказываются локализованными внутри конуса 
Маха с полууглом при вершине, равным µ. Образующие конуса (например, 
OB2) называются линиями слабых возмущений или линиями Маха.
Одним из важных свойств газа является его сжимаемость — способность 
изменять плотность под воздействием давления. Все процессы, связанные с течением 
газа, характеризуются изменением давления и, следовательно, влиянием 
в той или иной степени на эти процессы свойства сжимаемости. Исследования 
показывают, что пока скорости малы, изменение плотности вследствие малых 
изменений давления невелико и эффектом сжимаемости можно пренебречь. Для 
исследования обтекания тел потоками с малыми скоростями можно принять 
уравнения гидродинамики, изучающей законы движения несжимаемой жидкости. 
Практически влиянием сжимаемости можно пренебречь в диапазоне скоростей 
движения воздуха от нескольких метров в секунду до 100…110 м/с.

Рис. 1.1. Распространение слабых возмущений в воздушной среде 

9
1.1. Физическое и математическое описание воздушной среды 

1. Физические свойства и модели воздушной среды...

Следует отметить, что для учета сжимаемости среды принципиальным яв-
ляется не ее абсолютная скорость, а соотношение между скоростью потока и 
скоростью распространения возмущений в нем, т. е. критерием сжимаемости 
среды является число Маха. Сжимаемостью воздуха можно пренебрегать до 
скоростей движения, соответствующих числу Маха M ≤ 0,3.
Наблюдения показывают, что для жидкостей и газов характерны два вида 
движения. Ламинарное, или слоистое, движение отличается упорядоченным 
расположением струек, не смешивающихся между собой. В ламинарном по-
токе перенос количества движения между слоями происходит вследствие мо-
лекулярных процессов. Такое движение возникает и сохраняется устойчивым, 
как правило, при небольших скоростях движения. Если при заданных усло-
виях течения скорость потока превышает некоторое критическое значение, то 
ламинарное движение перестает быть устойчивым и переходит в новый вид, 
для которого характерны поперечное перемешивание среды и, как следствие, 
исчезновение упорядоченного слоистого течения. Такое течение называется 
турбулентным. На молекулярное хаотическое движение, которое было ха-
рактерным для ламинарного течения, в турбулентном потоке накладывается 
перемешивание макроскопических частиц, обладающих перпендикулярными 
направлению продольного движения компонентами скорости. В этом состоит 
основное отличие турбулентного движения от ламинарного. Другое отличие 
заключается в том, что если ламинарное течение может быть как установив-
шимся, так и неустановившимся, то турбулентный поток по своей сущности 
имеет неустановившийся характер, при котором скорость и другие параметры 
в данной точке зависят от времени.
Вязкость (внутреннее трение) — свойство текучих тел (жидкостей и газов) 
оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. 
Происхождение сил вязкости связано с собственным хаотическим движением 
молекул газа, в результате которого они переносят вместе с собой из одного 
места в другое определенное количество движения. Как известно из кинетиче-
ской теории газов, скорость движения молекул газа с ростом температуры воз-
растает, а следовательно, увеличивается вязкость газа.
Наиболее простая количественная зависимость может быть получена для 
так называемого квазиодномерного слоистого течения. Напряжение трения, 
возникающее при таком движении между слоями жидкости или газа, прямо 
пропорционально градиенту скорости V в поперечном направлении:

 
τ
µ
=
∂
∂
V
y .  
(1.12)

Эту зависимость называют законом трения Ньютона (1687). Коэффициент 
пропорциональности, характеризующий вязкость среды (молекулярный пере-
нос количества движения между слоями), называют динамической вязкостью 
µ и измеряют в паскаль-секундах (Па⋅с). Наряду с µ в аэродинамике использу-
ют кинематическую вязкость ν, вычисляемую по формуле

 
ν = µ / ρ 
(1.13)

10