Логарифмы

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Е.Е. НЕКИПЕЛОВА

ЛОГАРИФМЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

ИНФРА-М

2022

УДК 512.1(075.32)

ББК 22.141я723

Н47

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

А в т о р:

Некипелова Е.Е., преподаватель математики высшей категории

Р е ц е н з е н т:

Аверина
Т.Л., 
преподаватель 
математики
Бийского
промышленно-

технологического колледжа

Некипелова Е.Е.

Н47

Логарифмы : учебное пособие / Е.Е. Некипелова. — Москва :

ИНФРА-М, 2022. — 161 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-111259-5 (online)

Учебное пособие составлено в соответствии с разделом «Корни, 

степени и логарифмы» рабочей программы по дисциплине «Математика». 
Содержит задания для самостоятельной работы, справочный материал, 
контрольную работу, имеющую разноуровневые задачи в двух вариантах 
с условной балловой оценкой степени сложности.

Для студентов 2-го курса учреждений среднего профессионального 

образования.

УДК 512.1(075.32)

ББК 22.141я723

ISBN 978-5-16-111259-5 (online)

© Некипелова Е.Е., 2022

Оглавление
Показательная функция. Определение функции, свойства и графики ..................................................5

1.Показательная функция.........................................................................................................................13

Решение показательных уравнений и систем.........................................................................................15

1.
Показательные уравнения ................................................................................................................26

2.
Самостоятельная работа...................................................................................................................31

Решение показательных неравенств........................................................................................................32

1.
Показательные неравенства .............................................................................................................42

2.
Самостоятельная работа...................................................................................................................45

3.
Контрольная работа ..........................................................................................................................45

4.Тест: Показательные уравнения и неравенства...................................................................................47

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные 
логарифмы .................................................................................................................................................52

1.
Самостоятельная работа...................................................................................................................60

2.
Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество .........................................62

3.
Свойства логарифмов .......................................................................................................................64

4.
Десятичные и натуральные логарифмы..........................................................................................68

Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию ......................................................72

Частный случай переход к новому основанию логарифма...................................................................73

1.
Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию ..............................................75

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к 
другому.......................................................................................................................................................78

Частный случай переход к новому основанию логарифма...................................................................78

Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений .............81

1.
Вычисление и сравнение логарифмов.............................................................................................88

2.
Логарифмирование и потенцирование выражений........................................................................90

3.Самостоятельная работа........................................................................................................................94

Преобразование логарифмических выражений .....................................................................................95

1.
Преобразование показательных  и логарифмических выражений...............................................99

Логарифмическая функция. Определение функции, свойства и графики.........................................104

Решение логарифмических уравнений и систем..................................................................................111

1.
Решение логарифмических уравнений..........................................................................................122

Решение логарифмических неравенств.................................................................................................128

1.
Тест: Логарифмические уравнения и неравенства.......................................................................132

1.
Решение логарифмических неравенств.........................................................................................136

1.
Контрольная  работа .......................................................................................................................142

Задания для интересующихся  математикой........................................................................................143

Задания для самостоятельной работы...................................................................................................145

Контрольная работа ................................................................................................................................149

Справочный материал.............................................................................................................................152

Интересные факты ..................................................................................................................................158

Литература:..............................................................................................................................................161

Показательная функция. Определение функции, свойства и графики

Теоретическая часть:

Напомним основные свойства степени

1. 𝑎𝑥1 × 𝑎𝑥2 = 𝑎𝑥1+𝑥2

2.

𝑎𝑥1

𝑎𝑥2 = 𝑎𝑥1−𝑥2

3. (𝑎𝑥1)𝑥2 = 𝑎𝑥1∙𝑥2

4. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥𝑏𝑥

5. (

𝑎

𝑏)𝑥 =

𝑎𝑥

𝑏𝑥

6. 𝑎𝑥 > 0

7. 𝑎𝑥 > 1, если 𝑎 > 1, 𝑥 > 0

8. 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2, если 𝑎 > 1, 𝑥1 < 𝑥2
9. 𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2, если 0 < 𝑎 < 1, 𝑥1 < 𝑥2

Определение:
Функцию вида 𝑦 = 𝑎𝑥, где 𝑎 > 0 и 𝑎 ≠ 1, называют 

показательной функцией.

Примеры: 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 10𝑥, 𝑦 = (

1

2)

𝑥

, 𝑦 = 0,1𝑥

Возьмем функцию 𝑦 = 2𝑥, построим график функции. Для этого составим 

таблицу значений функции  𝑦 = 2𝑥:

𝑥
0
1
−1
2
−2
3
−3

𝑦
1
2
1
2

4
1
4

8
1
8

Отметим точки на координатной плоскости

Рис. 1

Свойства функции 𝒚 = 𝟐𝒙

1. 𝐷(𝑓) = (−∞; +∞);

2. не является ни четной, ни нечетной;

3. возрастает;

4. не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна;

7. 𝐸(𝑓) = (0; +∞);

8. выпукла вниз.
!Точно такими же свойствами обладает любая функция вида  𝒚 = 𝒂𝒙, где

𝒂 > 𝟏

Рассмотрим теперь функцию 𝑦 = (

1

2)

𝑥
, составим для нее таблицу значений:

𝑥
0
−1
1
−2
2
−3
3

𝑦
1
2
1
2

4
1
4

8
1
8

Отметим точки на координатной плоскости

Рис. 2

Свойства функции 𝒚 = (

𝟏

𝟐)

𝒙

1. 𝐷(𝑓) = (−∞; +∞);

2. не является ни четной, ни нечетной;

3. убывает;

4. не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. непрерывна;

7. 𝐸(𝑓) = (0; +∞);

8. выпукла вниз.
!Точно такими же свойствами обладает любая функция вида  𝒚 = 𝒂𝒙, где 

𝟎 < 𝒂 < 𝟏
! Обратите внимание графики функций 𝒚 = 𝟐𝒙 и 𝒚 = (

𝟏

𝟐)

𝒙
, т.е. 𝒚 = 𝟐−𝒙, 

симметричны относительно оси 𝒚.

Рис. 3

Основные свойства показательной функции 𝒚 = 𝒂𝒙:

№ п/п
𝒂 > 𝟏
𝟎 < 𝒂 < 𝟏

1
𝐷(𝑓) = (−∞; +∞);
𝐷(𝑓) = (−∞; +∞);

2
𝐸(𝑓) = (0; +∞)
𝐸(𝑓) = (0; +∞)

3
возрастает
убывает

4
непрерывна
непрерывна

5
не является ни четной, ни нечетной

6
не ограничена сверху, ограничена снизу

7
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

8
выпукла вниз

Рис.4                              Рис. 5

Кривую, изображенную на рис. 4 или рис.5, называют экспонентой.

Пример 1. Решить уравнение 3𝑥 = 27

Решение:

По свойству показательной функции 

данное уравнение имеет корень, так 

как  27 > 0.

Одним из корней является  число 𝑥 =

3, 

3𝑥 = 27
3𝑥 = 33

𝑥 = 3 (Рис.6)

Ответ: 𝑥 = 3

Рис.6

Пример 2. Используя свойство возрастания или убывания показательной 
функции, сравни числа.

a) 1,73 и 1
b) 0,32 и 1

Решение:

a) 1,73 и 1

1,73 > 1,70

3 > 0 (1,7 > 1)
1,73 > 1

b) 0,32 и 1

0,32 < 0,30

2
> 0 (0,3
< 1)
0,32 < 1

Пример 3. Найти координаты точки пересечения графиков функции:

a) 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = 8
b) 𝑦 = (

1

4)

𝑥

и 𝑦 =

1

16

Решение:

a) 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = 8

2𝑥 = 8
2𝑥 = 23

𝑥 = 3
Ответ: (3; 8) точка пересечения графиков функции.

b) 𝑦 = (

1

4)

𝑥

и 𝑦 =

1

16

(1
4)

𝑥

= (1

4)

2

𝑥 = 2

Ответ: (2;

1

16) точка пересечения графиков функции.

Пример 4. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция.

a) 𝑦 = 0,3−𝑥
b)  𝑦 = (7)−𝑥

Решение:

a) 𝑦 = 0,3−𝑥 = (

3

10)

−𝑥

= (

10

3 )

𝑥

= (3

1

3)

𝑥
; 
 
3

1

3 > 1
(𝑎 > 1)
условия 

возрастания -

значит, данная функция является возрастающей.

b) 𝑦 = (7)−𝑥 = (

1

7)

𝑥

; 0 <

1

7 < 1 (0 < 𝑎 < 1) условия убывания -

значит, данная функция является убывающая.

Практическая часть:

Задачи

Найдите значение выражения 2𝑥 при указанных значениях переменной 𝑥:

1.
a) 𝑥 = 3
б) 𝑥 = − 2
в) 𝑥 = 5
г) 𝑥 = −4

2.
a) 𝑥 =

3

2
б) 𝑥 = −

1

2
в) 𝑥 =

4

3
г) 𝑥 = −

2

3

Сравните значения 3𝑥1 и 3𝑥2, если:

3.
a) 𝑥1 = 1

3, 𝑥2 = 2

3
б) 𝑥1 = 1

2 , 𝑥2 = − 1

2
в) 𝑥1 = 4

5, 𝑥2 = 3

5
г) 𝑥1 = 1, 𝑥2 = − 3

2

Найдите значение выражения:

4.
a) 23 ∙ 22

б) (

1

3)

−2

∙ (

1

3)

2
в) 32 ∙ 33
г) 5−4 ∙ 52

5.
a) 42,5 ÷ 43

б) (

1

2)

−6,3

÷ (

1

2)

−2,3
в) 821

2 ÷ 82
г) (

2

3)

2,4

÷ (

2

3)

−0,5

6.
a) (2

1
2)

6

б) ((

1

7)

2
)

1
2
в) (3

3
2)

2

г) ((

3

4)

1
3)

−1

7.
a) (2−3)2 ∙ 25

б) ((2

3)

4,1

)

5

÷ (2

3)

20,6
в) (32,7)

3

÷ 35,1
г) ((2

3)

−3

)

2

∙ (2

3)

5

Решите уравнение:

8.
a) 3𝑥 = 9
б) 3𝑥 =

1

3
в) 3𝑥 = 27
г) 3𝑥 =

1

81

Среди заданных функций  укажите те, которые являются показательными:

9.
a) 𝑦 = 3𝑥
б) 𝑦 = 𝑥2

в) 𝑦 = 𝑥

5
3
г) 𝑦 = (√3)

𝑥

Найдите значение показательной функции 𝑦 = 𝑎𝑥 при заданных значениях  
𝑥: 

10.
a) 𝑦 = 7𝑥, 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −1, 𝑥3 =

1

2

б) 𝑦 = (

1

2)

𝑥
, 𝑥1 =

3

2 , 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −

1

2

в) 𝑦 = (√3)

𝑥, 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 4, 𝑥3 = 5