Математические методы и модели

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

М.М. МУРТУЗАЛИЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 

И МОДЕЛИ 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва

ИНФРА-М

2022

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73
М91

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Муртузалиев М.М.

М91

Математические 
методы 
и 
модели 
: 
учебное 
пособие 
/ 

М.М. Муртузалиев. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 108 с. — (Высшее 
образование).

ISBN 978-5-16-111257-1 (online)

Учебное пособие посвящено дисциплине
«Математические методы 

и модели». Цель пособия — сформировать у студентов медицинских вузов 
умение моделировать процессы и явления, закономерности и тенденции;
с помощью моделей обрабатывать медицинскую информацию на электронных 
вычислительных машинах; на основе полученных результатов обосновывать
принимаемые управленческие решения.

Для студентов медицинских вузов. Будет полезно научным работникам, 

интересующимся вопросами моделирования и компьютеризации процессов
в области здравоохранения.

УДК 51-7(075.8)

ББК 22.1я73

ISBN 978-5-16-111257-1 (online)

© Муртузалиев М.М., 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Математические методы и модели:

основные понятия и элементы ........................................................................... 5
1.1. Сущность математических методов и моделей,

предмет и задачи курса ................................................................................... 5

1.2. Модель и моделирование в медицине:

сущность, элементы, виды моделей .............................................................. 5

1.3. Особенности экономики как объекта моделирования ................................. 7

2. Математическое программирование в медицине.

Прямые и двойственные задачи линейного программирования................ 8
2.1. Сущность экономических задач, решаемых методами математического 

программирования.Общая задача линейного программирования
и формы ее записи ........................................................................................... 8

2.2. Классические экономические задачи, решаемые методом линейного 

программирования......................................................................................... 11

2.3. Двойственные задачи линейного программирования и их свойства. 

Объективно-обусловленные оценки............................................................ 14

2.4. Задача линейного целочисленного программирования ............................. 19

3. Методы решения задач математического программирования ................. 22

3.1. Графические и аналитические методы решения.

Симплекс-метод............................................................................................. 22

3.2. Решение на ПЭВМ задач линейного программирования.

Инструментарий «Поиск решения…» электронных
таблиц MS Excel и методика работы с ним ................................................ 26

4. Модели динамического программирования вмедицине............................. 32

4.1. Общая постановка задачи динамического программирования.

Принцип оптимальности и уравнения Беллмана ....................................... 32

4.2. Основные понятия теории оптимального управления.

Математическая модель оптимальных управляемых процессов.............. 36

4.3. Задача оптимального распределения капитальных

вложений в отрасли ....................................................................................... 42

5. Игровые методы обоснования экономических и управленческих 

решений................................................................................................................. 44
5.1. Управление в условиях неопределенности ................................................. 44
5.2. Оценка риска в «играх с природой»............................................................. 46
5.3. Сведение задач теории игр к задачам 

линейногопрограммирования....................................................................... 51

6. Сетевые модели.................................................................................................... 53

6.1. Сущность, элементы и правила построения

сетевых моделей (графиков)......................................................................... 53

6.2. Основные параметры сетевых моделей (графиков)

и методика их расчета ................................................................................... 55

7. Элементы теории массового обслуживания в экономике .......................... 61

7.1. Основные понятия. Классификация СМО................................................... 61
7.2. Марковские случайные процессы и их виды.

Потоки событий ............................................................................................. 62

7.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний................ 63
7.4. СМО с отказами.............................................................................................. 65
7.5. СМО с ожиданием.......................................................................................... 68
7.6. Понятие о статистическом моделировании СМО

(методе Монте-Карло)................................................................................... 71

Тема 8. Модели экономического взаимодействия на простейших рынках

8.1. Моделирование спроса и потребления……………………………………..74
8.2. Паутинообразная модель рыночного регулирования. Модель общего 

равновесия………………………………………………………………………….. 81

8.3. Двухсекторная модель рыночного равновесия…………………………….86

Тема 9. Глобальные модели производства и потребления………………….89
9.1. Модели затрат-выпуска В. Леонтьева…………………………………………. 89
9.2. Модель фон Неймана………………………………………………………….95
9.3. Модели Эванса и Солоу……………………………………………………….98

Тема 10. Укрупненная модель региональной экономики…………………101
10.1. Производственный блок модели…………………………………………...101
10.2. Блок нерыночных услуг……………………………………………………..102
10.3. Блок трудовых ресурсов……………………………………………………103
10.4. Блок государственных доходов и расходов……………………………….105
10.5. Индикаторы социально-экономического развития региона…………….106

1. Математические методы и модели: основные понятия и элементы

1.1. Сущность математических методов и моделей, предмет и задачи 

курса

Математические методы и модели - комплекс дисциплин, возникший на 

стыке экономики, математики и кибернетики. Ее предметом является изучение 
количественных соотношений в медицине математическими методами, т.е. 
количественное выражение процессов в медицине
их
закономерностей, 

тенденций протекания процессов и явлений, взаимосвязей и зависимостей в в 
виде математических моделей, с целью получения информации, необходимой 
для принятия управленческих решений.

Задачей курса является – дать студентам комплекс знаний по постановке 

и решению управленческих задач для нужд здравоохранеия, его звеньев и 
элементов 
на 
основе 
методов 
математического 
моделирования 
с 

использованием математических методов и вычислительной техники, анализу 
результатов решения задач и принятию на их основе  управленческих решений.

Основоположниками экономико-математических методов
и моделей 

являются акад. Л.В. Канторович – лауреат Нобелевской и Ленинской премии, 
акад. Немчинов В.В. – лауреат Ленинской премии, проф. Новожилов В.В. –
лауреат Ленинской премии, Леонтьев В.В. – лауреат Нобелевской премии и др.

1.2. Модель и моделирование в экономике: сущность, элементы, 

виды моделей

Модель – это материально или мысленно представляемый образ объекта
оригинала, с помощью которого получают новые знания об этом объектеоригинале. Из определения следует, что моделировать надо такие объекты, 
которые трудно или нельзя изучить другими методами.

Процесс построения модели называют моделированием. Моделирование 

имеет циклический характер (рис. 1.2.1.). Цикл моделирования включает 
четыре этапа: 1-2 – построение модели; 2-3 – изучение модели; 3-4 – перенос 
знаний с модели на объект; 4-1 применение полученных знаний об объекте.

Рис. 1.2.1. Схема процесса моделирования

В модели можно выделить две группы элементов: внешние и внутренние.
Внешние элементы - это знания об объекте, необходимые для построения

модели, внутренние элементы – это данные, получаемые с помощью модели.

1 - Объект
2 -Модель

4 – Знания

об объекте

3 – Знания 

о модели

В моделировании можно выделять три элемента: объект, субъект, модель. 
Связь этих элементов можно выразить следующим образом: “Субъект с 

помощью модели изучает объект и управляет этим объектом”.

Модели можно классифицировать по различным признакам.
В частности, все модели можно разделить на два больших класса: 

материальные (физические) и нематериальные (нефизические) или символьные. 
В классе нематериальных моделей особое место занимают математические 
модели. Все математические модели можно разделить на экономикоматематические и остальные (неэкономико-математические); экономикоматематическое, 
в 
свою 
очередь, 
могут 
быть 
дескриптивными 
или 

нормативными. Первые описывают экономические процессы и явления, вторые 
выявляют или объясняют связи и зависимости, закономерности и тенденции.

Рис.1.2.2. иллюстрирует место экономико-математических моделей в 

системе моделей.

Рис.1.2.2. Схема, иллюстрирующая место экономико-математических моделей 

в системе моделей

К основным этапам построения экономико-математических моделей 

относятся:

- выбор объекта моделирования и формулировка задачи;
- сбор исходной информации об объекте;
- математическая запись модели;
- выполнение расчетов на ЭВМ;
- анализ результатов, полученных на ЭВМ, и принятие решений.

1.3. Особенности экономики как объекта моделирования
Особенностями экономики как объекта моделирования являются:
возможность рассмотрения экономики в целом, экономических 

объектов, процессов и явлений как сложных систем;

Экономико
математические

Неэкономикоматематические

Дескриптивные
Нормативные

Модели

Материальные
Нематериальные 

(символьные)

Математические
Нематематические

…     …     …

…     …     …

…     …     …
…     …     …

…     …     …

- эмерджентность, означающая, что экономические объекты, процессы и 

явления обладают такими свойствами, какими не обладает ни один из 
элементов их образующих;

вероятностный, неопределенный, случайный характер протекания 

экономических процессов и явлений;

- инерционный характер развития экономики, в соответствии с которым 

законы, закономерности, тенденции, связи, зависимости, имевшие место в 
прошлом периоде, продолжают действовать некоторое время в будущем.

Все вышеперечисленные и другие свойства экономики усложняют ее 

изучение, выявление закономерностей, динамических тенденций, связей и 
зависимостей. Математическое моделирование является тем инструментарием, 
умелое использование которого позволяет успешно решать проблемы изучения 
сложных систем, в том числе таких сложных, как экономические объекты, 
процессы, явления.

2. Математическое программирование в экономике. Прямые и 

двойственные задачи линейного программирования

2.1. Сущность экономических задач, решаемых методами 

математического программирования. Общая задача линейного 
программирования и формы ее записи

К экономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи, в 

которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных 
условиях производства. Такие задачи называются задачами на максимум или 
минимум. 
Особенностью 
задач 
оптимизационного 
типа 
является 

многовариантность их решений, обусловленная следующими причинами: 
взаимозаменяемостью 
ресурсов; 
взаимозаменяемостью 
готовых 
видов 

продукции; 
существованием 
альтернативных 
технологий 
производства; 

неодинаковостью технико-экономических показателей даже однотипных 
хозяйственных субъектов.

Возможны два подхода к постановке оптимизационных задач:

при первом подходе требуется получить максимальные конечные результаты 
при заданных условиях производства; при втором подходе требуется получить 
заданные конечные результаты при минимальных затратах ресурсов.

Математический инструментарий, позволяющий решать экономические 

задачи оптимального типа, называется программированием. Различают 
линейное и нелинейное программирование.

На 
практике 
наибольшее 
распространение 
получило 
линейное 

программирование.

Методы линейного программирования в математике известны под 

названием общей задачи линейного программирования.

Аналитическая 
формулировка 
общей 
задачи 
линейного 

программирования

Общая задача линейного программирования формулируется следующим 

образом:

Найти решение {Х1,Х2,….Хn}, позволяющее максимизировать или 

минимизировать  целевую функцию

1. F = C1X1+C2X2+…+ CnXn

при условиях

2.











+
+
+


+
+
+


+
+
+

.
...

.........
..........
..........
..........
..........

;
...

;
...

2
2
1
1

2
2
2
22
1
21

1
1
2
12
1
11

n
n
nn
n
n

n
n

n
n

b
X
a
X
a
X
a

b
X
a
X
a
X
a

b
X
a
X
a
X
a

3.  Х1≥0; Х2≥0; …; Хn≥0.

Это развернутая запись общей задачи линейного программирования.

Сокращенная запись этой модели имеет вид: 
Найти решение {Xj}, позволяющее максимизировать (минимизировать) 

функцию

(1)    
j

n

j

j X
C
F


=

=

1

при условиях 

(2) 

=



n

j

i
j
ij
b
Х
a

1

, i = 1,2,…,n; 

(3)   Xj ≥ 0, j = 1,2,…,n.

Вышеприведенные записи общей задачи линейного программирования 

называют аналитической формой записи.

Любое решение, удовлетворяющее условиям (2) и (3), называется 

допустимым решением. Допустимое решение систем неравенств (2) и (3), 
удовлетворяющее целевой функции (1), называется оптимальным решением. 
Такое решение единственно при заданных условиях.

Показатель, принимаемый в качестве цели решения задачи, называют 

критерием оптимальности. Различают народнохозяйственные и локальные 
критерии.

Нет единого народно-хозяйственного критерия. В качестве такого 

критерия используются различные макроэкономические показатели.

Локальные критерии — это критерии для отдельных звеньев народного 

хозяйства и хозяйственных объектов.

Этапы построения оптимизационных моделей в аналитической форме
Можно выделить следующие этапы построения оптимизационных

моделей:

формулировка задачи и выбор объекта;

определение перечня переменных;

определение перечня условий-ограничений;

информационное обеспечение модели;

математическая запись модели;

решение задачи на ЭВМ;

анализ результатов решения задачи;

принятие оптимального решения к реализации.

Матричная форма записи общей задачи линейного программирования

max(min)
→
= CX
F

при ограничениях AX≤B

X≥0, 

где С = (с1, с2,…, сn);

;
.........
..........

...
...

2
1

2
22
21

1
12
11



















=

mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A

















=

















=

3

2

1

3

2

1

;

b
b
b

B

x
x
x

X

С – матрица-строка
А – матрица системы
Х – матрица-столбец переменных

В – матрица-столбец свободных членов
Векторная форма записи общей задачи линейного программирования

F = CX → max (min)

при ограничениях

P
X
P
...
X
P
X
P
n
n

+
+
+
2
2
1
1

Х≥0,

где СХ – скалярное произведение векторов 

С = (С1, С2, …, Сn) и Х = (х1, х2, …, хn), 

векторы



















=



















=



















=



















=

m
mn

n

n

n

m
m
b

b
b

P

a

a
a

P

a

a
a

P

a

a
a

P
...
,
...
,...,
...
,
...

2

1

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

состоят соответственно из коэффициентов при переменных и свободных 
членов.

Теорема о допустимых решениях. Множество всех допустимых решений 

системы 
ограничений 
задачи 
линейного 
программирования 
является 

выпуклым. Это множество называется многогранником решений. 

Теорема 
об 
оптимальном 
решении. 
Если 
задача 
линейного 

программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция 
принимает max (min) значение в одной из угловых точек многогранника 
решений. Если линейная функция принимает max (min) значение более чем в 
одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся 
выпуклой линейной комбинацией этих точек (рис. 2.1.1.).

Рис. 2.1.1.

Теорема о допустимом базисном решении. Каждому допустимому 

базисному решению задачи линейного программирования соответствует 
угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке 
многогранника решений соответствует допустимое решение.

Х1

Х2
Х3

Хj
Хp

Х4
Х

Х1

Х2

2.2. Классические экономические задачи, решаемые методом 

линейного программирования

К классическим задачам оптимального типа относятся задачи, на основе 

которых создавалась теория оптимизационных моделей. К ним относятся 
задачи: ассортимента продукции, загрузки оборудования, рецептуры сырья, 
раскроя материалов, задача о перевозках (транспортная задача), размещения 
производства и др.

Задача ассортимента продукции формулируется следующим образом: на 

предприятии имеются различные виды сырья, из которых можно производить 
различные виды продукции. Известны: объем каждого вида сырья, нормы их 
расхода на производство каждого вида продукции, а также величины 
показателя, принятого за критерий оптимальности на единицу каждого вида 
продукции. 
Требуется 
составить 
оптимальный 
ассортиментный 
план, 

позволяющий предприятию максимизировать экономический эффект.

Пример задачи ассортимента продукции и методика ее построения 

приведена ниже. Поэтому ограничимся записью модели ассортимента 
продукции в сокращенном символическом виде: требуется разработать 
оптимальный ассортиментный план Xj позволяющий предприятию максимизировать экономический эффект

(min)
max

1

→
= 

=

j

n

j

j X
C
F

при условиях:

1) соблюдения ограничений по использованию сырья



=



n

j

i
j
ij
b
Х
a

1

*
;   i = 1,2,…n;

2) неотрицательности переменных Xj ; j=1,2,….,n,  

где Xj - искомый объем продукции j –го вида;

Сj - величина показателя, принятого за критерий оптимальности на 

единицу продукции j – го вида; 

ij
a - нормы расхода i –го вида сырья на производство продукции j-го вида;
bi – объем сырья i-го вида;
j – индекс видов продукции;
n – число видов продукции;
i – индекс видов сырья;
m – число видов сырья.

Задача 
загрузки 
оборудования 
(задача 
акад. 
Л.В. 
Канторовича) 

формулируется следующим образом: на предприятии имеются различные виды 
взаимозаменяемых машин, на которых можно выпускать различные виды 
продукции. Известны: фонд времени работы машин, производительность 
машин (или трудоёмкость продукции), потребность в продукции каждого вида, 
величины показателя, принятого за критерий оптимальности на единицу 
продукции каждого вида, производимой на каждой машине. Требуется 

составить оптимальный план загрузки машин, позволяющий предприятию 
максимизировать экономический эффект.

Рассмотрим численный пример. Пусть имеются три вида машин, на 

которых производится четыре вида продукции. Необходимая информация 
приведена ниже (см. таблицу 2.2.1).

Требуется составить оптимальный план загрузки машин, позволяющий 

минимизировать затраты на производство всей продукции.

Таблица 2.2.1

Виды 
машин

Виды продукции, производительность машин (т/час)

затраты на единицу продукции (тыс. руб./т)

Фонд времени 
работы машин, 

час
А
Б
В
Г

1
3,5/27,0
2,6/18,7
5,6/10,3
720

2
1,8/23,4
2,1/22,5
4,5/38,7
720

3
1,7/33,5
1,6/26,5
2,3/65,4
480

Потреб
ность в 
продук
ции, т.

1000
1200
1500
800

Примечания. В каждой клетке в числителе производительность машин, в знаменателе 

– затраты на единицу продукции

Определим перечень переменных:

Х11 - искомое время работы 1 –ой машины по производству продукции вида А, 

час.;

Х12,Х13 - тоже по продукции видов Б и В соответственно, час.;
Х22,Х23, Х24 – искомое время работы  2-го вида машин на производство 

продукции видов Б, В и Г соответственно, час.;

Х31,Х32 , Х34 – тоже для 3-го вида машин, час.

Определим перечень ограничений:

1,2,3 – ограничения на фонд времени работы машин 1-го,2-го и 3-го видов; 
4,5,6,7 – ограничения по удовлетворению потребности в продукции видов А, Б, 

В и Г.
В качестве критерия оптимальности по условию задачи выступает min

суммарных затрат на производство всей продукции.

Запишем экономико-математическую модель в аналитической форме:
Требуется составить оптимальный план загрузки машин 

{ Х11, Х12, …, Х34 }, позволяющий предприятию минимизировать затраты
F=27,0*3,5*X11+18,7*2,6*X12+……+65,4*23,4*Х34→min
при условиях:

Х11+Х12+Х13≤720;
Х22+Х23+Х24≤720;
Х31+Х32+Х34≤480;
3,5Х11+1,7Х13=1000;
2,6Х12+1,8Х22+1,6Х32 =1200;
5,6Х13+2,1Х23=1500;