Теория и применение электростатических подвесов

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 681.586.2 
ББК 22.213 
  В201 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
кафедра «Техническая кибернетика и информатика» 
 Саратовского государственного технического университета 
 (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю.В. Садомцев); 
 д-р техн. наук, проф. В.Н. Митрохин (МГТУ им. Н.Э. Баумана); 
 канд. техн. наук, доц. В.Н. Герди (МГТУ им. Н.Э. Баумана) 
 
 
 
Васюков С. А.  
Теория и применение электростатических подвесов / 
С. А. Васюков, Г. Ф. Дробышев. – М. : Изд-во МГТУ им. 
Н. Э. Баумана, 2009. – 336 с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3284-4 
 
Изложены вопросы теории активных электростатических 
подвесов, применяемых для прецизионного центрирования 
подвижных систем гироскопов и акселерометров. Разработаны 
математические модели сферического и цилиндрического подвеса, исследованы их силовые и моментные характеристики. 
Значительное внимание уделено оптимизации динамических 
характеристик подвеса в условиях ненулевого потенциала ротора и построению автоматизированной методики проектирования подвеса. Приведены примеры расчета подвесов различных типов.  
Рассмотрен ряд практических схем электронных блоков 
подвесов, среди которых особое внимание уделено импульсному подвесу с регулированием по принципу широтно-импульсной модуляции. 
Монография написана по материалам исследований, проводившихся в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для инженерно-технических и научных работников, студентов и аспирантов приборостроительных специальностей. 
 
 
УДК 681.586.2 
ББК 22.213 
 
 
 
 
© Васюков С. А., Дробышев Г. Ф., 2009 
© Оформление. Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3284-4                           им. Н. Э. Баумана, 2009 

 
 
 
 
 
 
 
 
 В201 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................ 
5 
Введение .................................................................................................. 
8 
Глава 1. Принципы построения  электростатических подвесов............. 17 
1.1. Базовая схема электростатического подвеса.......................... 17 
1.2. Аналоговые электростатические подвесы.............................. 24 
1.3. Импульсные и аналогово-импульсные подвесы .................. 53 
Глава 2. Математическая модель электростатического подвеса как 
            системы заряженных проводников ........................................... 64 
2.1. Уравнения связи зарядов и потенциалов на проводниках 
      подвеса .................................................................................... 64 
2.2. Распределение потенциала в цилиндрическом подвесе ....... 67 
2.3. Распределение потенциала в сферическом подвесе.............. 76 
2.4. Коэффициенты электростатической индукции ................... 80 
Глава 3. Силообразование в электростатических подвесах ................... 88 
3.1. Силы и моменты в ЭСП ......................................................... 88 
     3.1.1. Вычисление сил для СЭСП ........................................... 91 
     3.1.2. Вычисление сил и моментов для ЦЭСП ...................... 95 
3.2. Законы управления потенциалами на электродах и датчи- 
      ки перемещений ...................................................................... 99 
3.3. Потенциал ротора в ЭСП........................................................ 112 
3.3.1. Потенциал ротора в ЦЭСП ............................................ 114 
3.3.2. Потенциал ротора СЭСП (треугольные электроды)..... 129 
3.3.3. Потенциал ротора СЭСП (сегментные электроды)...... 136 
3.4. Силовые характеристики ЭСП ............................................... 141 
3.4.1. Силовые характеристики СЭСП (сегментные элект- 
        роды)................................................................................. 141 
3.4.2. Силовые характеристики СЭСП (треугольные элект- 
        роды)................................................................................. 156 
3.4.3. Силовые характеристики ЦЭСП.................................... 165 
Глава 4. Динамика и проектирование электростатических подвесов .... 178 
4.1. Динамика и проектирование сферического подвеса с сег- 
     ментными электродами ........................................................... 180 
4.1.1. Выбор основных статических параметров подвеса 
        на постоянном токе с сегментными электродами ........ 181 
4.1.2. Линейная одномерная динамическая модель подвеса 
        с сегментными электродами при статическом регули- 
        ровании ........................................................................... 184 
4.1.3. Нелинейная динамическая модель подвеса с сегмент- 
        ными электродами при статическом регулировании.... 190 
4.1.4. Динамика астатического подвеса с сегментными 
        электродами .................................................................... 202 
4.1.5. Динамика импульсного подвеса с сегментными элект- 
        родами .............................................................................. 210 
4.2. Динамика и проектирование сферического подвеса с тре- 
     угольными электродами ........................................................... 220 

4.3. Динамика цилиндрического подвеса ..................................... 233 
4.3.1. Уравнения движения тел в ЦЭСП................................. 233 
4.3.2. Структурные схемы и передаточные функции звеньев 
        системы регулирования ЦЭСП ...................................... 237 
4.3.3. Расчет электромеханических параметров ЦЭСП.......... 246 
4.3.4. Определение гидродинамических параметров ЦЭСП.... 252 
4.3.5. Исследование динамических характеристик ЦЭСП..... 256 
4.4. Влияние случайного заряда на стабильность  центрирова- 
      ния ротора электростатического подвеса .............................. 263 
4.5. Цифровое управление подвесом............................................. 277 
4.5.1. Особенности цифрового регулирования и рекоменда- 
        ции по выбору микроконтроллера ................................. 277 
4.5.2. Дискретная коррекция .................................................... 282 
4.6. Методики проектирования подвесов ..................................... 287 
4.6.1. Методика проектирования сферического подвеса с 
        сегментными электродами.............................................. 288 
4.6.2. Методика проектирования сферического подвеса с 
        треугольными электродами............................................. 290 
4.6.3. Методика проектирования ЦЭСП ................................. 292 
Глава 5. Конструирование электростатических опор ............................. 295 
5.1. Конструкции приборов с электростатическими опорами.... 295 
5.2. Схемотехника электростатических опор................................ 303 
Список литературы ................................................................................. 318 
Приложение............................................................................................. 323 
П1. Коэффициенты электростатической индукции сферичес- 
      кого подвеса с электродами в виде правильных сферичес- 
      ких треугольников ................................................................... 323 
П2. Коэффициенты электростатической индукции сфери- 
      ческого подвеса с электродами в виде сферических сег- 
      ментов....................................................................................... 327 
П3. Коэффициенты электростатической индукции цилиндри- 
      ческого подвеса ...................................................................... 329 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В настоящее время известно множество различных опор 
(подвесов), применяемых в датчиках первичной информации 
электромеханического типа, которые в той или иной степени 
удовлетворяют требованиям по продолжительности и устойчивости работы в любой среде при малых и высоких скоростях, по 
близким к нулю возмущающим моментам и т. д. Однако больших успехов в решении проблемы точности и качества первичных преобразователей удалось достигнуть благодаря применению новых физических принципов построения подвесов. Главным достижением исследований последних десятилетий явилась 
разработка и практическое использование электромагнитных и 
электростатических подвесов, где вес взвешиваемого тела и действующие на него нагрузки уравновешиваются без механического контакта с элементами конструкции силами магнитного или 
электрического поля, создаваемого в рабочем зазоре. Подвесы 
этого типа обеспечивают как работу на сверхвысоких скоростях 
без износа, шума и вибрации, так и получение крайне малых 
возмущающих моментов. Долговременность их работы определяется возможностями электронной аппаратуры, безотказность 
которой гарантируется в течение десятков лет. Необходимо, однако, представлять круг проблем, возникающих при создании 
таких подвесов. Ограниченная жесткость электромагнитных и 
электростатических подвесов, отсутствие в них физического 
демпфирования, необходимость иметь хорошие динамические 
характеристики в условиях подвижного основания выдвигают 
целый комплекс задач, решение которых возлагается на электронную часть опоры. Одна из наиболее трудных проблем связана с уменьшением возмущающих моментов, обусловленных 
несовершенством исходных материалов элементов опоры и технологией ее изготовления, причем степень их проявления во 
многом зависит от правильного выбора конструкции и схемотехнического обеспечения. 
В монографии изложена теория электростатического подвеса, особое внимание уделено вопросам влияния потенциала и 
заряда ротора на силовые характеристики и динамику подвеса. 
При формировании математической модели подвеса использо

вался асимптотический подход и методы теории возмущений. 
Динамические модели подвесов различных типов и методики их 
проектирования реализованы с использованием пакета Матлаб 2006. 
Книга состоит из введения и пяти глав. В главе 1 дано описание и многоуровневая классификация всех возможных видов 
электростатических подвесов. На примере анализа публикаций, 
в основном зарубежных, показана история развития и текущее 
состояние проблемы.  
Глава 2 посвящена формированию модели подвеса как системы заряженных проводников. Для расчета сил и моментов, 
действующих на проводящий ротор, требуется предварительно 
найти распределение потенциала поля в промежутке ротор–
камера. Это распределение устанавливается по результатам решения уравнения Лапласа при соответствующих граничных условиях на элементах подвеса. Известны два основных подхода 
определения главного вектора и главного момента пондеромоторных сил. В первом из них в результате решения краевой задачи определяется плотность пондеромоторных сил на поверхности ротора, что позволяет после интегрирования найти выражения силовых функций. Второй подход – именно его 
применили авторы – основан на вычислении коэффициентов 
электростатической индукции системы проводников, образующих подвес. С использаванием свойства суперпозиции потенциального поля были определены структуры полей, соответствующих случаям, когда только один из электродов несет единичный 
потенциал, а все остальные обнулены. Такое расчленение задачи позволило последовательно решить вопрос о распределении 
потенциала для каждого случая и, применяя закон Гаусса, найти все коэффициенты электростатической индукции подвеса. 
В главе 3 рассмотрено решение задачи нахождения обобщенных силовых характеристик сферического и цилиндрического 
подвеса. Взвешивание тела в электростатическом подвесе становится возможным, если ввести регулирование потенциалов на 
электродах. В результате анализа законов управления потенциалами в подвесах на постоянном токе, переменном токе и импульсных подвесах с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) 
установлены законы управления, обеспечивающие минимизацию 
индуцированной составляющей потенциала ротора. Особое внимание уделено исследованию глубины перекрестных связей и 
проблемам построения равножесткого подвеса. 
В главе 4 приведен анализ электростатического подвеса как 
динамической системы. На основе уравнений движения по

строены многосвязные нелинейные имитационные модели сферического шести- и восьмиэлектродного подвесов, а также подвеса с цилиндрическим ротором. Рассмотрена методика параметрического синтеза при статических и астатических законах 
регулирования. По результатам исследований предложены инженерные автоматизированные методики проектирования подвесов различных типов, по которым можно рассчитать основные электромеханические параметры, обеспечивающие устойчивую работу подвеса в условиях заданных перегрузок.  
В этой главе также исследуется влияние случайного заряда 
ротора на стабильность и точность центрирования. На основе 
аналитических расчетов и экспериментальных исследований показано, что наилучшими в этом плане являются импульсные 
двухполярные подвесы. Рассмотрены вопросы построения цифровых регуляторов в электростатических подвесах с ШИМ. 
Глава 5 посвящена основам конструирования подвесов. Проанализирован ряд практических схем построения емкостных 
датчиков перемещения и выходных высоковольтных каскадов 
для различных типов подвесов. 
В книге нашли отражение результаты теоретических и экспериментальных исследований, которые проводились авторами 
в МГТУ им. Н.Э. Баумана на протяжении последних 40 лет.  

ВВЕДЕНИЕ 

Датчики первичной информации электромеханического типа, применяемые в системах управления движением, содержат 
различные опорные узлы и подвесы. 
Согласно классификации, указанной в [55], а также с учетом появившихся в печати сведений о новых принципах организации опор [23], опоры вращающихся систем приборов можно разделить на группы, которые представлены на рис. В1. 
В точном приборостроении, и в частности в гироскопических устройствах, в качестве опор нашли широкое применение 
опоры качения на базе шариковых подшипников, которые 
имеют меньшие потери на трение. В зависимости от назначения главным критерием, характеризующим качество подшипников, является либо его долговечность (подшипники главных 
опор), либо момент сил трения (подшипники чувствительных 
опор). Существующая методика расчета долговечности, подробно изложенная, например, в [21, 55], позволяет установить 
зависимость между нагрузкой и сроком службы подшипника в 
часах при заданных рабочих числах оборотов. При этом в качестве предельного состояния подшипника часто выбирают 
какую-либо предельную величину момента трения. Однако 
расчет момента трения в подшипниках связан со значительными трудностями, так как невозможно учесть с необходимой 
достоверностью влияние упругих свойств элементов подшипника, чистоты обработки поверхности, распределения нагрузки 
между телами качения, свойств смазки, скорости, температуры, времени приработки и других факторов, поэтому определение долговечности происходит при введении в расчетные 
формулы поправочных коэффициентов, известных из эксперимента и учитывающих специфику работы таких опор. В среднем 
долговечность скоростных опор h по данным [21] оценивается 
в зависимости от частоты вращения: при 
3
15 10
n ≤
⋅
 об/мин – 

≤
⋅
3
15 10
h
 ч, при 
3
30 10
n ≤
⋅
 об/мин – 
3
4 10
h ≤
⋅
 ч, при n ≤ 

3
60 10
≤
⋅
 об/мин – 
≤
⋅
3
0,5 10
h
 ч. 

Рис. В1. Классификация опор 

Для подшипников, применяемых в чувствительных опорах 
акселерометров и гироскопов, основным критерием качества 
является величина момента трения и его стабильность. Известные сейчас методы снижения момента трения в опорах сводятся 
к следующим приемам: применение специальных подшипников, 
предварительная приработка подшипников, принудительное 
движение подшипника по отношению к цапфе. 
Несмотря на применение указанных методов, трение в опорах остается все же значительным. 
Опоры скольжения нашли применение в силу особенных 
свойств, обнаруживаемых между трущимися поверхностями тел с 
промежуточным слоем смазки. При достаточной толщине этого 
слоя сопротивление относительному движению обусловлено, в 
основном, внутренним трением в самой смазке, которое во много раз меньше сухого трения. Газ или жидкость, подаваемые в зазор между пятой и подшипником или между цапфой и вкладышем, должны обладать малым коэффициентом вязкости, быть 
нечувствительными к резким колебаниям температуры, не должны иметь осадков. На величину моментов трения в опорах подвеса существенное влияние, в частности, оказывает вязкость среды. 
Данные, приведенные в [7, 53, 57], а также экспериментальные 
исследования других авторов показывают, что в настоящее время 
лучшей поддерживающей средой является газовая. 
Несущая способность газодинамического подшипника зависит от угловой скорости вращения вала, величины среднего начального радиального зазора, вязкости и давления окружающей 
среды. При относительно малой вязкости газа повышение несущей способности приводит к уменьшению рабочих зазоров, 
что выдвигает высокие требования к точности и чистоте обработки рабочих поверхностей подшипников. В настоящее время 
газодинамические подшипники применяют при удельных нагрузках 
4
2
(1...7) 10 Н/м .
⋅
 
В газостатических подшипниках для смазки используется 
газ под давлением, превышающим давление окружающей среды 
и достигающим 
4
2
35 10 Н/м .
⋅
 Оценивая этот тип опор, можно 
заметить, что их несущая способность не зависит от скорости 
вращения вала и почти не зависит от вязкости, а момент трения, благодаря полному всплытию, в несколько раз меньше, 
чем в газодинамических опорах. Сравнивая газовые подшипники с подшипниками качения, следует отметить такое преимущество, как слабая зависимость от рабочих температур окружающей среды. В существующих конструкциях с обычными под