Компьютерное моделирование линейных электрических цепей постоянного тока

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Э. П. Макаров

КоМПьютерное МоДеЛИроВАнИе 
ЛИнеЙнЫХ ЭЛеКтрИЧеСКИХ ЦеПеЙ 

ПоСтоЯнноГо тоКА

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлению подготовки 
14.05.02 «Атомные станции: проектирование, 
эксплуатация и инжиниринг»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.211.51я73
          М15

Рецензенты:
кафедра математики и информатики ФГБОУ ВО «Уральский институт государственной противопожарной службы МЧС России» (профессор, д‑р 
физ.‑мат. наук И. А. Кайбичев);
ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН 
д‑р физ.‑мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Научный редактор — д‑р техн. наук, проф. С. Е. Щеклеин

 
Макаров, Э. П.
М15    Компьютерное моделирование линейных электрических цепей постоянного тока : учебное пособие / Э. П. Макаров ; М‑во науки и высш. обр. 
РФ. — Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2021. — 242 с.

ISBN 978‑5‑7996‑3329‑5

Пособие включает теоретические сведения, алгоритмы и примеры для освоения процедур решения задач анализа электрических цепей постоянного тока на основе новых информационных технологий математического моделирования и схемотехнического проектирования. Дидактический материал в пособии достаточно 
структурирован и иллюстрирован, содержит необходимую справочную информацию по актуальным версиям пакетов программ.
Работа предназначена для студентов всех форм обучения по дисциплине «Электротехника».

Библиогр.: 5 назв. Рис. 69. Табл. 3. Прил. 1.

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.211.51я73

ISBN 978‑5‑7996‑3329‑5 
© Уральский федеральный

 
     университет, 2021

Введение

Н

овые информационно‑коммуникационные технологии 
становятся эффективным инструментом интенсификации учебного процесса, достижения студентами некоторого уровня профессиональной компетенции в области компьютерного 
моделирования электротехнических устройств. В учебном пособии изложен дидактический материал для формирования у студента необходимых знаний основных принципов и законов, а также методов анализа линейных электрических цепей постоянного тока (ЭЦ) в процессе 
обучения в учебной аудитории, а также дистанционно с использованием персональной ЭВМ. Для текущего самоконтроля студентом достигнутого уровня знаний в пособие включены контрольные вопросы по математическому описанию процессов и методам анализа ЭЦ, 
на которые даны ответы со ссылками на страницы пособия.
Эффективность применения ЭВМ в учебном процессе не может 
быть достигнута на основе только компьютеризации расчетов ЭЦ 
с помощью методов и средств «электротехнического калькулятора». 
Современные информационные технологии на основе программных 
средств математического моделирования и схемотехнического проектирования как инструментов учебного процесса создали технологическую основу для перехода к использованию в учебном процессе 
методов компьютерного информационного моделирования (ИМ). 
Технология компьютерного ИМ — системный метод создания и использования компьютерных информационных моделей в учебном 
процессе.
В учебном пособии рассматриваются вопросы компьютерного ИМ 
объектов и процессов ЭЦ постоянного тока как метод решения задачи анализа в курсе «Электротехника» по программе неэлектрического профиля подготовки специалистов. Все методы анализа основаны 
на понятиях о компонентных и топологических матрицах и уравнениях, обобщенном законе Ома и законах Кирхгофа в матричной форме. 

Введение

В формулах определения численного значения величин сопротивления, напряжения, тока, мощности все переменные имеют размерность.
Моделями в курсе «Электротехника» являются эквивалентные схемы замещения ЭЦ постоянного тока и ее элементы: источники электрической энергии (напряжения, тока), резисторы.
Учебное пособие ориентировано на применение пакетов прикладных программ Mathcad 15 и NI Multisim 14.0 для проведения 
компьютерного ИМ. Математическое моделирование эквивалентной схемы замещения ЭЦ выполняется в пакете Mathcad 15, а в пакете NI Multisim 14.0 — экспериментальная проверка правильности 
расчетов на собранной схеме модели ЭЦ (виртуальный лабораторный практикум).
В состав Mathcad 15 (Mathcad) входит несколько интегрированных 
между собой программных компонентов, сочетание которых создает 
удобную среду для компьютерного математического моделирования:
• 
мощный текстовый редактор для ввода математических выражений, правки как формул, так и текста;
• 
вычислительный процессор для проведения математических 
расчетов с использованием встроенных численных методов;
• 
графический редактор для визуализации результатов математического моделирования в виде встроенных в документы графиков и диаграмм различных типов с возможностями 
форматирования, не уступающий по многим параметрам специализированным программам;
• 
подготовка отчетов работы в виде печатных документов.
В пакете NI Multisim 14.0 (Multisim) предоставляется инструмент 
для виртуального лабораторного практикума и проверки на практике 
правильности результатов анализа ЭЦ, полученных методом математического моделирования в среде Mathcad. В виртуальном лабораторном 
практикуме выполняется следующая последовательность операций:
• 
осуществляется сборка электрической схемы замещения в виртуальном наборном поле на основе принципиальной схемы 
моделируемого устройства с помощью встроенного редактора 
(нужные компоненты копируются с инструментальных панелей компонентов на наборное поле и соединяются проводниками);
• 
устанавливаются значения параметров компонентов электрической схемы (резисторов, источников энергии);

• 
подключаются пиктограммы измерительных инструментов 
(индикаторов, виртуальных приборов), на лицевых панелях 
которых отображаются результаты измерений;
• 
программа Multisim запускается в режиме моделирования;
• 
регистрируются результаты анализа ЭЦ по показаниям виртуальных измерительных индикаторов и приборов, графикам 
вольтамперных характеристик элементов цепи, которые можно сохранить для документирования.
Программные продукты Mathcad и Multisim доступны для свободного скачивания на срок до 30 дней для студентов и преподавателей 
университетов на сайтах фирм (www.PTS.com и www.ni.com).
Учебное пособие написано автором на основании опыта преподавания учебной дисциплины «Электротехника и электроника» в Уральском федеральном университете имени первого Президента России Б. Н. Ельцина.
Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения 
по направлениям подготовки специалитета 14.05.02 «Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг» специализации 
«Проектирование и эксплуатация атомных станций»; бакалавриата 
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» и может быть использовано для самостоятельной работы в программных средах Mathcad 
15 и Multisim 14.0 в учебной аудитории, а также на персональном компьютере студента в процессе дистанционного обучения.
Автор выражает глубокую благодарность научному редактору профессору С. Е. Щеклеину за ряд полезных замечаний, которые были 
учтены.

Глава 1.  
Элементы и параметры  
линейных электрических цепей

1.1. Основные понятия и определения

1.1.1. Электрическая цепь. Схема электрической цепи
Э

лектрическая цепь (ЭЦ) — это совокупность соединенных 
друг с другом устройств и объектов, образующих путь для 
электрического тока, электромагнитные процессы в которых 
могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, 
электрическом токе и электрическом напряжении [2, с. 15]. Термины 
и определения основных понятий в области электротехники установлены ГОСТ Р 52002–2003 и являются обязательными для всех видов 
документации по электротехнике*.
Электрическая цепь предназначена для передачи, преобразования 
и использования электрического тока в электрических и информационных системах. ЭЦ состоит из двух составных элементов: источника 
электрической энергии и приемника, которые выполняют определенные функции. Источники энергии (активные элементы), например, 
аккумуляторы, гальванические элементы и др. преобразуют различные виды энергии в электрическую.
Преобразование электрической энергии в другие виды: тепловую 
(нагрев элементов), механическую (электрические двигатели) происходит в приемниках электрической энергии (пассивные элементы). 
Совместная работа источника и приемника электрической энергии 

* ГОСТ Р 52002‑20031 «Электротехника. Термины и определения основных понятий». — М. : Госстандарт России, 2003.

1.1. Основные понятия и определения

возможна при наличии движения заряда между ними в соединительных проводах.
Для подключения к остальной части цепи каждый элемент цепи 
имеет два внешних вывода (зажимы, полюса). Двухполюсник — это участок электрической цепи, состоящий из одного или нескольких элементов и подключенный к остальной части цепи двумя проводами 
[1, с. 61]. ЭЦ содержит разнообразные двухполюсные элементы: источники питания (генерирующие электромагнитную энергию); резистивные элементы (приемники, преобразующие электромагнитную 
энергию в другие формы), измерительные приборы. Двухполюсник, 
который не содержит источников электрической энергии, относится 
к пассивным источникам. Если на участке ЭЦ имеется источник электрической энергии, то такой двухполюсник относится к активным. 
Каждый элемент ЭЦ полностью характеризуется зависимостью напряжения от тока на его зажимах (вольтамперной характеристикой).
Электрические цепи принято изображать в виде электрических 
схем. Схема ЭЦ — это ее графическое изображение, содержащее условные обозначения элементов цепи и показывающее соединение этих 
элементов (рис. 1.1) [2, с. 19].

! 
a

b

Uab 

I

E

r
R 

RV
 
RA

A

V

S

+

ꟷ
Ac

                                             а                                                   б

Рис. 1.1. Схемы электрической цепи постоянного тока

Принципиальная схема ЭЦ (виртуальная схема) — это графическое 
изображение реальной электрической цепи, на котором с помощью 
условных изображений показаны все электрические элементы, измерительные устройства и их соединения, как изображено на рис. 1.1, а. 
Элементы на схеме изображаются в виде условных графических обозначений, установленных в стандартах ЕСКД, и имеют буквенно‑циф

Глава 1. Элементы и параметры линейных электрических цепей  

ровые позиционные обозначения. В учебном пособии виртуальные 
схемы используются в компьютерном схемотехническом моделировании и анализе ЭЦ в программной среде Multisim.
При анализе ЭЦ ее заменяют схемой замещения (рис. 1.1, б). Схема 
замещения ЭЦ — это графическое изображение, в котором реальные 
элементы ЭЦ заменены в рамках решаемой задачи расчетно-математическими моделями и исключены все вспомогательные элементы, 
не влияющие на результаты расчета (измерительные приборы, выключатели, разъемы, предохранители и т. п.). При этом реальные элементы заменяются их упрощенными моделями (идеализированными элементами). Процессы, которые имеют место внутри идеализированных 
элементов, не рассматриваются [2, с. 19].
Схема замещения (см. рис. 1.1, б) содержит идеализированные активные элементы (источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ)) 
и пассивные (резистивные (R)). Схема замещения ЭЦ непосредственно рассматривается как информационная модель. Если параметры всех 
элементов схемы замещения известны, то, применив законы электротехники, можно использовать математическое моделирование и информационные технологии для анализа электромагнитных процессов 
на ЭВМ. В учебном пособии расчетно‑математические модели ЭЦ 
используются в компьютерном математическом моделировании ЭЦ 
в программной среде Mathcad.
Резистивной цепью называется ЭЦ, которая содержит источники 
постоянного напряжения и тока. Рассматриваются различные варианты соединения элементов ЭЦ: последовательное, параллельное, смешанное. При этом в структуре схемы замещения ЭЦ образуются узловые 
точки (узлы) и замкнутые контуры. Токи и напряжения резистивной 
цепи с источниками постоянного напряжения и тока будем обозначать прописными латинскими буквами I и U.

1.1.2. Величины, характеризующие состояние ЭЦ постоянного тока

Электрический ток проводимости (ток переноса) представляет направленное движение свободных носителей электрических зарядов 
под действием электрического поля. Прохождение электрического 
тока в цепи обусловлено потреблением энергии источника электрической энергии, которая передается движущимся зарядам [2, с. 15–16].

1.1. Основные понятия и определения

Постоянный электрический ток (принято обозначать I) это неизменное и однонаправленное движение заряженных частиц (зарядов) 
в соединительных проводниках и внешних выводах (зажимах) элементов ЭЦ. При постоянном токе в течение каждого одинакового промежутка времени Δt под действием электрического поля через какую‑то 
поверхность (поперечное сечение проводника) при неизменных параметрах ЭЦ переносится одинаковое количество заряда Δq. Количественно ток равен отношению суммарного заряда, перенесенного за промежуток времени длительности t через поперечное сечение участка ЭЦ: 
I = q/t. В системе единиц (СИ) единица измерения тока — ампер (А).
Электрический ток является скалярной алгебраической величиной, 
каждое значение которой может быть выражено одним числом (действительным или комплексным). Знак величины тока зависит от направления движения условно принятого положительного заряда (противоположно направлению движения электронов). Если такое направление 
неизвестно, то для однозначного определения тока в любой ветви 
во внешней от источника электрической энергии цепи достаточно 
произвольно выбрать одно из двух возможных направлений, считать 
его положительным направлением и отметить стрелкой на схеме замещения ЭЦ (см. рис. 1.1, б). Токи в некоторых ветвях могут получиться 
отрицательными после расчета цепи по постоянному току. Это означает, что действительное направление тока в ветви противоположно 
выбранному произвольно.
Электродвижущая сила (ЭДС) — это характеристика источника 
электрической энергии. ЭДС может быть определена как работа сторонних сил, которая затрачивается на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. При этом сторонними силами 
создается электрическое поле с напряженностью Е, которое действует на заряженные частицы, разделяя их таким образом, что на одном 
зажиме (положительном, обозначаемом знаком «+») источника скапливаются положительные заряды, а на другом (отрицательном, обозначаемом знаком «–») — отрицательные. Источником энергии для 
получения ЭДС могут быть различные физические явления, обусловленные неэлектромагнитными при макроскопическом рассмотрении 
процессами, например электрохимическими в гальванических элементах. Энергия процессов, вызывающих эти сторонние силы, преобразуется в электрическую энергию. Носители положительного заряда через 

Глава 1. Элементы и параметры линейных электрических цепей  

источник энергии перемещаются в направлении противоположном направлению действия сил электрического поля — от зажима источника 
с более низким потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом.
ЭДС (обозначаемая Е) — скалярная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения положительных зарядов 
внутри источника, т. е. с направлением тока. Это направление указывают стрелкой в условном изображении источника энергии на схеме 
замещения (см. рис. 1.1, б).
ЭДС численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), которая 
затрачивается электрическим полем на перемещение единичного заряда (1 Кл) из одной точки поля в другую. В системе единиц (СИ) единица измерения ЭДС — В (вольт):

 
[E] = [W]/[q] = Дж/Кл = (В · А · с)/(А · с) = В.

Независимо от природы сторонних сил ЭДС источника энергии 
численно равна электрическому напряжению между зажимами источника при отсутствии в нем тока (режим холостого хода) [2, с. 18].
Потенциал электрический (ja) отдельной точки (a) равен работе 
по перемещению единичного положительного заряда (1 Кл) из данной точки в бесконечность, где нет электрического поля.
Напряженность (вектор) электрического поля (E), численно равна отношению силы, действующей на заряженную частицу к значению ее заряда. Из этого определения получают единицу напряженности в системе единиц (СИ):

 
[H]/[Кл] = (В · А · с/м)/(А · с) = В/м.

Разность потенциалов (электрическое напряжение) между двумя 
точками a и b всегда можно определить, если принять потенциал одной из точек (b) за точку отсчета, т. е. нуль.
Для характеристики электрического напряжения вдоль некоторого участка ЭЦ употребляют термин падение напряжения. Единицей напряжения U потенциала ja в системе единиц (СИ) является вольт (В) 
[2, с. 17].
Электрическое напряжение — это работа, затрачиваемая на то, чтобы перенести единицу заряда (1 Кл) из данной точки a в точку b поля 

с напряженностью E по произвольному пути ab (
)
E

a

b

dl
∫
.