Начертательная геометрия

Б.Г. Жирных, В.И. Серегин, Ю.Э. Шарикян 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ

Под общей редакцией В.И. Серегина

УДК 515(075)
ББК 22.151.3
  
Ж73

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебника

Рецензент
заслуженный работник высшей школы РФ, почетный авиастроитель,
заслуженный деятель науки и техники РФ,
д-р техн. наук, профессор В.И. Якунин

Жирных, Б. Г.
Ж73  
Начертательная геометрия : учебник / Б. Г. Жирных, В. И. Серегин, 
Ю. Э. Шарикян ; под общ. ред. В. И. Серегина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 166 [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4605-6

Учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по техническим направлениям подготовки (квалификация 
«бакалавр», «магистр» и «специалист») и полностью соответствует программе 
курса начертательной геометрии, читаемого в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Содержит материал по классическим основам начертательной геометрии. 
Подробно изложена теория построения обратимых изображений трехмерного 
пространства — основных геометрических фигур, способов преобразования, 
способов решения позиционных и метрических задач. В конце каждого параграфа приведены вопросы для самопроверки. 
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов, кроме архитектурных и строительных.

УДК 515(075)
ББК 22.151.3

  
© Жирных Б.Г., Серегин В.И.,  
  
 
Шарикян Ю.Э., 2017
  
© Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-4605-6 
 им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие

Одной из фундаментальных дисциплин базовой части цикла профессионального обучения является начертательная геометрия, которая способствует 
глубокому усвоению обучающимися методов геометрического моделирования трехмерного пространства, что можно рассматривать как один из важных 
этапов автоматизированного проектирования и расчета современной техники. 
Начертательная геометрия является разделом математики, изучающим методы 
отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических 
решений пространственных задач на чертеже. При этом чертеж рассматривается как графическая модель геометрического образа пространства.
Учебник подготовлен на кафедре «Инженерная графика» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, разработан в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования третьего поколения для направления подготовки бакалавров, магистров и специалистов высшего профессионального образования по машиностроительным и технологическим направлениям и специальностям на основе примерной программы 
дисциплины «Начертательная геометрия». Содержание учебника соответствует утвержденной Министерством образования и науки Российской Федерации 
программе курса начертательной геометрии.
Для усвоения данного курса обучающийся должен знать курсы алгебры 
и геометрии (в первую очередь — стереометрии) в объеме школьной программы. 
Учебник состоит из предисловия, введения, краткой истории развития начертательной геометрии, 10 глав и заключения.
В первой главе приведены основы метода проецирования: центрального, 
параллельного и ортогонального.
Во второй и третьей главах рассмотрены принципы изображения основных геометрических образов трехмерного пространства, называемых фигурами: прямой линии и плоскости на чертеже Монжа.
Четвертая глава посвящена способам преобразования чертежа для приведения геометрических фигур в частное положение относительно плоскостей 
проекций.
В пятой и шестой главах изложены принципы изображения основных геометрических образов трехмерного пространства, иногда называемых формами: кривые линии и поверхности на чертеже Монжа.
В седьмой главе рассмотрены позиционные задачи начертательной геометрии — задачи пересечения и принадлежности различных геометрических 

К 100-летию кафедры «Инженерная графика» 
Московского государственного технического 
университета имени Н.Э. Баумана 
1917–2017

фигур (форм), в восьмой главе — метрические задачи, решаемые в начертательной геометрии, приведены алгоритмы решения таких задач при определении метрических характеристик данной фигуры (длина, расстояние, площадь, 
угол и т. п.).
Девятая глава посвящена разверткам: даны основные понятия и определения, относящиеся к построению разверток поверхностей, предложены алгоритмы решения метрических задач, связанных с построением различных 
видов разверток.
Завершает учебник десятая глава, излагающая основные понятия и определения аксонометрических проекций, отличительной особенностью которых 
является наглядность.
Предлагаемая структура учебника соответствует идеям основоположника 
начертательной геометрии Г. Монжа, которыми он руководствовался при создании начертательной геометрии [13]:
«… дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два 
измерения, …любых тел природы, имеющих три измерения, ...»;
« …дать способ на основании точного изображения определять формы 
тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного 
расположения».
После усвоения материала данного учебника студент будет:
знать метод ортогонального проецирования, обеспечивающий обратимость, точность, простоту и наглядность чертежа;
владеть методами создания проекционного чертежа трехмерных объектов, анализировать геометрические формы этого объекта и создавать 3D-модели этих объектов;
уметь создавать чертежи и трехмерные модели деталей и сборочных 
единиц.
Освоение материала данного учебника позволит студентам приобрести 
навыки инженерного мышления, полезного в последующей конструкторской 
и технологической подготовке студентов машиностроительных специальностей всех форм обучения.
Авторы выражают благодарность коллегам по работе на кафедре «Инженерная графика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также профессорам Г.С. Иванову 
и В.И. Якунину за ряд ценных советов и пожеланий по повышению качества 
учебника.

Предисловие

Введение

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором изучают и обосновывают способы изображений пространственных фигур (линий, поверхностей, тел) на плоскости и способы решений задач геометрического характера 
по заданным изображениям указанных фигур.
В жизни различные изображения окружают человека повсюду: плакаты и 
фотографии, реклама и вывески перед магазинами, кадры кинофильмов и т. д. 
В курсе начертательной геометрии представляют интерес изображения предметов, которые в дальнейшем необходимо изготовить на производстве. Причем один человек должен выполнить такие изображения, другой — изготовить 
по ним предмет на производстве. Следовательно, оба специалиста должны не 
только видеть формы трехмерного предмета по его двумерному изображению, 
но и уметь решать геометрические задачи по определению размеров предмета 
и его отдельных частей, а также устанавливать взаимное положение отдельных элементов предмета. Правила и приемы начертательной геометрии дают 
возможность это выполнить.
Многие технические задачи можно решать аналитически и графически, 
при этом всегда надо выбирать наиболее целесообразный метод. Существует 
ряд задач, решаемых графически быстрее и проще, чем аналитически. Начертательная геометрия помогает применению графических методов решения задач.
В высших технических учебных заведениях студенты изучают курс начертательной геометрии в первом семестре первого курса, когда пришедшие из 
средней школы первокурсники еще не привыкли к требованиям высшей школы, 
контролю со стороны преподавателя (по Положению о высшей школе преподаватель не обучает студентов, а лишь помогает им в приобретении знаний). 
Для успешного усвоения начертательной геометрии студентам необходимы достаточные знания в области стереометрии. Еще в средней школе 
учащиеся должны усвоить основные сведения, относящиеся к взаимному 
положению прямых в пространстве, относительному положению прямой и 
плоскости, двух плоскостей, определению величины углов между прямой и 
плоскостью и двумя плоскостями. 
По сравнению с предметами, изучаемыми в средней школе, начертательная геометрия является для студентов новой дисциплиной: здесь вводится 
большое количество новых понятий, условностей, обозначений. 
Среди изучаемых в техническом вузе дисциплин особое значение имеет 
прикладное техническое черчение — один из способов выражения инженерной мысли в графической форме. Для того чтобы овладеть языком технического черчения, необходимо в первую очередь изучить правила («азбуку» и 
«грамматику») составления и чтения изображений. 
«Азбука» чертежа — все типы линий (сплошная, штриховая, штрихпунктирная и т. д.), которые применяют при его выполнении и которые студенты 
изучают в курсе машиностроительного черчения. «Грамматикой» черчения 
служит начертательная геометрия, которая изучает способы изображения объ

емных тел (имеют три измерения — длину, ширину и высоту) на плоскости 
(у которой всего два измерения — длина и ширина). 
Таким образом, предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур (линий, 
поверхностей, тел) на плоскости и способов решения задач геометрического 
характера по заданным изображениям этих фигур. 
Из определения становится ясным значение начертательной геометрии: 
с ее помощью разрабатывают теоретические основы черчения. Изображения, 
построенные по правилам, изучаемым в курсе начертательной геометрии, позволяют мысленно представить не только формы предметов, но и взаимное 
расположение в пространстве этих предметов, определить их размеры, исследовать геометрические свойства. 
При изучении начертательной геометрии студенты могут ознакомиться с 
методами графического решения задач. Эти методы, хотя и менее точные по 
сравнению с аналитическими, могут с успехом применяться, в частности, при 
решении задач с использованием ЭВМ, что еще более повышает роль начертательной геометрии в инженерном образовании. 
Для будущего инженера, особенно инженера-конструктора, важно обладать пространственным мышлением, пространственным воображением. Начертательная геометрия развивает его, вызывая усиленную работу пространственного воображения. Большинство задач, решаемых студентами в курсе начертательной геометрии, не встретится в будущей инженерной деятельности. 
Но полученные во время обучения навыки помогут развитию пространственного мышления и воображения, столь необходимых инженеру. Начертательная геометрия нужна широкому кругу специалистов: инженерам-конструкторам машин и аппаратов, строителям различных сооружений, архитекторам, 
топографам и др. 
Таким образом, можно сформулировать основные цели изучения начертательной геометрии: 
1) научиться достаточно точно строить изображения объемных предметов 
на плоскости; 
2) научиться читать изображения, т. е. по изображению предметов представлять их в пространстве; 
3) научиться с помощью изображений решать задачи геометрического характера на определение формы, положения и размеров предмета; 
4) развить пространственное мышление, т. е. научиться быстро и отчетливо представлять в уме пространственные фигуры (без чего невозможно проектировать и конструировать). 

Введение

Краткая история развития начертательной геометрии

Начертательная геометрия, основная задача которой состоит в изучении методов изображения пространственных фигур на плоскости, возникла в результате практических потребностей человека. Запросы точного естествознания, техники, промышленности и искусства способствовали развитию этой науки. 
Еще в глубокой древности было установлено, что основой для построения изображений, отвечающих определенным условиям, является проекционный чертеж. Примерами использования проекционных методов служат рисунки на граните, сохранившаяся стенная живопись, изображения на папирусах. 
Весьма разнообразно содержание древней росписи на китайском шелке и стенах пещерных храмов Аджанты в Индии. Но в основе каждого из этих памятников лежит изображение реальных предметов трехмерного пространства на 
плоскости. 
В 1525 г. немецкий художник Альбрехт Дюрер написал обширный трактат, 
по содержанию близкий к изложению основ начертательной геометрии. Затем 
им был написан еще ряд статей на ту же тему. В те времена, несмотря на развитие методов графического изображения и широкое применение их в технике, 
они излагались в технической литературе лишь в виде правил построения. 
К концу XVIII в. проекционные методы уже имели свою многовековую 
историю. Однако единого метода изображения объемного тела на плоском 
чертеже еще не было разработано. Исторически назрела необходимость научного обобщения накопленного и чрезвычайно разрозненного материала по 
графическим методам изображения. С развитием промышленности и связанным с ним разделением труда настоятельно потребовались создание единой 
теории изображения и строгая систематизация правил выполнения чертежей — документов, обеспечивающих четкую передачу замыслов зодчего, инженера, проектировщика исполнителю. Эта задача была успешно решена замечательным французским ученым и активным участником Великой французской буржуазной революции Гаспаром Монжем (1746–1818). В своих трудах 
Монж свел в стройную научную систему весь накопленный развитием науки 
и техники в ряде стран материал по ортогональному проецированию. 
В классическом произведении «Geometrie descriptive» («Начертательная геометрия»), опубликованном в 1798 г., Монж разработал общую геометрическую 
теорию, которая дает возможность на плоском листе, содержащем ортогональные 
проекции трехмерного тела, решать различные стереометрические задачи. Им 
была создана абстрактная геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие 
две ее ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. Проекционный чертеж, построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом инженеров, архитекторов и техников всех стран. 
Г. Монж первым перешел от изучения геометрии на плоскости к глубокому исследованию геометрии в пространстве. Он вошел в историю науки и техники не только как основатель начертательной геометрии, но и как 
автор теории образования поверхностей, методов интегрирования уравнений 

с частными производными первого порядка. Значительны заслуги Монжа и 
в других науках — химии, металлургии, оптике. 
Со времен Монжа начертательная геометрия завоевала достойное место в 
технической школе всех стран. 
Отечественная школа развития начертательной геометрии неразрывно 
связана с деятельностью Института корпуса инженеров путей сообщения, 
основанного в Петербурге в 1809 г. Это учебное заведение оказало непосредственное влияние и на формирование русской школы начертательной геометрии. К моменту, когда курс начертательной геометрии был введен в программы других учебных заведений, Институт корпуса инженеров путей сообщения уже подготовил много опытных и квалифицированных преподавателей, 
из которых прежде всего следует назвать Якова Александровича Севастьянова 
(1796–1849). После окончания института в 1814 г. Я.А. Севастьянов был назначен репетитором по начертательной геометрии. В 1818 г. он читал курс по 
данной дисциплине на русском языке, в 1821 г. издал первый русский учебник 
по этой дисциплине — «Основания начертательной гео метрии». 
В 1824 г. плодотворная деятельность 28-летнего Я.А. Севастьянова была 
достойно отмечена присвоением ему звания профессора. 
В ХХ в. необходимо отметить профессоров Н.Ф. Четверухина и И.И. Котова, преподававших начертательную геометрию в Московском авиационном 
институте. Коллективом авторов под руководством Н.Ф. Чет ве рухина издан 
учебник, написанный на высоком теоретическом уровне. 
Большой вклад внес В.О. Гордон (1892–1971) — автор учебника по начертательной геометрии, подготовленного на высоком методическом уровне, 
новые издания которого выходят в свет и в настоящее время. 
В МВТУ им. Н.Э. Баумана профессором Х.А. Арустамовым (1899–1979) 
была разработана методика преподавания графических дисциплин. Первой 
в СССР кафедре «Инженерная графика» МВТУ им. Н.Э. Баумана поручили 
проведение курса повышения квалификации для преподавателей начертательной геометрии страны. Только на этой кафедре повышали квалификацию заведующие кафедрами «Инженерной графики» отечественных вузов.
Активное развитие процесса автоматизации производства с середины 
ХХ в. привело к необходимости автоматизации процесса проектирования, 
формированию алгоритмов и использованию ЭВМ с различными устройствами, позволяющими осуществлять диалог между машиной и человеком. Серьезных результатов в этом направлении достигли профессора С.А. Фролов, 
В.А. Осипов, Г.С. Иванов, В.И. Якунин и другие.
В настоящее время сложились научные школы по начертательной и прикладной геометрии в ведущих вузах Российской Федерации, например, в Московском государственном авиационном университете (МАИ) под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, основателя научной школы 
Вячеслава Ивановича Якунина; в Московском государственном техническом 
университете имени Н.Э. Баумана (МГТУ им. Н.Э. Баумана) под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, основателя научной школы 
«Нелинейная начертательная геометрия» Геннадия Сергеевича Иванова.

Краткая история развития начертательной геометрии

Обозначения геометрических фигур

Ф
— геометрическая фигура 
A, B, C, D, E, ...
1, 2, 3, 4, 5, ...
— точки (прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры)

a, b, c, d, ...
— линии произвольного расположения (строчные буквы латинского алфавита)

h – горизонтальная 
f – фронтальная 
p – профильная 

— линии прямые, параллельные плоскостям проекций

α, β, γ, δ, ε, …
— поверхности (строчные буквы греческого алфавита)

^ 
a^b = 45°
— угловая величина (символ помещают над углом). 
Например: угол между прямыми a и b равен 45°

| |

|AB| 
|Aa| 
|Aα| 
|ab| 
|αβ| 

— расстояние между геометрическими фигурами (две вертикальные линии). Например: 
— расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ); 
— расстояние от точки А до линии а; 
— расстояние от точки А до поверхности α;
— расстояние от линии а до линии b;
— расстояние от поверхности α до поверхности β

π 
π1 
π2 
π3 
π4, π5, π6 и т. д.

Плоскости проекций:
— плоскость проекций произвольного положения;
— горизонтальная плоскость проекций;
— фронтальная плоскость проекций;
— профильная плоскость проекций;
— дополнительные плоскости проекций

x
y 
z 

Оси проекций:
— ось абсцисс;
— ось ординат;
— ось аппликат

A′, B′, C′, D′, ... 
A″, B″, C″, D″, ... 
A‴, B‴, C‴, D‴, ... 
a′, b′, c′, d′, ... 
a″, b″, c″, d″, ... 
a‴, b‴, c‴, d‴, ... 
α′, β′, γ′, δ′, ε′, …
α″, β″, γ″, δ″, ε″, …
α‴, β‴, γ‴, δ‴, ε‴, …

Проекции точек, линий, поверхностей (те же буквы или цифры, что и оригинал, с добавлением штрихов). Например:
— горизонтальные проекции точек;
— фронтальные проекции точек;
— профильные проекции точек;
— горизонтальные проекции линий;
— фронтальные проекции линий;
— профильные проекции линий;
— горизонтальные проекции поверхностей;
— фронтальные проекции поверхностей;
— профильные проекции поверхностей

h0α 
f0α 
p0α  

Следы плоскостей (поверхностей):
— горизонтальный след плоскости (поверхности) α;
— фронтальный след плоскости (поверхности) α;
— профильный след плоскости (поверхности) α

Ha 
Fa 
Pa 

Следы прямых линий:
— горизонтальный след прямой а;
— фронтальный след прямой а;
— профильный след прямой а

A1, B2, C3, D4, ... 
a1, b2, c3, d4, ... 
α1, β2, γ3, δ4, ...   

Последовательность геометрических фигур отмечается подстрочными индексами:
— последовательность точек;
— последовательность линий;
— последовательность поверхностей

α
— аксонометрическая (картинная) плоскость проекций

Aα, Bα, Cα, ...
— аксонометрические проекции точек (буквы с подстрочным 
индексом α)

xα, yα, zα
— аксонометрические оси проекций

kx, ky, kz
— коэффициенты искажения по аксонометрическим осям

Обозначения геометрических фигур