Основы теории надежности

ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

ФАКУЛЬТЕТ РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ  

ТЕХНИКИ И ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ 

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ И СТАНДАРТИЗАЦИИ 

М. Д. Озерский, В. Г. Исаев, В. В. Гончаров 

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ»  

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 811.112.2(075) 
ББК 81.432.4я73  

Рецензент:  
к.т.н. Костылев А. Г. 

О46

 

Основы теории надежности: Методическое пособие для 
решения задач по дисциплине / М. Д. Озерский, В. Г. Исаев, 
В. В. Гончаров. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 43 с. 

ISBN 978-5-4499-1536-8  

Методическое пособие содержит задачи по оценке надежности 
элементов и систем технических объектов и методические рекомендации по 
их решению. 
Методическое пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по 
направлениям подготовки 27.03.02 «Управление качеством», 27.03.05 
«Инноватика», 
15.03.05 
«Конструкторско-технологическое 
обеспечение 
машиностроительных 
производств», 
специалистов 
24.05.01 
«Проектирование, 
производство 
и 
эксплуатация 
ракет 
и 
ракетнокосмических комплексов» и рекомендуется для использования в учебном 
процессе по техническим специальностям при изучении в вузе тематики, 
связанной с оценкой надежности технических объектов. 

УДК 811.112.2(075) 
ББК 81.432.4я73 

ISBN 978-5-4499-1536-8 
© Озерский М. Д., Исаев В. Г., Гончаров В. В., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

 

Содержание 

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМЫ 
ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛЫ БАЙЕСА) ..................................................................... 4

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
ОБЪЕКТОВ СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ ........................................... 7

3.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 
НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ .............................................................................. 11

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ .............................................. 13

5.РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАДЕЖНОСТИ 
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ .......................................................................................... 16

6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С
РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ ......................................................................................... 32

7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО
ИНТЕРВАЛА ДЛЯ КОНТРОЛИРУЕМОГО ПАРАМЕТРА ПО 
РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ ......................................................................... 37

8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ ДЕФЕКТНОСТИ ПАРТИИ
ИЗДЕЛИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОДНОСТУПЕНЧАТОГО ВЫБОРОЧНОГО 
КОНТРОЛЯ ............................................................................................................ 40 
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….41 

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И 
ТЕОРЕМЫ ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛЫ БАЙЕСА) 

Задача 1. В сборочный цех поступило 700 изоляторов, изготовленных 
на четырех заводах области: на первом заводе 350, на втором заводе 200, на 
третьем и четвертом по 75 изоляторов. В результате проверки одного из 
поступивших изоляторов произошел отказ. Определить вероятность этого 
события и вероятность того, что причиной отказа был изолятор, 
изготовленный на первом заводе, если известно, что качество изготовления 
поставляемых изоляторов заводами различное, а именно: вероятность отказа 
изолятора, изготовленного на первом заводе – 0,02, на втором заводе – 0,03, 
на третьем заводе – 0,04, на четвертом заводе – 0,05. 

Решение.  
1.
Вероятности попадания на контроль изолятора, изготовленного
соответственно первым, вторым, третьим и четвертым заводами обозначим 
через P(B1), Р(B2), Р(B3), Р(B4). 

2.
Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора обозначим
Q (А); 

3.
Вероятности отказа изолятора, изготовленного на первом,
втором, третьем и четвертом заводах обозначим Q(А ÷ В1), Q(А ÷ В2), Q(А 
÷ В3), Q(А ÷ В4); 

4.
Апостериорную вероятность отказа изолятора i–го завода
обозначим Q (Вj ÷ А). 
Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора определится по 
формуле полной вероятности наступления отказа: 


Апостериорная вероятность отказа изолятора 1-го завода определяется 
по формуле Байеса: 

Таким 
образом, 
получим 
следующие 
значения 
вероятностей, 
описанных в п.1…4. 
Вероятность поступления на контроль изоляторов, изготовленных на 
каждом из заводов; 
P (В1) = 350 ÷ 1000 = 0,35; P(В2) = 200 ÷ 1000 = 0,2; P(В3) = 75 ÷ 1000 = 0,075; 

Р(B4) = 75 ÷ 1000 = 0,075 

Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора равна: 
Q (A) = Q (А ÷ В1) + Q (А ÷ В2) + Q (А ÷ В3) + Q (А ÷ В4) = 0,35 × 0,02 + 0,2 × 

0,03 + 0,075 × 0,04 + 0,075 × 0,05 = 0,0197 

 Вероятность отказа изолятора первого завода 

Q (В1 ÷ А) = 
 А ВА= 
 ,,,0,355 

Задача 2. Рассматривается маршрут автомобиля по горной дороге, 
проходящей над пропастью. 
Если погода благоприятная (вероятность 0,8), то он не сорвется в 
пропасть и доедет до парка с вероятностью 0,9.  
Если погода неблагоприятная, то управление автомобилем переводится 
на автомат, надёжность (вероятность безотказной работы) которого равна 
0,7. В этом случае он также с вероятностью 0, 9 доедет до парка. 
Если же автомат не сработал, то водитель берет управление на себя и 
может благополучно доехать до парка только с вероятностью 0,5. Найти 
вероятность того, что водитель благополучно доедет до парка. 

Решение. Рассмотрим ситуации, при которых водитель может 
благополучно доехать до парка, определим вероятность наступления каждой 
из них и общую вероятность поездки.  

Вероятность ситуации, соответствующей благоприятной погоде и 
благополучной поездке определяется вероятностью наступления двух 
независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий. 

P1 = 0,8 × 0,9 = 0,72 

Вероятность ситуации, соответствующей неблагоприятной погоде, 
надежной передаче управления автомобилем на автомат и благополучной 
поездке 
при 
управлении 
автоматом 
определяется 
произведением 
вероятностей этих событий.  

P2 = 0,1 × 0,7 × 0,9 = 0,063 

Вероятность ситуации, соответствующей неблагоприятной погоде, 
отказу автомата, но благополучной поездке при управлении автомобилем 
вручную определяется произведением вероятностей этих событий.  

P3 = 0,1 × 0,3 × 0,1 = 0,003