Расчет элементов и соединений металлических конструкций машин

В. А. Глотов, А. В. Зайцев, Е. Б. Маслов 

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ 
И СОЕДИНЕНИЙ 
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ 
КОНСТРУКЦИЙ МАШИН 

Учебное пособие к выполнению 
курсовой работы по дисциплине 
«Строительная механика и металлические 
конструкции подъёмно-транспортных 
и строительно-дорожных машин» 

Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры  
«Подъёмно-транспортные, путевые, строительные и дорожные машины» 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 621.86(075)
ББК 34.448я73
Г52 

Ответственный редактор — канд. техн. наук, доц. Д. С. Воронцов 

Рецензент: 
канд. техн. наук, доц. кафедры «Строительная механика» СГУПСа П. Г. Суровин 

Глотов, В. А.

Г52
Расчет элементов и соединений металлических конструкций машин :

учебное пособие к выполнению курсовой работы по дисциплине «Строительная механика и металлические конструкции подъёмно-транспортных и строительно-дорожных машин» / В. А. Глотов, А. В. Зайцев, Е. Б. Маслов. —
Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2019. — 72 с.

ISBN 978-5-4499-0380-8 

Учебное пособие содержит задания, краткие сведения о методах расчета элементов и соединений несущих металлоконструкций подъемно-транспортных и строительно-дорожных 
машин.  
Предназначено для студентов направления подготовки 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» по профилю: «Подъёмно-транспортные, строительные, дорожные средства и оборудование» очной и заочной форм обучения». 
Текст печатается в авторской редакции. 

УДК 621.86(075)
ББК 34.448я73

ISBN 978-5-4499-0380-8 
© Глотов В. А., Зайцев А. В., Маслов Е. Б., текст, 2019
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для выполнения курсовой работы и является частью методического обеспечения дисциплины «Строительная механика и металлические конструкции подъёмно-транспортных и строительнодорожных машин». 
В пособии рассмотрены вопросы определения усилий в элементах несущих конструкциях подъёмно-транспортных и строительно-дорожных машин, 
а также вопросы проверки несущей способности элементов и их соединений. 
Вопросы определения усилий рассмотрены применительно к стержневым 
несущим конструкциям балочного, ферменного и рамного типов. 
Методические указания необходимы для логического продолжения курса 
лекций и обеспечения лабораторных и практических работ, которые предусмотрены рабочей программой дисциплины. 
Методические указания могут оказаться полезными для подготовки специалистов, обучающихся на курсах повышения квалификации и эксплуатирующих наземные транспортно-технологические средства. 

1. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ  
В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ 

Целостность тела обусловлена силами взаимодействия атомов — электромагнитными силами. Внешние механические нагрузки вызывают деформацию тела путем изменения межатомных расстояний и взаимного положения атомов, что приводит к изменению сил внутреннего взаимодействия 
и появлению дополнительных внутренних сил. Для их определения применяют различные методы.  

1.1. Расчет статически определимых систем 

Внутренние силовые факторы (усилия) в статически определимых системах находят с помощью специального приема — метода сечений (статический метод). При этом тело рассекается воображаемой плоскостью 
(рис. 1.1, а). Одна из образовавшихся отсеченных частей мысленно отбрасывается (обычно та, к которой приложено больше внешних сил). Со стороны 
отброшенной части на оставшуюся часть действуют внутренние силы, 
непрерывно распределенные по сечению (рис. 1.1, б). 
 

 
Рис. 1.1. К определению внутренних усилий 
 
Внутренние силы, согласно правилам теоретической механики, могут 
быть заменены главным вектором R и главным моментом М, приведенными 
к центру тяжести сечения (рис. 1.1, в). Каждый из этих двух статических 
эквивалентов внутренних сил можно представить в виде трех проекций на 
оси координат x, y, z и трех моментов, действующих относительно этих осей. 
(N, Qy, Qz, Mx, My, Mz — рис. 1.1, г), где N — продольная (нормальная) сила, 
Qy и Qx — поперечные (перерезывающие) силы вдоль осей y и x, My и Mx — 
изгибающие моменты относительно осей y и x, Mz — крутящий момент относительно оси z.  

а)

Р1

Р2
Р3
в)

Р1

Р2
Р3

б)

Р1

Р2
Р3

Рn-1

Рn

R
M

p1
M y

Р3

N

p2

pk

г)
M x

M z
Qy

0

x

z

y

Qx

Эти компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями. Каждому виду 
усилия можно поставить в соответствие определенный вид деформации. Для 
нахождения внутренних усилий имеется шесть уравнений равновесия: 
 
∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑Fz = 0; ∑mx = 0; ∑my = 0; ∑mz = 0.   (1.1) 
 
В общем случае стержневые элементы работают на растяжение (сжатие), 
изгиб, сдвиг и кручение. Общим методом определения внутренних усилий в 
стержневых системах является метод сечений. Применение способа сквозных сечений для расчета стержневой системы — рабочего оборудования 
бульдозера — приведено в работе [1]. 
Единственным ненулевым усилием в стержнях фермы является продольная сила N. В этом случае метод сечений используется в виде двух основных 
способов: способа вырезания узлов и способа сквозных сечений (метод Риттера). 
Способом вырезания узлов производится уравновешивание отдельного 
узла фермы. Так как на вырезанный узел действует плоская сходящаяся система сил, то составляются уравнения проекций сил на взаимно перпендикулярные оси, при этом неизвестных усилий должно быть не больше двух. 
При использовании способа сквозных сечений (способа моментной точки 
или способа проекций) уравновешивается отсеченная часть фермы. На выделенную сквозным сечением часть фермы действует произвольная плоская 
система сил, для которой можно записать три уравнения равновесия, поэтому в разрезанных стержнях должны действовать не более трех неизвестных 
усилий. Согласно способу моментной точки для отсеченной части фермы 
составляют уравнение сумм моментов всех сил относительно моментной 
точки — точки пересечения осей двух стержней, усилия в которых нужно 
исключить из уравнения. В этом случае уравнение равновесия будет содержать лишь одно неизвестное усилие. Способ проекций применяют в случае, 
если моментная точка находится в бесконечности, то есть оси двух из трех 
перерезанных стержней параллельны. Тогда составляется уравнение сумм 
проекций всех сил на ось, перпендикулярную параллельным стержням.  
Так в решетчатой стреле (ферме), приведенной на рисунке 1.2, а, для 
отыскания усилий N14-12 и N14-13 вырезается узел 14, расчетная схема которого приведена на рисунке 1.2, б. Усилия N14-12, N14-13 можно определить, составив уравнения равновесия: ∑Fx = 0; ∑Fy = 0. Для определения усилий  
N10-8, N11-8 и N11-9 проведем сквозное сечение 2-2 и рассмотрим равновесие 
правой отсеченной части. В расчетной схеме (рис. 1.2, в) моментными точками являются: узел 8 для стержня 11-9 (из уравнения ∑m8 = 0 определяется 
неизвестное усилие N11-9) и узел 11 для стержня 10-8 (из уравнения ∑m11 = 0 
определяется неизвестное усилие N10-8). Усилие N11-8 можно найти из уравнения проекций ∑Fy = 0. предварительно определив реакцию RB. 
 

Рис. 1.2. К определению усилий в ферме методом сечений 

Рамы являются основными несущими частями, на которых монтируют 
детали, механизмы и узлы машин. Рама представляет собой пространственную или плоскую стержневую систему, элементы которой (стойки и ригели) 
жестко соединены между собой во всех или некоторых узлах. В отличие от 
фермы стержни рамы помимо деформации растяжения (сжатия) также работают на сдвиг и изгиб. 
Определим внутренние усилия и построим эпюры в статически определимой раме, показанной на рисунке 1.3, а.  

Рис. 1.3. К определению усилий в раме 
 
Найдем реакции опор, составляя уравнения равновесия (рис. 1.3, б) 

∑ 𝑀𝐶
низ = −𝑉𝐴 ∙ 2𝑙 + 𝑞 ∙ 𝑙 ∙
𝑙

2 = 0,   𝑉𝐴 = 𝑞𝑙, 

∑ 𝐹𝑌 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐷 = 0,   𝑉𝐷 = 𝑞𝑙, 

∑ 𝑀𝐶
прав = 𝑀𝐷 − 𝑉𝐷 ∙ 𝑙 = 0,   𝑀𝐷 = 𝑞𝑙2, 

∑ 𝐹𝑋 = 𝑞 ∙ 2𝑙 − 𝐻𝐷 = 0,   𝐻𝐷 = 2𝑞𝑙, 

Разделим раму на участки: ригель AB, стойка BC, ригель CD. Составим 
выражения для изгибающего момента, поперечной и продольной силы на 
каждом участке.  
Ригель AB: 

M = VA ∙ x,    Q = VA,      N = 0 

Стойка BC: 

M = VA ∙ 2𝑙 − 𝑞 𝑥2

2 ,    Q = −𝑞𝑥,      N = −𝑉𝐴 

Ригель DC: 

M = 𝑀𝐷 − VD ∙ x,    Q = VD,      N = −𝐻𝐷 

По полученным выражениям построим эпюры внутренних усилий в раме 
(рис. 1.3, в, г, д). 

а)

2l

A
B

q

б)

в)
г)

эп.M

д)

C
D

2l

l

q

VA=ql

x

VD=ql
HD=2ql

MD=ql2

x

x

2ql2

ql2

эп.N

ql

2ql


эп.Q

+

ql

+

ql


2ql

1,5ql2

1.2. Расчет статически неопределимых систем 

В статически неопределимых системах все неизвестные силы (усилия или 
реакции связей) нельзя отыскать, используя только уравнения равновесия. 
C точки зрения статической определимости в таких системах имеются лишние связи. 
Для расчета статически неопределимых систем применяются разные методы: метод сил, метод перемещений, смешанный метод, метод конечных 
элементов и т. д. Общим для всех методов является то, что расчету подлежит 
не заданная, а преобразованная система, эквивалентная ей в статическом 
и кинематическом отношениях (все усилия и перемещения в эквивалентной 
системе должны быть такими же, как и в заданной). Следует отметить, что 
и методом перемещений, и методом конечных элементов также можно рассчитывать статически определимые конструкции. 
Условия эквивалентности систем выполняются при соблюдении заменяемости связей, согласно которому: любая i-я связь может быть удалена, если 
вместо нее приложена неизвестная сила Xi и принято, что перемещение по ее 
направлению равно нулю, т. е. 
 
∆i = 0; 
 
любая i-я связь может быть введена, если при этом введенная связь получит 
соответствующее перемещение Zi , при котором реакция в добавленной связи 
будет равна нулю, т. е. 
 
Ri = 0. 
 
Система, получаемая из заданной конструкции путем удаления или введения связей, называется основной системой. Если основная система получена только путем удаления связей и неизвестными являются силы Xi, то метод расчета называется методом сил. Если основная система получена 
только путем наложения связей и основными неизвестными являются перемещения Zi, то метод расчета называется методом перемещений. Если основная система получена путем одновременного удаления и наложения связей и основными неизвестными являются силы Xi и перемещения Zi, то метод 
расчета называется смешанным. 
В методе сил основная система образуется путем удаления связей и 
введением неизвестных сил Xn по их направлению. Условие равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей носит название системы канонических уравнений метода сил. Так, перемещение по направлению любой удаленной связи согласно гипотезе о независимости 
действия сил 
 
𝛿𝑖1𝑋1 + 𝛿𝑖2𝑋2+. . . +𝛿𝑖𝑛𝑋𝑛 + ∆𝑖𝑃= 0,                            (1.3) 
 

где δin — перемещение по направлению i от силы Xn = 1,  
∆iP — перемещение по направлению i от внешней нагрузки. 
В методе перемещений основная система образуется путем введения дополнительных связей, которые препятствуют линейным и угловым перемещениям узлов. Запрет перемещений по направлению наложенных связей 
приводит к появлению реакций в этих связях. Условие равенства нулю реакций в добавленных связях носит название системы канонических уравнений 
метода перемещений. Так, реакция в любой добавленной связи  

𝑟𝑖1𝑍1 + 𝑟𝑖2𝑍2+. . . +𝑟𝑖𝑛𝑍𝑛 + 𝑅𝑖𝑃 = 0,                            (1.4) 

где rin — реакция в i связи от единичного перемещения (Zn = 1) n связи;  
RiP — реакция в i связи от внешней нагрузки Р.  
При небольшом количестве лишних связей часто пользуются методом 
сил. Расчет начинается с выбора основной системы: в заданной системе удаляют все лишние связи, чтобы получилась геометрически неизменяемая и 
статически определимая система. Убирая различные связи, можно образовать множество основных систем. Усилия, которыми заменяются отброшенные связи, называются лишними неизвестными. Количество лишних неизвестных определяется по формуле 

Л = 3К − Ш                                             (1.5.) 

где Л — количество лишних связей (степень статической неопределимости);  
К — количество замкнутых контуров;  
Ш — количество шарниров. 
Один раз статически неопределимая система показана на рис. 1.4, а. За 
основную систему можно принять раму с устраненной горизонтальной 
связью в опоре D, вместо которой приложено лишнее неизвестное X1 
(рис. 1.4, б).  
При действии лишь внешней нагрузки правая опора основной системы 
получит перемещение ∆1P (рис. 1.4, в). При действии только силы X1 опора 
переместится на 𝛿11𝑋1 (рис. 1.4, г). По условиям закрепления в заданной статически неопределимой системе такое перемещение отсутствует, поэтому 
сила X1 должна возвратить точку в исходное положение. Тогда условие, выражающее отсутствие перемещения по направлению отброшенной связи, 
в общем случае запишется так:  

𝛿11𝑋1 + ∆1𝑃= 0, 

откуда 

𝑋1 = − ∆1𝑃 𝛿11
⁄
, 

где ∆1P — перемещение от внешних сил в направлении единичной силы  
Х1 = 1 (рис. 1.4, в);  
δ11 — перемещение от единичной силы в направлении действия единичной силы X1 = 1 (рис. 1.4, г). 
 

Рис. 1.4. К определению усилий методом сил

В стержнях рам, как правило, не учитывают перемещения, вызванные деформациями растяжения (сжатия) и сдвига, ввиду их относительной малости. 
Тогда, перемещения δ11 и ∆1P, вызванные изгибом, могут быть найдены по 
интегралу Максвелла — Мора: 

}
{
1
1
1
0
1
1
p
P

l

Р
M
M
EI
ds
M
M
EI
×
=
Σ
=
∆
∫
, 
      (1.6) 

}
{
1
1
1
1
0

2
1
11
M
M
EI
ds
M
EI

l
×
=
Σ
=
∫
δ
 , 
 (1.7) 

где МР и М1 — изгибающие моменты в основной системе от внешней нагрузки и единичной силы соответственно. 
 Интегралы можно вычислить как аналитически, так и способом «перемножения» эпюр моментов МР (рис. 1.4, д) и М1 (рис. 1.4, е), построенных 
в основной системе. Для численного интегрирования применяется формула 
Симпсона или правило Верещагина [2], [3]. 
Перемножать эпюры по формуле Симпсона можно лишь при условии, что 
эпюра моментов МР имеет линейный характер, либо представляет собой 
квадратную параболу, а М1 — линейна.  

а)

P

2l

l
l

A

B

X1=1

P
P

∆1P

б)
в)
г)

X1

δ11X1

X1=1

2l

2l
2l

эп.M1

P

эп.MP

Pl/2

эп.Mок

7Pl/20

3Pl/20
3Pl/20

д)
е)
ж)

C

D