Расчет пластин методом конечных элементов

Ìîñêâà

Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà

2008

Äîïóùåíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì âóçîâ
ïî óíèâåðñèòåòñêîìó ïîëèòåõíè÷åñêîìó îáðàçîâàíèþ

â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ

âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,îáó÷àþùèõñÿ
ïî íàïðàâëåíèþ
Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà
«
»

«
»
ñïåöèàëüíîñòè
Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ìàøèí

À.Å. Áåëêèí,Ñ.Ñ. Ãàâðþøèí

Ðàñ÷åò ïëàñòèí

ìåòîäîì
êîíå÷íûõ
ýëåìåíòîâ

УДК 539.3(075.8) 
ББК  22.251  
          Б43 
 
 
Рецензенты: 
кафедра «Динамика и прочность машин» Московского  
энергетического института (технического университета)  
(заведующий каф. д-р техн. наук, проф. В.П. Чирков);  
д-р техн. наук, проф. Б.Г. Попов 

 Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. 
Расчет пластин методом конечных элементов: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.  –  232 с. 

  ISBN 978-5-7038-3072-7 

В пособии приведены краткие сведения о теоретических  
основах расчета пластин при изгибе по моделям Кирхгофа и  
Тимошенко – Миндлина. Рассмотрены различные вариационные 
формулировки задачи изгиба пластин, служащие основой конечноэлементного анализа. Подробно описано построение ряда наиболее 
известных конечных элементов пластин. Рассмотрены элементы 
метода перемещений, элементы смешанного типа и гибридные элементы. Приведены результаты сравнительного анализа различных 
конечных элементов, используемых для расчета пластин.  
Для студентов специальности «Динамика и прочность машин», изучающих дисциплины «Строительная механика машин» 
и «Вычислительная механика». 
 

                                     УДК 539.3(075.8)  
                                                                                                   ББК 22.251  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Белкин А.Е., Гаврюшин С.С., 2008 
ISBN 978-5-7038-3072-7                                    © Оформление. Издательство МГТУ 
                                                                                  им. Н.Э. Баумана, 2008 

Б43 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение.....................................................................................................  
5 
1. Основные соотношения теории изгиба пластин ...........................  
9 
1.1. Теория Кирхгофа...........................................................................  10 
1.2. Вариационные формулировки теории Кирхгофа.......................  14 
1.3. Теория Тимошенко – Миндлина..................................................  24 
2. Процедуры метода конечных элементов при расчете пластин..  31  
2.1. Основные процедуры метода конечных элементов...................  31 
2.2. Вариационный метод построения матрицы жесткости  
       конечного элемента.......................................................................  35 
2.3. Условия сходимости конечно-элементных аппроксимаций...........  40 
3. Конечные элементы тонких пластин, рассчитываемых  
     по теории Кирхгофа. Построение матриц жесткости  
     и векторов узловых сил.....................................................................  43  
3.1. Треугольный элемент с шестью степенями свободы (элемент 
       Морли) ...........................................................................................  44 
3.2.Треугольный элемент с девятью степенями свободы (элемент 
      BCIZ)...............................................................................................  57 
3.3. Треугольный элемент с дискретным наложением гипотезы  
       Кирхгофа (элемент DKT) .............................................................  77 
3.4. Четырехугольный элемент дискретной теории Кирхгофа  
       (элемент DKQ)...............................................................................  86 
3.5. Треугольный элемент метода перемещений с принудительной  
       совместностью наклонов нормали...............................................  98 
3.6. Треугольный элемент гибридного метода напряжений  
       (элемент HSM)...............................................................................  108  
3.7. Элементы смешанного типа.........................................................  120  
3.8. Тестовые примеры и сравнительный анализ конечных  
       элементов теории Кирхгофа.........................................................  134 
4. Конечные элементы пластин средней толщины, построенные  
     на основе гипотезы Тимошенко – Миндлина ...............................  143 
4.1. Построение матрицы жесткости конечного элемента на основе 
       принципа минимума полной потенциальной энергии ...............  143 
4.2. Изопараметрическое представление матрицы жесткости  
       конечного элемента.......................................................................  147 

4.3. Анализ и пределы применимости конечных элементов теории 
      Тимошенко – Миндлина................................................................  149  
4.4. Элементы семейства MITC (элементы метода двойной  
       аппроксимации деформаций).......................................................  155 
4.5. Элементы смешанного типа. Независимые перемещения  
       и внутренние силы .........................................................................  162 
4.6. Элементы смешанного типа. Независимые перемещения  
       и деформации .................................................................................  175 
Заключение................................................................................................  182 
Приложения...............................................................................................  183 
П1. Естественные координаты треугольного элемента.....................  183 
П2. Локальные нормированные координаты  
       треугольного элемента...................................................................  189 
П3. Интерполяционные формулы Лагранжа и Эрмита......................  191 
П4. Гомеоморфные конформные отображения. Техника  
       изопараметрического анализа.......................................................  196 
П5. Численное интегрирование ...........................................................  201 
П6. Программа расчета пластин по теории Кирхгофа  
       с использованием элемента DKT..................................................  207 
П7. Подпрограммы формирование матрицы жесткости  
       гибридного элемента HSM............................................................  219 
П8. Подпрограммы формирования матрицы жесткости элемента 
       MITC4..............................................................................................  220 

Список литературы..................................................................................  225 
  

 

ВВЕДЕНИЕ 

Расчет тонкостенных конструкций является одним из наиболее 
сложных приложений метода конечных элементов (МКЭ) в механике деформируемого твердого тела. Несмотря на наличие большого числа публикаций по этому вопросу, построение эффективных конечно-элементных аппроксимаций для пластин и оболочек 
отнюдь не завершено. Продолжаются интенсивные разработки 
улучшенных схем формирования конечных элементов для этих 
объектов, о чем можно судить по современным публикациям в ведущих научных журналах.  
В этих условиях молодые специалисты испытывают определенные трудности в понимании разнообразных принципов создания конечных элементов для тонкостенных конструкций, в правильном выборе элементов при расчетах. Цель пособия состоит в 
том, чтобы помочь начинающим расчетчикам правильно ориентироваться среди многочисленных научных предложений. В пособии 
изложены основы применения МКЭ к анализу наиболее простого 
тонкостенного объекта – пластины, описан ряд эффективных конечных элементов для решения задачи изгиба пластин. 
Сложность построения конечных элементов для изгибаемых 
пластин объясняется следующими причинами. В теории изгиба 
пластин изначально заложена проекционная идея сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче. Поставленная цель достигается введением дополнительных гипотез, однако 
ценой снижения размерности становится повышение порядка производных искомых функций в базовом функционале теории. Для 
МКЭ в форме метода перемещений таким функционалом является 
полная потенциальная энергия системы.  
Повышение порядка производных в функционале энергии влечет за собой более жесткие требования к создаваемым конечным 
элементам. Известно [10, 11], что для обеспечения сходимости конечно-элементные аппроксимации должны удовлетворять определенным критериям. При построении конечных элементов широкое 

распространение получили так называемые достаточные условия 
сходимости (см. гл. 2). Подчеркнем, что эти требования оказываются строже, чем необходимые. Поэтому существует возможность 
построения некоторого промежуточного класса элементов, которые хотя и не удовлетворяют достаточным условиям, но тем не 
менее обеспечивают сходимость конечно-элементного решения. 
Элементы, удовлетворяющие достаточным условиям, принято 
называть конформными элементами, а элементы, не удовлетворяющие этим требованиям, – неконформными. 
В теории тонких пластин Кирхгофа удовлетворение достаточным условиям сходимости МКЭ представляет собой весьма сложную проблему. В этой теории функционал энергии деформаций 
зависит от вторых производных искомой функции прогиба. Поэтому для построения конформных элементов необходимо использовать интерполяционные функции С1-непрерывности. С позиций 
гладкости в совместных конечных элементах требуется обеспечить непрерывность функции прогибов и ее первых производных 
(углов поворота нормали) при переходе через границы элементов. 
Для удовлетворения условиям совместности элементов приходится идти на существенные усложнения, связанные с удержанием в 
узлах сетки дополнительных степеней свободы, и находить оригинальные приемы конструирования элементов либо использовать 
специальные методы для ослабления вышеупомянутых требований. 
Альтернативой элементам, построенным на основе классической 
теории Кирхгофа, являются конечные элементы, созданные с использованием сдвиговых теорий пластин. Такие теории изначально 
разрабатывались для расчета толстых пластин, пластин средней 
толщины и многослойных пластин. С позиций конечно-элементного 
анализа основное достоинство сдвиговых теорий пластин состоит в 
том, что в этих теориях за счет введения дополнительных гипотез не 
повышается порядок производных перемещений в функционале 
энергии. Следствием являются не столь жесткие как для теории 
Кирхгофа требования к гладкости интерполяционных функций, которые должны удовлетворять условиям лишь С0-непрерывности. 
К наиболее известным сдвиговым теориям следует отнести 
теорию, основанную на гипотезе о линейном распределении перемещений по толщине пластины. Нынешнее состояние этой теории 
базируется на трудах таких известных ученых, как С.П. Тимошенко, Э. Рейсснер, Р. Миндлин, опубликованных в разное время. За 

рубежом эту теории принято называть теорией Миндлина, мы будем придерживаться названия теории Тимошенко – Миндлина. 
Все основные функционалы теории Тимошенко – Миндлина могут быть получены из функционалов трехмерной теории упругости, 
содержащих производные перемещений только первого порядка. 
Это обстоятельство позволяет применить для расчета пластин практически весь спектр конечно-элементных построений, изначально 
использовавшихся для решения плоских задач теории упругости. 
Вместе с тем следует отметить, что первые попытки применить 
конечные элементы теории Тимошенко – Миндлина к расчету тонких пластин привели к неудовлетворительным результатам. Возникающие трудности являются следствием асимптотической непоследовательности самой теории. Для элементов, построенных на  
базе гипотез Тимошенко – Миндлина, при уменьшении толщины 
пластины решение должно асимптотически стремиться к решению 
Кирхгофа, т. е. в пределе при уменьшении толщины поперечносдвиговая жесткость элементов должна стремиться к бесконечности, а энергия поперечных сдвигов – к нулю. К сожалению, этого не 
происходит. Поэтому свойства конечных элементов теории Тимошенко – Миндлина по мере уменьшения толщины пластины резко 
ухудшаются, что приводит к плохой обусловленности разрешающих уравнений и к неверным результатам. Нежелательный эффект, 
присущий этим элементам, получил в литературе специальное название: эффект запирания, или заклинивания (the locking effect). 
Чтобы подправить решение, прибегают к искусственному завышению поперечно-сдвиговой жесткости элементов посредством 
использования формул усеченного интегрирования и некоторых 
других приемов, что позволяет распространить область применения конечных элементов теории Тимошенко – Миндлина на расчет тонких пластин. 
Пособие состоит из четырех глав и приложения. 
В первой главе кратко изложены основные соотношения двух 
теорий изгиба пластин: теории Кирхгофа и теории Тимошенко – 
Миндлина. Основное внимание здесь уделено вариационным формулировкам задачи. 
Во второй главе описаны общие процедуры конечно-элементного анализа, ориентированные, главным образом, на применение 
метода перемещений. 
В третьей главе подробно изложено построение ряда наиболее 
известных конечных элементов пластин Кирхгофа. Рассмотрены 

элементы метода перемещений, элементы смешанного типа, а 
также гибридные элементы. 
Четвертая глава посвящена описанию наиболее простых конечных элементов сдвиговой теории Тимошенко – Миндлина. 
Приложение содержит необходимые сведения о вспомогательных процедурах МКЭ и тексты вычислительных программ. 
Материал в пособии распределен следующим образом: § 1.1, 
1.2, 4.4 – 4.6, глава 3 и приложения 1, 2, 6–8 написаны А.Е. Белкиным; § 1.3, 4.1 – 4.3, глава 2, приложения 3–5 и заключение –  
С.С. Гаврюшиным. 
 

 

 

Глава 1  

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ  
ТЕОРИИ ИЗГИБА ПЛАСТИН 

Теория изгиба пластин подробно изложена во многих учебных 
и научных изданиях [1, 2, 9, 19, 20], поэтому ниже приведены 
лишь краткие сведения, необходимые для построения конечных 
элементов. Основное внимание уделено вариационным формулировкам задачи. 
Рассматриваемая теория относится к однородным и неоднородным пластинам, обладающим симметрией упругих свойств относительно срединной плоскости. У таких пластин искривления 
срединной плоскости при малых прогибах происходят без деформации расположенных в ней элементов, т. е. срединная плоскость 
является нейтральной. Точки срединной плоскости получают перемещения только в направлении нормали к ней. 

Рис. 1.1. Пластина произвольного очертания, нагруженная   
распределенными внешними силами p 
 
Для формулировки уравнений изгиба будем рассматривать 
пластину в декартовой системе координат, расположив оси ,x y  в 
срединной плоскости и направив ось z по нормали к этой плоскости (рис.1.1). 

1.1. Теория Кирхгофа 

Теория тонких пластин построена на основе кинематической и 
статической гипотез Кирхгофа. Согласно кинематической гипотезе, линейные элементы пластины, первоначально нормальные к ее 
срединной плоскости, остаются прямыми и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют длины. Из 
этого следует, что углы поворота 
нормали θ , θ
x
y  равны углам накло
на касательных к искривленной срединной поверхности (рис. 1.2), которые определяются как частные производные нормального перемещения 
( ,
)
w x y  точек срединной плоскости: 

                 θ
, ;
x
x
w
=
 θ
, .
y
y
w
=
       (1.1) 

Здесь и далее в основном тексте используется сокращенное обозначение производных. Дифференцирова
ние функций обозначается запятой с последующим указанием аргументов. Например, 

, ;
, .
x
y
w
w
w
w
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
 

Тангенциальные перемещения точек пластины распределены 
по ее толщине по линейному закону 

 
θ ;
x
u
z
= −
     
θ ,
y
v
z
= −
   
(1.2) 

нормальные перемещения не зависят от координаты ,z  т. е. для 
всех точек одной нормали они одинаковы и совпадают с перемещением точки срединной плоскости: 

 
( ,
).
w
w x y
=
     
                      (1.3) 

Перемещениям (1.2), (1.3) соответствуют деформации 

   
ε
,
,
; ε
,
,
; γ
,
,
2
,
;

ε
,
0; γ
,
,
0; γ
,
,
0.

x
x
xx
y
y
yy
xy
y
x
xy

z
z
xz
z
x
yz
z
y

u
zw
v
zw
u
v
zw

w
u
w
v
w

=
= −
=
= −
=
+
= −

=
=
=
+
=
=
+
=
(1.4)  

Рис. 1.2. Иллюстрация кинема  тической гипотезы Кирхгофа 

Введя вектор (матрицу-столбец) деформаций 

 
 { }
{ε
ε
γ
}
x
y
xy
=
ε
              
           (1.5) 

и вектор кривизн изогнутой срединной поверхности 

  
{ }
{χ
χ
2χ
}
x
y
xy
=
χ
     
                   (1.6) 

с компонентами 

 
χ
,
;
x
xx
w
=
χ
,
;
y
yy
w
=
χ
,
,
xy
xy
w
=
    
         (1.7) 

представим деформационные соотношения (1.4) в виде 

   
{ }
{ }.
z
= −
ε
χ
                
         (1.8) 

Связь напряжений с деформациями устанавливается с привлечением статической гипотезы о малости нормального напряжения σz  
в площадках, параллельных срединной плоскости пластины. Для 
пластины из упругого материала, подчиняющегося закону Гука, 

 
{ }
[ ]{ }
[ ]{ },
z
=
= −
σ
E ε
E χ
            
    (1.9) 

где { }
{σ
σ
τ
}
x
y
xy
=
σ
 – вектор напряжений в слое, отстоящем 

на расстоянии z от срединной плоскости; [ ]
E  – матрица коэффи
циентов упругости для плоского напряженного состояния. 
В случае изотропного материала 

 
2

1
0
[ ]
1
0
,
1
μ
0
0
(1
μ)/2

E
μ
⎡
⎤

⎢
⎥
=
μ
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

E
 
      (1.10) 

где E  – модуль Юнга; μ  – коэффициент Пуассона. 
Действующие в пластине напряжения приводятся к ее срединной плоскости, т. е. заменяются статически эквивалентными усилиями и моментами (рис.1.3). 

Рис. 1.3. Напряжения, действующие по граням элемента пластины (а), и статически эквивалентные им погонные моменты  
                                                  и силы (б) 

Напряжениям { }
{σ
σ
τ
}
x
y
xy
=
σ
 эквивалентны моменты 

{
}
{
},
x
y
xy
M
M
M
=
M
 определяемые по формуле 

 

/ 2

/ 2
{
}
{ } d .

h

h

z
z

−
= − ∫
M
σ
 
                  (1.11) 

С учетом соотношений упругости (1.9) 

 
{
}
[ ]{ },
=
M
D χ
     
                  (1.12)