Отдельные вопросы механики сплошной среды

С. АА. Дон

Отдельные вопросы механики 
сплошной среды

нских,

Москв
Берли

2020

В. Н. С

ва 
ин 
0 

Сёминн 

УДК 622.24.026.3.001.5(022)
ББК 33.131 
        Д67 

Донских, С. А. 

Д67 
 
Отдельные вопросы механики сплошной среды / С. А. Донских, 
В. Н. Сёмин.  — 2-е изд. — Москва ;   Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 
95 с. 

ISBN 978-5-4499-1200-8 

В книге с единых позиций механики сплошных сред, термодинамики и 
физической кинетики рассмотрены механические процессы в твёрдых, жидких и 
порошковых системах. Особый упор сделан на вопросы кинетики спекания и 
припекания порошковых слоёв в связи с существующими технологиями нанесения 
на детали машин защитных покрытий. Показана роль и взаимодействие 
активирующих спекание факторов. 
Книга предназначена для научных и научно-технических работников, 
занимающихся вопросами повышения надёжности и долговечности машин, а также 
может 
использоваться 
как 
учебное 
пособие 
для 
студентов 
физических 
специальностей вузов.  

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 622.24.026.3.001.5(022)
ББК 33.131

ISBN  978-5-4499-1200-8 
© Донских С. А., Сёмин В. Н., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
5 
ГЛАВА 1 
6 
§1. Тензор деформаций. Его инварианты. Разложение на девиаторную и 
шаровую компоненты 
6 
§2. Тензор напряжений. Инварианты тензора напряжений. Уравнения 
равновесия сплошного тела 
8 
§3. Термодинамические состояния для деформированного сплошного тела. 
Обобщённый закон Гука 
10 
§4. Однородные деформации стержня. Коэффициент Пуассона 
13 
§5. Диаграмма деформирования. Пластическая деформация 
14 
§6. Вязкость. Диссипативная функция. Тензор вязких напряжений 
16 
§7. Дислокации в реальных кристаллах и связанные с ними явления 
19 
§8. Высокотемпературная ползучесть чистых металлов и сплавов 
23 
§9. Уравнение движения сплошной среды. Состояния упругости и вязкого 
течения особенности поведения пористых систем 
25 
ГЛАВА 2 
28 
Уравнения движения жидкости 
28 
§1. Уравнение движения идеальной жидкости 
28 
§2. Уравнение движения вязкой жидкости 
33 
§3. Механическое и тепловое равновесие жидкости 
37 
§4. Диссипация энергии в потоке вязкой жидкости 
39 
§5. Движение вязкой жидкости в трубе 
40 
§6. Элементы теории подобия 
43 
§7. Эффективная вязкость суспензий 
45 
ГЛАВА 3 
50 
§1. Основные положения теории термодинамики необратимых процессов 50 
§2. Феноменологическое описание потоков 
55 
§3. Диффузионные процессы 
59 
ГЛАВА 4 
65 
§1. Спекание и припекание металлических порошков в модели вязкой 
пористой среды, рассматриваемой как сплошная. Коэффициент объёмной 
вязкости пористой среды 
65 
§2. Кинетика уплотнения порошковых систем в модели вязкого течения 
пористого тела 
68 
§3. Уравнения движения пористой системы в цилиндрических координа- 
тах. Кинетика уплотнения порошковых слоёв в условиях центробежного 
припекания 
73 

§4. Теория электроконтактного припекания порошковых слоев 
81 
§5. Активирование процессов спекания и припекания малыми добавками 
85 
ЛИТЕРАТУРА 
91 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В сравнительно небольшой по объёму книге излагаются отдельные про
блемы физики деформируемых твёрдых тел: их упругое и неупругое поведение, 
термодинамика деформирования, дислокации и связанные с ними явления, высокотемпературная ползучесть материалов и её механизмы. В модели сплошной деформируемой среды рассматриваются простые системы, изменение объёма которых обусловлено изменением пористости при постоянном объёме монолитной части системы.

Рассмотрены также некоторые вопросы гидродинамики вязкой жидкости, 

причём проанализирована проблема влияния твёрдых включений на коэффициент вязкости суспензий. Применительно к проблеме спекания и припекания металлических порошков рассмотрена термодинамическая теория активирующих 
спекание факторов. На основании общих принципов термодинамики необратимых процессов обоснована возможность моделирования процессов спекания и 
припекания посредством теории вязкого течения сплошной среды с некоторыми эффективными коэффициентами сдвиговой и объёмной вязкости, величины 
которых определяются коэффициентами диффузии в частицах порошка и 
структурой частиц (размеры зёрен, плотность дислокаций и т.п.).

В последней, 4-й, главе книги с позиций предыдущих 3-х глав излагаются 

избранные вопросы кинетики спекания и припекания порошковых систем, связанные с некоторыми конкретными технологиями нанесения порошковых защитных покрытий на детали машин, показано вполне удовлетворительное согласование разработанных теоретических моделей с экспериментальными исследованиями

В книге нашли отражение исследования авторов по проблемам физики 

спекания металлических порошков и получения защитных порошковых покрытий.

Авторы надеются, что настоящая монография окажется полезной для 

научных работников и инженеров, работающих в области порошковой металлургии, защитных покрытий, а также для аспирантов, студентов технических 
вузов и студентов физических специальностей университетов и педвузов.

ГЛАВА 1

Напряженно деформированное состояние сплошной среды. Упругость. 

Неупругие свойства. Уравнения движения твёрдых деформируемых тел, жидкостей, простых систем.

§1. Тензор деформаций. Его инварианты. Разложение на девиатор
ную и шаровую компоненты

Под воздействием приложенных сил твердые тела, рассматриваемые или 

сплошные среды, деформируется, изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформаций привлекается вектор деформации [1], компоненты которого можно записать как 

 
 
a
a
a
U
X – X


.
(1.1)

Здесь полагается, что положение каждой точки тела можно описать ради
ус-вектором r с компонентами X , причём  = 1, 2, 3, а положение смещенной 
вследствие деформаций точки описываются радиус-вектором r' с компонентами X’ . координаты X’ являются функциями X , а потому функциями X’ являются и компоненты U .

Можно сказать, что задание величин U как функций X полностью опре
деляет деформация тела.

Если до деформации две бесконечно близкие точки тела различались на 

вектор dX , а после деформации на dX’ то можно оценить разность расстояний 
между этими точками, обусловленную деформацией тела.

Имея в виду известное правило для записи сумм, можно написать:

2
2
2
2
2
1
2
3

2
2
2
2
2
1
2
3

d l
dX
dX
dX
dX

d l'
dX '
dX '
dX '
dX '

















.
(1.2)

Но у нас согласно (1.1) имеет место соотношение 

 
 
a
a
a
dX
dX – dU
 
,
(1.3)

причём

U
dU
dX
X







 
,
(1.4)

а потому

2
2
U
U
U
dX '
dX
2
dX dX
dX dX
X
X
X























.
(1.5)

Выражение (1.5) может быть записано следующим образом:

 
 
2
2
ab
a
b
dl
– dl
2e dX dX


,
(1.6)

где введён тензор деформации сплошного тела [1 – 3]:

U
U
U
U
1
2
X
X
X
X






























.
(1.7)

Величина  является тензором 2-го ранга в силу того обстоятельства, 

что величины (dX , dX – векторы), а двойная сумма в (1.7) справа – скаляр. Из 

структуры тензора  видно, что он симметричен:  =  .

Здесь и ниже будут рассматриваться малые деформации среды, а потому 

третье слагаемое в (1.7) можно опустить. Имеем тогда:

U
U
1
2
X
X





















.                                    (1.8)

Симметричный тензор  в каждой точке тела линейным преобразовани
ем координат в этой точке можно привести к главным осям, в которых отличными от нуля будут только диагональные компоненты 
1 , 
2 , 
3 .

Имеем в этих осях вместо (1.6):

2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
dl'
dl
2
dX
2
dX
2
dX







.                 
(1.9)

Иначе говоря, можно записать:

dX '
1
2
dX
(1
)dX











,  = 1, 2, 3.              (1.10)

Таким образом, относительные удлинения сторон элементарного парал
лелепипеда, построенного на главных осях в данной точке суть:

dX '
dX
dX








,  = 1, 2, 3.                            (1.11)

отметим выражения для элемента объема dV’ деформированного тела, которое 
вытекает из соотношения (1.10):

1
2
3
dV'
(1
)(1
)(1
)dV







.
(1.12)

С точностью до линейных по 

членов, имеем:

1
2
3
dV '
dV
inv
dV











.                      (1.13)

Мы получили важный для дальнейшего инвариант  и его физический 

смысл. Отметим так же, что в силу (1.8)

U
divU
X









.                                    (1.14)

приведём значение компонент тензора деформаций в цилиндрических r, , z координатах; имеем:

r
z
rr
zz

z
r
z
z
rz

r
r

U
U
U
U
1
,
,U
,
r
r
r
z
U
U
U
U
1
2
,2
,
r
z
z
r
U
U
U
1
2
r
r
r
































































.                       (1.15)

В сферических координатах r, ,  имеем:

r
r
r
rr

r
r

r
r

U
U
U
U
U
U
1
1
,
,
ctg
,
r
r
r
r sin
r
r

U
U
U
U
U
1
1
1
2
U ctg
,2
,
r
r sin
r
r
r

U
U
U
1
2
r sin
r
r




























































































. (1.17)

выполним разложение тензора  на две компоненты – ’ и ” , причём 

первая из них ответственна за сдвиговые деформации (’ = 0) и называется 

девиатор деформации, а вторая – ” – шаровой тензор деформаций, ответ
ственный за всестороннее сжатие или растяжение 

"
divU




.

Имеем:

1
1
'
"
divU
divU
3
3

















.               (1.18)

Отметим инвариант:

'
'
inv





.                                            (1.19)

§2. Тензор напряжений. Инварианты тензора напряжений. Уравне
ния равновесия сплошного тела

Выделим в сплошном теле элементарную призму 

(рис. 1.1) с вершиной в точке М и рассмотрим силы, с 
которыми окружающая призму сплошная среда воздействует на нее. Эти силы 
1
2
3
df ,df ,df


и ( df

) приложены 

соответственно к граням АМВ, ВМС, АМС и АВС. 
Условия равновесия призмы требуют, в частности, что
бы 

3

1
df
( df )
0

 
 


, т.е. можно записать:

3

1
df
df


 

.                                          (1.20)

Если ввести выражения

df

dS






,
(1.21)

где dS – вектор площадки 
ABC
dS
dS

,  (1.20) можно записать в виде:

df = dS .                                          (1.22)

Здесь  – индекс суммирования (немой индекс). Т.к. df и dS – векторы, 

то согласно известной теореме тензорной алгебры  – тензор 2-го ранга, тензор напряжений.

Выделяя в сплошной среде конечный элемент объёма V, ограниченный 

конечной поверхностью S, имеем для полной силы, действующей на этот элемент со стороны окружающей его среды:

S
V
dS
dV
X

















.    
(1.23)

При написании (1.23) использовано обобщение теоремы Гаусса. Из (1.23) 

следует, что величина 
X









(дивергенция тензора 2-го ранга) суть сила f, дей
ствующая на м3 сплошной среды, обусловленная воздействием на элемент dV
окружающей его среды через поверхность S.

Рассмотрим теперь момент этих сил. Момент силы f, отнесенный к м3

среды суть fX – fX, а на объём V




V
M
f X
f X
dV









.                                  (1.24)

Очевидно, в силу природы сил f, этот момент должен в конечном итоге 

представляться интегралом, взятым по поверхности S. Имеем:







V
V

V

X
X
M
X
X
dV
dV
X
X
X

dV
























 
 


































.        (1.25)

Здесь вместо производных вида 
X
X







введем единичный тензор . Пер
вый из интегралов, очевидно, преобразуется в поверхностный интеграл, а второй сводится к интегралу 



V
dV








и должен тождественно равняться ну
лю, что будет иметь место, если 

 = ,
(1.26)

т.е. тензор напряжений симметричен.

Отметим, что при равномерном всестороннем сжатии тела тензор напря
жений имеет вид:

 = – р ,
(1.27)

где р – давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь тела. 
Инвариантами тензора напряжений являются  и 2 . если имеет место равновесие в деформированном теле f = 0 и мы имеем уравнение равновесия

0
Х









.                                               (1.28)

Следует отметить, что при этом мы положили равным нулю массовые 

(объёмные) силы, действующие на сплошную среду со стороны внешних полей 
(гравитация, силы электромагнитной природы и т.п.). Внешние же силы, приложенные непосредственно к поверхности тела, за счет которых возникает 
напряженно деформированное состояние тела, учитываются граничными условиями. Если 
( l )
Р
– вектор внешней силы, отнесенный к м2 поверхности тела, то 

для каждого элемента dS поверхности границы должно иметь место условие:

( l )
P
dS
dS
0





 .     
(1.29)

Но у нас dS = ndS, где n – единичный вектор внешней нормали, а пото
му вместо (1.29) имеем:

( l )
n
P





.                                               (1.30)

Для дальнейшего изложения будет весьма полезно выражение для сред
него значения по объему тела V инварианта  ; имеем для случая равновесия 
(1.28):

V
V
V

S
V

(
X )
X
X dV
dV
dV
X
X
X

Х
X dS
dV
0, т.к.
Х






























































.                  (1.31)

Полагая dS = ndS и учитывая, (1.30) из (1.31) получим



( l )
( l )

S
S

1
1
P
X dS
P
r dS
V
V













.                  
(1.32)

Здесь положено для среднего по объёму тела:

V

1
dV
V






  
.                                        (1.33)

§3. Термодинамические состояния для деформированного сплошного 

тела. Обобщенный закон Гука

Выведем выражение для работы деформирования сплошного тела в м3. 

Полагая, что величина этой работы обусловлена изменением вектора U , имеем для малой величины работы 

A
U
X









 
.                                                 (1.34)