Теория автоматического управления

Министерство науки и высшего образования  
Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 
Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин,  
С. П. Трофимов, А. А. Юрлова
Теория авТомаТического  
управления
Учебник 
Рекомендовано методическим советом  
Уральского федерального университета 
для студентов вуза, обучающихся по направлению подготовки 
27.03.04 — Управление в технических системах
Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 
2019 

УДК 681.5.011(075.8)
ББК 32.965-01я73
          Т33
Серия «Учебник УрФУ» основана в 2017 году
Редакционная коллегия серии: 
доц., канд. техн. наук Е. В. Вострецова; доц., канд. техн. наук В. Г. Коберниченко; И. Ю. Плотникова (ответственный редактор серии)
Авторы: Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, 
А. А. Юрлова
Рецензенты:
кафедра информатики Уральского государственного горного университета (завкафедрой канд. техн. наук, доц. А. В. Дружинин); 
проф., д-р техн. наук В. В. Побединский (кафедра сервиса и технической эксплуатации транспортных технологических машин Уральского  государственного лесотехнического университета 
Научный редактор — канд. техн. наук А. В. Цветков
На обложке используется изображение с сайта https://www.insys-icom.com/
Т33
Теория автоматического управления : учебник / Е. Э. Страшинин, 
А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, А. А. Юрлова ; Мин-во науки 
и высш. образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2019. — 456 с. — (Учебник УрФУ).
ISBN 978-5-7996-2788-1
Предлагаемый учебник основан на лекциях двухсеместрового курса «Теория автоматического управления», читаемого в Департаменте автоматики и информационных технологий Уральского федерального университета. Первая часть посвящена линейным непрерывным системам управления, 
вторая — нелинейным системам управления, третья — цифровым системам 
управления.
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению 
подготовки 27.03.04 — Управление в технических системах.
УДК 681.5.011(075.8)
ББК 32.965-01я73
ISBN 978-5-7996-2788-1
© Уральский федеральный 
      университет, 2019

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Введение в теорию автоматического управления . . . . . . . . . . . .
14
I
Линейные непрерывные системы управления
33
Глава 1. Методы анализа непрерывных систем . . . . . . . . .
35
Ÿ 1.1. Понятие пространства состояний. . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Ÿ 1.2. Линеаризация исходных уравнений . . . . . . . . . . . . . . .
37
Ÿ 1.3. Линейные системы, заданные обыкновенными
дифференциальными уравнениями в нормальной форме
Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.3.1
Однородные дифференциальные уравнения . . .
47
1.3.2
Решение неоднородных векторно-матричных
дифференциальных уравнений
. . . . . . . . . .
52
Ÿ 1.4. Некоторые сведения из теории матриц . . . . . . . . . . . .
53
1.4.1
Собственные числа, характеристический
полином, присоединенная матрица . . . . . . . .
53
1.4.2
Собственные значения и собственные
векторы транспонированной матрицы . . . . . .
58
1.4.3
Определение функции от матрицы через
ее левые и правые собственные векторы . . . . .
62
Ÿ 1.5. Свойства движений линейных систем . . . . . . . . . . . . .
67
1.5.1
Матричная весовая и переходная функции . . .
67
1.5.2
Модальная (спектральная) интерпретация
решения векторно-матричных дифференциальных
линейных стационарных уравнений . . . . . . . .
73
3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ÿ 1.6. Модели стационарных линейных систем
в комплексной плоскости на основе преобразования Лапласа
75
1.6.1
Матрица передаточных функций . . . . . . . . .
75
1.6.2
Основные свойства передаточных функций . . .
81
Ÿ 1.7. Комплексный передаточный коэффициент . . . . . . . . .
85
1.7.1
Способы определения понятия
¾комплексный передаточный коэффициент¿ . .
85
1.7.2
Реакция динамических звеньев
на гармонические воздействия
. . . . . . . . . .
87
1.7.3
Частотные характеристики
. . . . . . . . . . . .
89
Ÿ 1.8. Графическое представление объектов и систем
управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1.8.1
Соглашение об обозначениях
. . . . . . . . . . .
91
1.8.2
Структурные схемы и графы стационарных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Ÿ 1.9. Устойчивость систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.9.1
Асимптотические свойства собственного движения
и весовой матрицы линейной системы . . . . . . 107
1.9.2
Необходимое условие устойчивости . . . . . . . . 111
1.9.3
Критерий устойчивости Гурвица . . . . . . . . . 112
1.9.4
Частотный критерий устойчивости
(критерий Найквиста)
. . . . . . . . . . . . . . . 116
Ÿ 1.10.Качество процессов управления . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.10.1 Основные показатели качества
. . . . . . . . . . 129
1.10.2 Ошибки системы регулирования в установившихся режимах. Статические и астатические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.10.3 Точность систем при отработке гармонических
сигналов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.10.4 Связь между логарифмическими
амплитудно- частотными характеристиками
и качеством переходных процессов в САУ . . . . 140
1.10.5 Соотношение масштабов во временной
и частотной областях . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ÿ 1.11.Интегральные критерии качества с позиций
общности задач оптимального и модального синтеза . . . . . . 145
Глава 2. Методы синтеза непрерывных систем . . . . . . . . . 151
Ÿ 2.1. Выбор корректирующих звеньев. Метод желаемых
ЛЧХ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Ÿ 2.2. Управляемость линейных стационарных систем . . . . . 155
Ÿ 2.3. Наблюдаемость линейных стационарных систем . . . . . 159
Ÿ 2.4. Замена базиса в линейном конечномерном
пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ÿ 2.5. Линейные операторы и матрицы линейных
операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Ÿ 2.6. Замена базиса в пространстве состояний
динамической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ÿ 2.7. Вычисление матрицы преобразования базиса
в пространстве состояний динамической системы
с помощью матриц управляемости и наблюдаемости . . . . . . 176
Ÿ 2.8. Канонические представления систем . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8.1
Управляемое каноническое представление системы со скалярным входом . . . . . . . . . . . . . . 179
2.8.2
Передаточная функция и структурная схема
для системы в УКП . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
2.8.3
Идентификационное каноническое представление
системы с одним (скалярным) выходом . . . . . 187
2.8.4
Передаточная функция и структура
для системы в ИКП . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Ÿ 2.9. Обратная связь по состоянию, обеспечивающая
заданное (желаемое) расположение собственных чисел
в замкнутой системе с одним (скалярным) входом . . . . . . . . 189
Ÿ 2.10.Синтез управления в многомерной системе. Задача
разделения каналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2.10.1 Разделение исходного объекта на подсистемы
интеграторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
2.10.2 Преобразование базиса в пространстве Rn . . . . 198
2.10.3 Формирование управления
. . . . . . . . . . . . 204
2.10.4 Итоговый алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ÿ 2.11.Основы построения идентификаторов состояния
(наблюдателей). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.11.1 Наблюдатель Люенбергера полного порядка
. . 210
2.11.2 Наблюдатель пониженного порядка
. . . . . . . 217
2.11.3 Наблюдатель Люенбергера минимального порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Ÿ 2.12.Синтез реализуемого управления, обеспечивающий заданные динамические и статические свойства системы
управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2.12.1 Динамические свойства системы с обратной связью и наблюдателем полного порядка . . . . . . 224
2.12.2 Динамические свойства системы
с обратной связью и наблюдателем
минимального порядка . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.12.3 Результирующий алгоритм синтеза для системы
с одним входом и одним выходом . . . . . . . . . 227
2.12.4 Итоговые примеры полного синтеза
систем управления
. . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.12.5 Система со скалярными входом и выходом
и наблюдателем минимального порядка . . . . . 233
2.12.6 Многомерная система с разделением каналов
и наблюдателем минимального порядка . . . . . 238
II
Нелинейные системы управления
249
Глава 3. Элементы теории нелинейных систем . . . . . . . . . 251
Ÿ 3.1. Метод фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.1.1
Фазовая плоскость. Основые понятия
. . . . . . 253
3.1.2
Фазовые портреты линейного звена второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
3.1.3
Особые траектории на фазовой плоскости . . . 267
3.1.4
Методы построения фазовых траекторий . . . . 275
3.1.5
Методы определения основных показателей
переходного процесса по фазовым траекториям
системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6

ОГЛАВЛЕНИЕ
3.1.6
Фазовые портреты релейных схем. Многолистная фазовая плоскость . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.1.7
Понятие о системах с переменной структурой . 289
Ÿ 3.2. Анализ нелинейных систем методом гармонического
баланса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.2.1
Гармоническая линеаризация нелинейных звеньев. Эквивалентный комплексный передаточный коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
3.2.2
Математические модели нелинейных звеньев
. 305
3.2.3
Построение областей устойчивости методом Дразбиений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
3.2.4
Построение области устойчивости в плоскости
одного комплексного параметра методом Д-разбиений308
3.2.5
Определение устойчивости и параметров
периодических режимов . . . . . . . . . . . . . . 313
3.2.6
Режим вынужденных колебаний . . . . . . . . . 323
III
Цифровые (импульсные) системы управления
327
Глава 4. Основы теории импульсных систем
автоматического управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Ÿ 4.1. Исходные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Ÿ 4.2. Идеальный импульсный элемент и формирующее звено
330
Ÿ 4.3. Уравнения движения ИСАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.3.1
Аналитическое решение разностных
уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
4.3.2
Прямой метод решения разностных уравнений
в реальном времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.3.3
Алгоритмические схемы. Векторно-матричные
разностные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . 348
Ÿ 4.4. Дискретное преобразование Лапласа. . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.1
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.2
Модифицированное z-преобразование
. . . . . . 355
4.4.3
Основные свойства дискретного преобразования
Лапласа и z-преобразования . . . . . . . . . . . . 355
7

ОГЛАВЛЕНИЕ
4.4.4
Передаточная функция импульсной системы
(Дискретная передаточная функция)
. . . . . . 357
Ÿ 4.5. Особенности структурных преобразований
в импульсных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.5.1
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . 361
4.5.2
Система с единичной отрицательной
обратной связью
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
4.5.3
Наличие последовательно соединенных
непрерывных звеньев . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.5.4
Последовательно соединенные дискретные
звенья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.5.5
Встречно-параллельное соединение
динамических звеньев
. . . . . . . . . . . . . . . 365
Ÿ 4.6. Частотные характеристики импульсных систем. . . . . . 367
4.6.1
Понятие об амплитудно-фазовых характеристиках
импульсных систем (годографы z-преобразований)367
4.6.2
Основные особенности частотных функций
импульсных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4.6.3
Расчет частотных характеристик
импульсной системы на основании
частотных характеристик приведенной
непрерывной части . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4.6.4
Особенности спектров сигналов в ИСАУ
. . . . 376
Ÿ 4.7. Анализ устойчивости импульсных систем . . . . . . . . . . 381
4.7.1
Характеристический полином дискретной замкнутой системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.7.2
Исследование устойчивости импульсных систем
по корням характеристического уравнения . . . 383
4.7.3
Частотный критерий устойчивости . . . . . . . . 393
Ÿ 4.8. Билинейное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.8.1
Сопоставление плоскостей комплексных
переменных p, z, p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.8.2
Псевдочастотные характеристики. Псевдочастотный синтез ИСАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ÿ 4.9. Синтез линейной ИСАУ с максимальным
быстродействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
4.9.1
Система со всеми нулевыми полюсами
как фильтр с конечной памятью
. . . . . . . . . 408
4.9.2
Синтез системы с максимальным
быстродействием
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Ÿ 4.10.Векторно-матричное описание непрерывных
объектов с дискретным управлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
4.10.1 Системы с цифроаналоговым
преобразователем нулевого порядка
. . . . . . . 416
4.10.2 Импульсный элемент с укороченным импульсом 418
4.10.3 Система с цифроаналоговым преобразователем
нулевого порядка с задержкой в выдаче управления
(относительно момента измерения) . . . . . . . . 420
4.10.4 Импульсные системы с кратными частотами
квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Ÿ 4.11.Дополнительная информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
4.11.1 Дискретный аналог формулы Коши . . . . . . . 433
4.11.2 Обеспечение единичной статики при синтезе
дискретной системы без введения дополнительного
интегратора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Ÿ 4.12.Применение теории импульсных систем
к построению алгоритма ДПФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
4.12.1 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
. . . 437
4.12.2 Понятие о ДПФ на скользящем интервале времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
4.12.3 Рекуррентные соотношения для вычисления
коэффициентов ДПФ в реальном масштабе времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
4.12.4 Реализация рекуррентного алгоритма . . . . . . 445
Ÿ 4.13.Основные соотношения между спектральными
характеристиками непрерывных и дискретных сигналов . . . 448
4.13.1 Исходные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . 448
4.13.2 Связи (соотношения) . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
9

ОГЛАВЛЕНИЕ
10