Прохождение сигнала и шума через линейные электрические цепи

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Ю. В. Шилов

____________________

ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛА И ШУМА 

ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

____________________

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета 

для студентов вуза, обучающихся по направлениям  

подготовки 11.03.01 «Радиотехника»,  

11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2019

УДК 621.37.037(075.8)
ББК 32.841я73
          Ш59

Рецензенты:
И. Г. Коршунов, д‑р физ.‑мат. наук, проф., зав. кафедрой физики 
ФГБОУ ВО «Уральский государственный горный университет»;
С. В. Смирнов, д‑р техн. наук, директор Института машиноведения 
Уральского отделения Российской академии наук

Научный редактор — д‑р техн. наук, проф. Л. Г. Доросинский

Ш59

Шилов, Ю. В.
Прохождение сигнала и шума через линейные электрические 
цепи : уч.‑метод. пособие / Ю. В. Шилов. — Екатеринбург : Изд‑
во Урал. ун‑та, 2019. — 127, [1] с.
ISBN 978‑5‑7996‑2567‑2

Данное учебно‑методическое пособие посвящено теоретическому и практическо‑

му изучению основных характеристик и принципов анализа прохождения детер‑
минированных и случайных сигналов через линейные электрические цепи, а также 
изучению методов линейной частотной фильтрации гармонических и импульсных 
сигналов на фоне шума.

Издание состоит из трех частей. В первой части приведены основные теоретические 

положения, касающиеся детерминированных и случайных сигналов. Вторая часть 
содержит примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. Третья 
часть состоит из описания трех лабораторных работ. Приведены примеры выполне‑
ния домашнего задания к лабораторным работам в программе Mathcad.

УДК 621.37.037(075.8)
ББК 32.841я73

ISBN 978‑5‑7996‑2567‑2
© Уральский федеральный  
университет, 2019

ВВЕДЕНИЕ

Э

лектрической цепью называется совокупность связанных эле‑
ментов, образующих путь для электрического тока. Электри‑
ческие цепи являются основой любого радиотехнического 

устройства, с их помощью решаются задачи формирования и преоб‑
разования электрических колебаний. Линейными называются элек‑
трические цепи, состоящие из элементов, параметры которых не зави‑
сят от приложенных к ним напряжений и протекающих токов. В таких 
цепях не происходит изменения частот подаваемых на них сигналов. 
С помощью линейных цепей решаются задачи преобразования уров‑
ней сигналов, формирования формы импульсов, выделения сигналов, 
лежащих в определенном частотном диапазоне на фоне помех.

Изучение преобразования электрических колебаний линейными 

цепями составляет определенный раздел радиотехники, более широ‑
кой практической задачей которой является использование электри‑
ческих колебаний для передачи, хранения и преобразования инфор‑
мации. Традиционно к таким задачам относятся вопросы радиосвязи, 
т. е. передачи информации по радиоканалу с использованием электро‑
магнитных волн.

Любая электрическая цепь или система связи подвержена воздей‑

ствию на нее помех и шумов. Основными видами шумов являются те‑
пловые шумы, возникающие из‑за хаотического движения электро‑
нов в проводнике, дробовые шумы полупроводниковых приборов, 
вызванные пролетом носителей заряда через потенциальные барьеры, 
а также шумы приемных антенн, обусловленные излучением космо‑
са, атмосферы и Земли. Эти шумы приводят к искажению полезных 
сигналов, передающих информацию. Поэтому одной из задач радио‑
техники является изучение и разработка методов снижения влияния 
шумов на полезный сигнал, что приводит к повышению дальности си‑
стемы связи и достоверности передаваемой информации.

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Линейные электрические цепи и их характеристики

1.1. Основные определения
В 

теории цепей [1, 2] линейными называются электрические 
цепи, составленные из линейных идеализированных элемен‑
тов — идеального резистора с сопротивлением R, идеального 

конденсатора с емкостью C, идеальной индуктивной катушки с ин‑
дуктивностью L. Линейность этих элементов означает, что их параме‑
тры не зависят от протекающего тока и от приложенного напряжения. 
Связь мгновенных значений тока i(t) и напряжения u(t) на зажимах 
этих элементов определяется следующими формулами.

Для идеального резистора эта связь подчиняется закону Ома:

 
u
t
Ri
t
R
R
( )
( )
=
 или i
t
R u
t
R
R
( )
( )
= 1
.  
(1.1)

Для идеального конденсатора:

 
u
t
C
i
t dt
C
C

t
( )
( )
=

-Ґт
1
 или i
t
C du
t

dt
C
C
( )
( )
=
.  
(1.2)

Для идеальной катушки индуктивности:

 
u
t
L di
t

dt

L
L
( )
( )
=
 или i
t
L
u
t dt
L
L

t
( )
( )
=

-Ґт
1
.  
(1.3)

Кроме указанных элементов, в состав линейных цепей могут вхо‑

дить линейно управляемые источники, ток или напряжение которых 
линейно зависят от тока или напряжения некоторого участка цепи 

| 1. Линейные электрические цепи и их характеристики |

(такими элементами могут замещаться транзисторы в области малых 
сигналов или операционные усилители). Например, источник тока, 
управляемый напряжением, для которого
 
i
t
Su
t
вых
вх
( )
( )
=
,

где iвых(t) — ток на выходе источника, S — коэффициент пропорцио‑
нальности, называемый крутизной, uвх(t) — напряжение на входе. Или 
источник напряжения, управляемый напряжением, для него
 
u
t
u
t
вых
вх
( )
( )
= m
,

где uвых(t) — напряжение на выходе источника, m — коэффициент про‑
порциональности, называемый коэффициентом усиления.

Если для таких цепей составить систему уравнений на основании 

законов Кирхгофа и записать ее либо относительно токов ветвей1, 
либо относительно напряжений на элементах, используя соотноше‑
ния (1.1)-(1.3), то эта система будет состоять из интегрально‑диффе‑
ренциальных уравнений. Решить такую систему можно путем сведения 
к одному дифференциальному уравнению, называемому дифференциальным 
уравнением цепи. Для линейной электрической цепи дифферен‑
циальное уравнение имеет вид

 
a d y
dt
a
d
y
dt
a dy
dt
a y
f x t
n

n

n
n

n

n
+
+
+
+
=
[
]
-

-

-
1

1

1
1
0

( ) ,  
(1.4)

где an, an-1, a1, a0 — коэффициенты, зависящие от параметров эле‑
ментов; n — порядок цепи, равный количеству независимых индук‑
тивностей и емкостей; y = y(t) — искомая реакция цепи, т. е. ток i(t) 
какой‑либо ветви или напряжение u(t) на каком‑либо элементе;  
f[x(t)] — функция, зависящая от воздействия, x(t) — воздействие, т. е. 
ток или напряжение, подаваемые на вход цепи.

Решение дифференциального уравнения (1.4) ищется в виде суммы 

двух составляющих — свободной yсв(t) и принужденной yпр(t),
 
y t
y
t
y
t
( )
( )
( )
=
+
св
пр
.  
(1.5)

Свободная составляющая yсв(t) определяет переходный процесс в цепи, 

который возникает после коммутации, т. е. после подачи на цепь воз‑
действия, изменения его параметров и т. п. Эта составляющая ищет‑
ся как общее решение однородного дифференциального уравнения

1 Ветвью называется участок цепи, вдоль которого протекает одинаковый ток, 

ветвь может состоять из одного или нескольких последовательно соединенных эле‑
ментов.

| Часть I. Теоретические положения |

 
a d y

dt
a
d
y

dt
a dy

dt
a y
n

n

n
n

n

n
+
+
+
+
=
-

-

-
1

1

1
1
0
0

.

В цепях с потерями lim
( )

t
y
t

®Ґ
=
св
0 , т. е. переходный процесс зату‑

хает с течением времени, теоретически он длится бесконечно долго, 
но на практике длительность переходного процесса принимают рав‑
ной (3…5)τцепи, где τцепи — постоянная времени цепи.

Принужденная составляющая yпр(t) определяет установившийся режим 
в цепи, т. е. режим, когда переходный процесс закончится. Она 
ищется как частное решение неоднородного дифференциального урав‑
нения (1.4).

1.2. Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд позволяет определить реакцию ли‑

нейной электрической цепи на гармоническое воздействие в устано‑
вившемся режиме. В основе метода лежит то, что если на цепь пода‑
ется гармоническое воздействие

 
x t
X
t
m
x
( )
cos
=
+
(
)
w
j
  
(1.6)

с амплитудой Xm, частотой w и начальной фазой φx, то ДУ (1.4) при‑
нимает вид

 
a d y

dt
a
d
y

dt
a dy

dt
a y
A
t
n

n

n
n

n

n
m
+
+
+
+
=
+
(
)
-

-

-
1

1

1
1
0

cos w
j ,  
(1.7)

т. е. в правой части стоит гармоническая функция с амплитудой Am и на‑
чальной фазой φ. Из теории дифференциальных уравнений известно, 
что частное решение, т. е. принужденная составляющая, в этом слу‑
чае ищется в виде

 
y
t
Y
t
m
y
пр( )
cos
=
+
(
)
w
j
.  
(1.8)

Амплитуду Ym и начальную фазу φy принужденной составляющей 

можно определить, подставив (1.8) в (1.7) и решив получившееся три‑
гонометрическое уравнение. Однако непосредственное такое решение 
оказывается сложным.

В методе комплексных амплитуд каждой гармонической функции 

ставится в соответствие комплексная амплитуда, например,

 

a t
A
t
A
A e

y t
Y
t
Y
Y e

m
m
m
j

m
y
m
m
j
y
( )
cos
,

( )
cos
,

=
+
(
) Ы
=

=
+
(
) Ы
=

w
j

w
j

j

j




 
 (1.9)

| 1. Линейные электрические цепи и их характеристики |

здесь Am  и Ym  — комплексные амплитуды гармонических функций  
a(t) и у(t) соответственно, j =
-1  — мнимая единица, e ≈ 2,718 — ос‑

нование натурального логарифма. При этом сами функции связаны 
с их комплексными амплитудами соотношением

 

a t
A e

y t
Y e

m
j t

m
j t

( )
Re
,

( )
Re
,

=
{
}

=
{
}





w

w

где Re{} — реальная часть комплексного числа, e j t
w  — оператор вра-

щения.

Если использовать такое представление гармонических функций 

при нахождении Ym и φy, то уравнение (1.7) при подстановке в него 
(1.8) заменится комплексным алгебраическим уравнением, что позво‑
лит существенно упростить решение. Подробный вывод на примере 
последовательной RLC‑цепи можно найти в [1], при этом доказыва‑
ется, что комплексные амплитуды напряжения 
U m  и тока I m  на пас‑

сивном участке цепи связаны между собой законом Ома в комплексной  
форме

 


U
ZI
m
m
=
 или 

I
YU
m
m
=
,  
(1.10)

где Z — комплексное сопротивление, Y = 1/Z — комплексная прово‑
димость участка цепи.

Порядок решения задачи методом комплексных амплитуд может 

быть следующим:

1) составление комплексной схемы замещения цепи, т. е. замена 

всех токов i(t) и напряжений u(t) их комплексными амплитудами I m  
и 
U m  аналогично формулам (1.9), а всех идеализированных пассив‑

ных элементов — их комплексными сопротивлениями (или проводи‑
мостями):

 
Z
R
Z
j C
j
C
Z
j L
R
C
L
=
=
= -
=
,
,
;
     
     
1
1
w
w
w
  
(1.11)

2) составление уравнений электрического равновесия на основа‑

нии законов Ома (1.10) и Кирхгофа в комплексной форме;

3) решение уравнений относительно комплексных амплитуд инте‑

ресующих токов и напряжений;

4) переход к мгновенным значениям интересующих токов и напря‑

жений (определение амплитуд и начальных фаз).

| Часть I. Теоретические положения |

1.3. Принцип суперпозиции

Для ДУ вида (1.4) справедлива теорема о суперпозиции, которая фор‑

мулируется следующим образом. Если правая часть уравнения (1.4) 
представляет собой линейную комбинацию нескольких функций

 
f t
f t
i
i
i

N

( )
( )
=

=еa

1

,

где ai — вещественные коэффициенты, fi(t) — элементарные функции, 
и yi = yi(t) — есть решение ДУ вида

 
a d y

dt
a
d
y

dt
a dy

dt
a y
f t
n

n
i
n
n

n
i
n
i

i
i
+
+
+
+
=
-

-

-
1

1

1
1
0

( ),

то полное решение ДУ (1.4) находится в виде

 
y t
y t
i
i
i

N
( )
( )
=

=еa

1

.

Из теоремы о суперпозиции следует принцип суперпозиции 

(или принцип наложения). Реакция y(t) линейной электрической 
цепи на воздействие x(t) в виде линейной комбинации элементарных 
воздействий xi(t) ищется в виде линейной комбинации реакций yi(t) 
на каждое элементарное воздействие в отдельности. Т. е. если воз‑ 
действие

 
x t
x t
i
i
i

N
( )
( )
=

=еa

1

,  
(1.12)

то реакция линейной электрической цепи

 
y t
y t
i
i
i

N
( )
( )
=

=еa

1

,  
(1.13)

где yi(t) — реакция на xi(t), ai — вещественные коэффициенты.

Принцип суперпозиции лежит в основе временного и спектрально-

го методов анализа прохождения сигналов через линейные электри‑
ческие цепи. Кроме того, он используется при анализе прохождения 
аддитивной смеси (суммы) сигнала и шума через линейные электри‑
ческие цепи.

С принципом суперпозиции тесно связан метод анализа элек‑

трических цепей, называемый методом наложения. Суть метода со‑
стоит в следующем. Если в цепи имеется несколько независимых 
источников энергии, то ток или напряжение какой‑либо ветви ли‑

| 1. Линейные электрические цепи и их характеристики |

нейной электрической цепи можно найти в виде суммы частичных 
токов или напряжений, вызванных действием каждого источника  
в отдельности.

1.4. Частотные характеристики цепей

Как будет показано ниже, знание характеристик цепи позволяет 

значительно упростить задачу определения реакции линейной элек‑
трической цепи на сложное воздействие.

Комплексной частотной характеристикой H(jw) цепи называется 

отношение комплексной амплитуды реакции Ym  к комплексной ам‑
плитуде воздействия X m ,

 
H j
Y
X

m

m
(
)
w =



.  
(1.14)

Для четырехполюсной цепи (рис. 1.1), в зависимости от того, что 

рассматривать в качестве реакции, а что в качестве воздействия, мож‑
но записать две входные и четыре передаточные комплексные частот‑
ные характеристики.

Эл.цепь

1

1'

2

2'
Вход
Выход

Um1
Um2

Im1
Im2

Рис. 1.1. Представление электрической цепи 

в виде четырехполюсника

Комплексное входное сопротивление

 
Z
j
U
I

m

m
11
1

1
(
)
w =



.

Комплексная входная проводимость

 
Y
j
I
U

m

m
11
1

1
(
)
w =



.

| Часть I. Теоретические положения |

Комплексный коэффициент передачи по напряжению

 
K
j
U
U
U
m

m
(
)
w =




2

1

.

Комплексный коэффициент передачи по току

 
K
j
I
I
I
m

m
(
)
w =




2

1

.

Комплексное передаточное сопротивление

 
Z
j
U
I

m

m
21
2

1
(
)
w =



.

Комплексная передаточная проводимость

 
Y
j
I
U

m

m
21
2

1
(
)
w =



.

Здесь 
U m1  и I m1  — комплексные амплитуды напряжения и тока 

на входных зажимах 1–1´, 
U m2  и I m2  — комплексные амплитуды на‑

пряжения и тока на выходных зажимах 2–2´.

Для определения комплексной частотной характеристики необ‑

ходимо составить комплексную схему замещения цепи и, используя 
известные методы расчета (законы Ома и Кирхгофа в комплексной 
форме, метод контурных токов, метод узловых напряжений), выве‑
сти функцию переменной jw, описывающую отношение реакции  
и воздействия.

Комплексная частотная характеристика линейной цепи не зависит 

от воздействия, а определяется топологией (т. е. структурой соедине‑
ния элементов) цепи и параметрами элементов и может быть записа‑
на в виде дробно‑рациональной функции

 
H j
a
j
a
j
a
j
a
b
j
b
j

m
m
m
m

n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
=
+
+
+
+

+
+

-

-

-
-
1
1

1
0

1
1

+
+
b
j
b
1
0
(
)
w
, 
 (1.15)

где am, am-1, …, a1, a0, bn, bn-1, …, b1, b0 — коэффициенты, зависящие 
от параметров элементов; m — целое число, m ≤ n; n — порядок цепи, 
равный количеству независимых индуктивностей и емкостей.

Комплексная частотная характеристика представляет собой ком‑

плексное число и может быть записана в показательной форме