Математические модели прикладной механики

В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин, И. В. Станкевич

Математические модели
прикладной механики

Допущено Учебно-методическим
объединением вузов по университетскому
политехническому образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
151600 «Прикладная математика»

УДК 517.9+536.2
ББК 22.311
З-35

Р е ц е н з е н т ы:
д-р физ.-мат. наук, профессор М. П. Галанин
д-р физ.-мат. наук, профессор А. В. Манжиров

З-35
Зарубин, В. С.
Математические модели прикладной механики : учебное пособие / В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин, И. В. Станкевич. — Москва :
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 279, [9] с. : ил.
ISBN 978–5–7038–4483–0

Изложены основы построения и анализа математических моделей
механических систем, идейное ядро которых составляют математические модели стержней, пластинок и оболочек, что позволяет строить
адекватные математические модели в виде совокупности соотношений,
достаточно полно и точно отражающих свойства и поведение сложных
конструкционных элементов современного технологического оборудования и машиностроения. Содержание учебного пособия соответствует
курсам лекций, читаемых в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов старших курсов, изучающих такие дисциплины, как
«Механика деформируемого твердого тела», «Теория упругости и пластичности», «Динамика и прочность машин», «Сопротивление материалов», «Теория оболочек», «Строительная механика конструкций», и аспирантов математических, физических, естественнонаучных кафедр университетов и технических вузов. Может быть полезно научным сотрудникам
и инженерам, занятым в области математического моделирования сложных процессов механического деформирования.

УДК 517.9+536.2
ББК 22.311

c⃝

c⃝
ISBN 978–5–7038–4483–0

Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н.,
Станкевич И. В., 2016
Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ

Посвящается памяти
Всеволода Ивановича Феодосьева
(1916–1991)

Движение и равновесие механических систем, конструктивные
элементы которых считают абсолютно жесткими или же сводят
к системе материальных точек, изучают в курсе теоретической механики [18]. Однако реальные элементы механических
систем под действием нагрузок подвержены деформированию,
что
приводит
к
необходимости
рассматривать
напряженнодеформированное состояние таких элементов, являющееся предметом изучения механики деформируемого твердого тела. Определение напряженно-деформированного состояния для любого
элемента конструкции — необходимый этап анализа его работоспособности, оценки долговечности и надежности.
Несмотря на многообразие конструктивных элементов механических систем, в большинстве случаев анализ напряженнодеформированного
состояния
этих
элементов
можно
свести
к сравнительно небольшому числу так называемых расчетных
схем, отражающих наиболее существенные особенности рассматриваемой конструкции, поведения ее материала и условий
ее нагружения. Одновременно при обосновании расчетной схемы
конкретного элемента конструкции следует аргументированно
отбросить факторы, несущественные для рассматриваемой ситуации. Такое упрощение необходимо, поскольку полный учет
всех свойств и особенностей реального элемента конструкции
принципиально невозможен вследствие их очевидной неисчерпаемости [38].
При решении многих прикладных задач, возникающих в инженерной практике, возможно рациональное упрощение расчет

Предисловие

ных схем, которое не приводит к потере достоверности результатов количественного анализа, но делает эти результаты
более ясными и удобными для интерпретации. Такие упрощенные расчетные схемы принято относить к разделу механики, обычно называемому прикладной механикой. В частности,
к ним относятся расчетные схемы, используемые в курсах сопротивления материалов и строительной механики различных
типов конструкций и сооружений. При этом один из основных приемов упрощения расчетных схем связан с принятием и обоснованием так называемых кинематических гипотез,
устанавливающих определенные ограничения на изменение геометрических характеристик элементов конструкции при их нагружении. В сочетании с использованием принципа возможных перемещений и анализом возможной работы приложенной
внешней нагрузки это позволяет выявить в расчетной схеме
рассматриваемой механической системы наиболее существенные свойства и пренебречь влиянием менее существенных.
Результатом такого упрощения являются широко используемые в прикладной механике расчетные схемы стержня (т´ела,
одно из измерений которого существенно больше двух других)
и оболочки (т´ела, толщина которого значительно меньше двух
других измерений). Если множество равноотстоящих от поверхностей оболочки точек, называемое срединной поверхностью,
принадлежит плоскости, то говорят о расчетной схеме пластины
(или пластинки, подчеркивая этим ее малую толщину по сравнению с двумя другими размерами).
Рассмотрение расчетных схем элементов конструкции механических систем является основным содержанием прикладной
механики и позволяет строить адекватные математические
модели в виде совокупности соотношений, достаточно полно и точно отражающих свойства и поведение таких элементов. Адекватные математические модели дают возможность
не только получить достоверную информацию о напряженнодеформированном состоянии элементов конструкции на стадии
проектирования технического устройства, но и выбрать рациональные режимы его эксплуатации, проанализировать предельно
допустимые значения его рабочих характеристик и вероятность

Предисловие
5

возникновения аварийных ситуаций. Именно построению и количественному анализу математических моделей прикладной механики посвящено данное учебное пособие.
Пособие состоит из семи глав, параграфы в которых имеют
двойную нумерацию (например, 2.3 — третий параграф во второй
главе). Ссылки в тексте на параграфы и главы набраны полужирным шрифтом (например, см. 1.3 или см. 2). Аналогично
пронумерованы формулы и рисунки (например, (3.4) — четвертая формула в третьей главе, рис. 1.6 — шестой рисунок в первой
главе).
Структура пособия отражает блочно-модульное построение
курса «Математические модели технических систем», занимающего ключевое место в профессиональном цикле подготовки
инженеров-математиков по специальности «Прикладная математика». Пособие содержит материал одного из разделов этого
курса, посвященного математическим моделям механических систем. Каждая глава соответствует блоку, а каждый параграф —
модулю, т. е. логически замкнутой порции материала, имеющей
самостоятельное значение при изучении курса. Модули и блоки тесно связаны между собой в теоретическом, методическом
и терминологическом отношениях. Эти связи поддержаны реализованным в пособии развитым справочным аппаратом.
В конце помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, содержащий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все введенные в пособии
и выделенные полужирным курсивом термины с указанием
страницы, на которой они определены или описаны. Выделение
термина светлым курсивом означает, что в данном параграфе он
отнесен к ключевым словам и для понимания излагаемого материала читателю должно быть известно его значение. Справочный
аппарат пособия дополнен помещенным после этого предисловия
списком основных обозначений, единиц измерения физических
величин и используемых сокращений. В этом списке наряду
с краткой расшифровкой обозначений указаны параграфы, где
они введены и более подробно объяснены.
Математическое моделирование невозможно без знания многих разделов математики. Это относится и к изучению матема

Предисловие

тических моделей прикладной механики, которое основано на
широком использовании междисциплинарных связей. Поэтому
перед работой с данным пособием необходимо в целях самоконтроля выполнить приведенные несложные задания. В конце
каждого задания имеется ссылка на книги из списка рекомендуемой литературы, в которых при возникновении затруднений
можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий курсивом, далее будем считать
известными (эти термины в основном тексте пособия не выделены и в предметный указатель не входят).

Задания для самопроверки

1. Что понимают под сплошной средой и твердым телом,
правилом суммирования по одинаковым латинским индексам?
Дайте определения первого и второго законов термодинамики. Какой тензор второго ранга можно привести к главным
осям? [13]
2. Дайте определения внутренней, граничной и предельной точек множества, открытого и замкнутого множеств
(соответственно открытой и замкнутой областей), замыкания множества и отображения множеств, функций возрастающей и взаимно однозначной, непрерывной и непрерывно
дифференцируемой, четной и нечетной. Что называют главной нормалью и бинормалью, кривизной, радиусом кривизны
и кручением пространственной кривой? Напишите формулу дифференциала длины дуги плоской кривой. [14, 17, 23]
3. Что такое модуль вектора, радиус-вектор, коллинеарные векторы, скалярное произведение векторов, скалярный
квадрат вектора, орты репера ортогональной системы координат, симметрическая, кососимметрическая, диагональная
и единичная матрицы, матрица-столбец, ранг матрицы, характеристическое уравнение квадратной матрицы? Перечислите аксиомы линейного пространства, скалярного умножения и нормы в таком пространстве. Что такое базис линейного
пространства? Запишите тривиальную линейную комбинацию
функций xn для n = 2, 5. Дайте определение евклидова пространства. В каком случае это пространство будет полным?

Предисловие
7

Какими свойствами обладают собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы? При каком условии однородная система линейных алгебраических уравнений
имеет нетривиальное решение? [15, 16]
4. Что называют частной производной и производной по
направлению функции многих переменных? Что понимают под
внешней нормалью к кривой или поверхности, ограничивающим некоторую область? Как записать формулу дифференциала
площади гладкой поверхности и что такое линия кривизны
на такой поверхности? Какую поверхность называют минимальной? [7, 17]
5. Сформулируйте свойства определенного интеграла с переменным верхним пределом. Что называют кратным (в том
числе двойным и тройным), криволинейным и поверхностным интегралами, скалярным и векторным полями? Напишите
формулы Остроградского — Гаусса и Стокса. Как представить
дифференциальные операторы Гамильтона и Лапласа в ортогональной системе координат? [7, 11]
6. В чем различие между общим и частным решениями
обыкновенного дифференциального уравнения? Запишите частичную сумму и остаток ряда Тейлора. В чем различие между ортогональной и ортонормированной системами функций.
Как найти коэффициенты Фурье при разложении на отрезке непрерывной функции в тригонометрический ряд Фурье?
Каковы признаки дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов? К какому из этих типов относят
уравнения Лапласа и Пуассона? [1, 5, 6, 21]
7. Дайте определение главного вектора и главного момента
системы сил, действующих на твердое тело. [18]
8. Что понимают под математическим моделированием
применительно к техническим устройствам и каковы его основные этапы? Какую роль играют математические модели
в естественно-научных и инженерных дисциплинах? Каковы
структура и свойства математических моделей? Приведите их
классификацию. [12]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

♦
— окончание примера
1.1
x ∈ X
— элемент x принадлежит множеству X (например,
M ∈V — точка M принадлежит телу, занимающему
область V или имеющему объем V)
1.1
n = 1, N
— число n ∈ N принимает последовательно все значения из множества N натуральных чисел от 1 до N
включительно
2.1
∪
— символ операции объединения множеств
2.2

∩
— символ операции пересечения множеств
2.2

V ′ ⊂V
— подмножество V ′ включено в множество V
(V включает V ′)
1.1
Ss ⊆ S
— подмножество Ss включено в множество S
или совпадает с ним
2.2
∀
— квантор всеобщности (∀x — для любого x)
2.2
| · |
— абсолютное значение числа или модуль вектора
1.2
0
— нулевой вектор
1.2
a · b
— скалярное произведение векторов a и b
1.2
det(·)
— определитель квадратной матрицы
1.2
∇
— дифференциальный оператор Гамильтона
3.4

∇2
— дифференциальный оператор Лапласа
Д.2.3
[a, b]
— отрезок с концами в точках a, b ∈ R
2.3
(a, b)
— интервал с концами в точках a, b ∈ R
2.3
A
— работа силовых факторов
2.1
b
— вектор плотности объемных сил
1.1
bi
— проекции вектора плотности объемных сил
на координатные оси Oxi, i = 1, 2, 3
2.2
E
— продольный модуль упругости (модуль Юнга)
1.4

Основные обозначения
9

ei
— орты
репера
ортогональной
системы
координат
(i = 1, 2, 3)
1.2
eijk
— символ Леви-Чивиты (i, j, k = 1, 2, 3)
Д.2.1

F
— площадь поперечного сечения
1.4
g
— вектор ускорения свободного падения
1.1

Ijε
— j-й инвариант тензора деформации (j = 1, 2, 3)
1.3
Ijσ
— j-й инвариант тензора напряжений (j = 1, 2, 3)
1.3
I2
— единичная матрица третьего порядка, соответствующая единичному тензору второго ранга с компонентами δij, i, j = 1, 2, 3
1.2
Jk
— осевой момент инерции сечения относительно координатной оси Oxk, k = 1, 2
Д.2.1
Jк
— геометрический параметр сечения, пропорциональный жесткости стержня при его кручении
Д.2.1
Jp
— полярный момент инерции сечения
Д.2.1
L
— длина
1.4
M
— вектор момента силы
Д.2.1
n
— единичный вектор нормали к поверхности
или к кривой
1.1
ni
— проекции единичного вектора нормали на координатные оси Oxi, i = 1, 2, 3
1.2
nр
— коэффициент запаса по прочности
2.3

nт
— коэффициент запаса по текучести
1.5

Oxi
— оси ортогональной системы координат (i = 1, 2, 3) 1.2
P
— вектор силы
1.1
P
— модуль вектора силы
2.3
p
— вектор плотности поверхностных сил
1.1

p
— давление
1.1

Q
— вектор силы в поперечном сечении
Д.2.1
r
— радиус кривизны осевой линии стержня
Д.2.1
r1, r2
— главные радиусы кривизны поверхности
Д.2.3
S
— поверхность или ее площадь
1.1

Основные обозначения

Sξk
— статический момент площади сечения относительно
координатной оси Oξk, k = 2, 3
Д.2.1
s
— девиатор напряжений
1.2
t
— время
1.3
U
— объемная плотность потенциальной энергии деформации
1.4
Uф
— объемная плотность потенциальной энергии формоизменения
1.5
u
— вектор перемещения
1.3

ui
— проекции вектора перемещения на оси Oxi ортогональной системы координат (i = 1, 2, 3)
1.3
V
— пространственная область или ее объем
1.1
W
— потенциальная энергия деформации
5.3
w
— прогиб мембраны или другого деформируемого элемента
Д.2.3
Γ
— контур, ограничивающий плоскую область
Д.2.3
δij
— символ Кронекера (i, j = 1, 2, 3)
1.2
γ
— угловая деформация
1.3

ε
— линейная деформация
1.3

ε
— тензор деформации
1.3
εij
— компоненты тензора деформации (i, j = 1, 2, 3)
1.3

κ
— 1) объемный модуль упругости (модуль всестороннего сжатия)
1.4;
2) кривизна осевой линии
Д.2.1
κ1, κ2
— главные кривизны поверхности
Д.7.3

κ
— кручение осевой линии
Д.2.1
µ
— модуль сдвига
1.4

ν
— коэффициент поперечного сужения (коэффициент
Пуассона)
1.4
ρ
— плотность материала тела
1.1

σ
— нормальное напряжение
1.2