Упругие свойства твердых тел

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2020

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

УПРУГИЕ СВОЙСТВА
ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
03.03.02 «Физика», 21.03.03 «Геодезия и дистанционное зондирование»,
27.03.01 «Стандартизация и метрология», 27.03.05 «Инноватика»,
28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника»,
05.03.04 «Гидрометеорология»,
по специальности 03.05.01 «Астрономия»

УДК 539.21(075.8)
ББК 22.37я73
        У67

Учебно-методическое пособие посвящено основам физики твердого тела
и его упругих свойств. Оно содержит информацию о классификации твердых
тел, различных состояниях и строении, видах деформации, механических напряжениях, а также описание лабораторных работ по изучению упругих свойств
твердых тел.
Может быть полезно студентам младших курсов для углубления и расширения знаний при изучении раздела «Механика» курса общей физики и подготовки к более глубокому изучению физики твердого тела в рамках спецкурсов.

Упругие свойства твердых тел : учебно-методическое пособие / [Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, В. А. Шихова и др.] ;
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет. – Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2020. – 108 с. : ил. – Библиогр.: с 105–106. –
30 экз. – ISBN 978-5-7996-3023-2. – Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3023-2

У67

ISBN 978-5-7996-3023-2

А в т о р ы:
Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, В. А. Шихова, Е. А. Вилисова,
В. Г. Черняк, С. И. Студенок, Н. В. Селезнева, Е. А. Михалицына

П о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й
В. А. Шиховой

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра физики и математического моделирования
Уральского государственного педагогического университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор В. Е. Сидоров);
Г. Ш. Болтачев, доктор физико-математических наук
(Институт электрофизики УрО РАН)

УДК 539.21(075.8)
ББК 22.37я73

© Уральский федеральный университет, 2020

На обложке:
Демонстрация растяжения пружин с разными коэффициентами жесткости.
Рисунок Е. А. Михалицыной

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов ................................................................................................................ 4

1.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ .......................................................... 6
1.1. Кристаллическое состояние твердых тел .............................................. 10
1.1.1. Строение кристаллических тел ..................................................... 10
1.1.2. Виды кристаллов (ионные, ковалентные,
металлические, молекулярные) ................................................... 17
1.1.3. Анизотропия как важное свойство кристаллических тел ........ 23
1.2. Аморфное состояние твердых тел ......................................................... 25
1.2.1. Аморфные металлические сплавы и их получение ................. 29
1.2.2. Структура и свойства аморфных металлических сплавов ..... 36
1.3. Нанокристаллическое состояние твердых тел ..................................... 45
1.3.1. Получение нанокристаллических материалов .......................... 46
1.3.2. Свойства нанокристаллических материалов ............................. 49

2.  ИЗУЧЕНИЕ  УПРУГИХ СВОЙСТВ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ ............................... 53
2.1. Виды деформаций ..................................................................................... 53
2.2. Геометрические свойства упругих деформаций ................................ 57
2.3. Внутренние силы и напряжения ............................................................. 59
2.4. Принцип Сен-Венана ................................................................................ 60
2.5. Связь между деформацией и напряжением ........................................ 62
2.6. Изгиб. Усилия и деформации при изгибе стержней ............................. 65
2.7. Кручение. Деформации и напряжения при кручении ..................... 73

Лабораторная работа 1-УС
Определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба ... 77

Лабораторная работа 2-УС
Изучение упругих свойств материалов ........................................................... 88

Лабораторная работа 3-УС
Определение модуля кручения проволоки ..................................................... 97

Библиографический список  ............................................................................ 105

ОТ  АВТОРОВ

Учебно-методическое пособие посвящено основам физики
твердого тела и его упругих свойств. В процессе изучения у студентов должно сформироваться современное представление о строении твердых тел, их структуре; они должны познакомиться с физическими процессами, которые протекают в твердых телах при механическом воздействии на них.
Пособие включает материал раздела «Механика» курса общей
физики.
Первый раздел пособия содержит информацию о классификации твердых тел, различных состояниях и их строении. Особое
внимание уделено сравнительно новым перспективным аморфным
и нанокристаллическим материалам.
Второй раздел посвящен изучению упругих свойств твердых
тел. В нем содержится информация о видах деформаций, напряжениях, рассматриваются деформации изгиба и кручения.
В пособии представлены описания трех лабораторных работ,
посвященных изучению упругих свойств твердых тел (определение модулей упругости, сдвига и кручения), которые предлагаются
к выполнению при изучении курса «Механика».
Материал, представленный в пособии, способствует углублению и расширению знаний по курсу общей физики (раздел «Механика») и подготовке студентов к более глубокому изучению физики твердого тела в рамках спецкурсов.
Рекомендовано студентам университета, специализирующимся в области физики и астрономии, а также обучающимся по инженерно-техническим направлениям. Может быть использовано студентами, специализирующимися в области химии и биологии.
Данное пособие – результат работы коллектива авторов – сотрудников департамента фундаментальной и прикладной физики
и кафедры физики конденсированного состояния и наноразмер

ных систем Института естественных наук и математики УрФУ.
В создании пособия принимали участие профессора, доктора физико-математических наук Н. А. Скулкина и В. Г. Черняк; доценты,
кандидаты физико-математических наук С. Г. Колчанова, С. И. Студенок, В. А. Шихова, Е. А. Вилисова, Н. В. Селезнева, Е. А. Михалицына.
Авторы выражают благодарность К. Н. Иванову за постановку
лабораторных работ.

1.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

Твердые тела составляют большую часть объектов окружающего нас мира. По структурному состоянию можно выделить три
основных типа твердых тел: кристаллические, квазикристаллические и аморфные.
Кристаллические тела характеризуются упорядоченным расположением атомов или молекул, и этот порядок распространяется на неограниченно большие расстояния, т. е. в кристалле наблюдается дальний порядок (рис. 1.1, а). Аморфные тела (например,
стекла) подобны очень густым жидкостям, у которых отсутствует
дальний порядок, но атомная структура имеет ближний порядок,
т. е. повторяемость в расположении атомов наблюдается на расстояниях, соизмеримых с расстояниями между самими атомами
(рис. 1.1, б). В кристаллах же порядок является непременным атрибутом, причем он распространяется на весь объем кристалла.
Если рассматривать реальный кристалл, то в нем всегда имеются
микро- или макронарушения порядка, которые сказываются на свойствах кристалла. Квазикристаллы, оставаясь упорядоченными,
в отличие от кристаллов не обладают важнейшим качеством –
периодичностью.
Иногда разделение на стекло и аморфное вещество делают
на основе структурных различий. При этом обычно полагают, что
в том и другом случае нет дальнего порядка, но существует ближний порядок и он не одинаков в стекле и аморфном веществе. Считается, что ближний порядок в аморфном теле аналогичен кристаллическому, а для стекла характерен ближний порядок жидкости.
Такое определение сближает аморфное тело с нанокристаллом.
Согласно другой классификации к аморфным веществам относятся все неупорядоченные твердые тела независимо от их предыстории (метода приготовления). Стеклом при таком разделении
называют некристаллическое тело, полученное быстрым охлаж

Рис. 1.1. Кристаллическая (а) и аморфная (б) структуры
твердого тела

а
б

дением из жидкого состояния. Это определение привязано к методу его получения, т. е. стекло – это неорганический продукт плавления, который затвердевает без кристаллизации.
Таким образом, понятие «аморфное твердое состояние» вещества шире, чем понятие «стеклообразное состояние»: стекла всегда аморфны, но не все аморфные вещества – стекла. Получение
стеклообразного состояния возможно в тех случаях, когда удается
избежать кристаллизации.
Аморфное состояние не является равновесным, оно возникает
в результате присутствия кинетических факторов, например температуры или давления, и переходит в равновесную кристаллическую структуру за счет диффузионных тепловых смещений атомов,
которые могут быть очень велики.
Статистически (с макроскопической точки зрения) аморфные
тела и жидкости являются телами изотропными, их физические
свойства не зависят от направления, в то время как анизотропия –
основное свойство кристаллического состояния. У анизотропных материалов свойства в различных направлениях разные.
Главная особенность, отличающая стеклообразное состояние
от других аморфных состояний, – это то, что у стекла существует
обратимый переход из стеклообразного состояния в расплав и из расплава в стеклообразное состояние. Это свойство характерно только
для стекла. У других типов аморфных состояний при нагревании

происходит переход вещества сначала в кристаллическое состояние и лишь при повышении температуры до температуры плавления – в жидкое. В стеклообразующих расплавах постепенное возрастание вязкости расплава препятствует кристаллизации вещества,
т. е. переходу в термодинамически более устойчивое состояние.
Процесс стеклования характеризуется температурным интервалом
Т – интервалом стеклования.
Исследования структуры аморфных металлических сплавов показали, что, каким бы способом они ни были получены, их структура не находится в состоянии метастабильного равновесия. Метастабильное состояние – состояние неполного равновесия системы,
в котором система может находиться достаточно продолжительное
время и перейти в более устойчивое состояние под действием внешних факторов или самопроизвольно. Процесс перехода аморфной фазы в свое метастабильное равновесное состояние при температуре
ниже температуры стеклования называют структурной релаксацией. В результате структурной релаксации происходит изменение многих физических свойств: увеличение плотности и вязкости, уменьшение внутреннего трения и электрического сопротивления, замедление процессов диффузии. На основании этих изменений можно
судить об изменениях ближнего порядка в расположении атомов.
В настоящее время активно развивается наука о малоразмерных объектах (nanoscience) – совокупность знаний о свойствах веществ и явлений в нанометровом масштабе (структурные элементы нанообъектов имеют размеры порядка 0,1–100 нм).
По размерному признаку нанообъекты делят на три типа. Квазинульмерные (0D) – это наночастицы (кластеры, коллоиды, нанокристаллы), содержащие от нескольких десятков до нескольких тысяч атомов, сгруппированных в связки или ансамбли в форме клетки.
Квазиодномерные (1D) – это цилиндрические объекты (нановолокна, наностержни, нанопроволоки) с одним измерением в несколько микрон и двумя нанометровыми. В данном случае один характерный размер объекта по крайней мере на порядок превышает
два других, физики их называют «квантовые провода». Нанообъекты
двумерные (2D) – это покрытия или пленки толщиной в несколько

нанометров на поверхности блочного материала. В этом случае
только одно измерение (толщина) нанометровое, два других являются макроскопическими. Среди наноматериалов выделяют следующие основные разновидности (хотя разделение довольно условное):
– консолидированные наноматериалы – пленки и покрытия
из металлов, сплавов и соединений, получаемые, например, интенсивной пластической деформацией или контролируемой кристаллизацией из аморфного состояния;
– нанополупроводники;
– нанополимеры;
– нанобиоматериалы;
– фуллерены – например, кластеры углерода С60 и С70;
– тубулярные наноструктуры – например, углеродные нанотрубки;
– катализаторы;
– нанопористые материалы – характеризуются размером пор
менее 100 нм;
– супрамолекулярные структуры – наноструктуры с образованием слабых связей между молекулами.
Свойства наноматериалов определяются их структурой, для которой характерно обилие поверхностей раздела (межзеренных
границ и тройных стыков – линий встречи трех зерен). Изучение
структуры является одной из важнейших задач наноструктурного
материаловедения. Дифракционные методы исследования наноматериалов позволяют получить информацию о размере кристаллитов, о распределении зерен по размерам, о толщине и количестве
слоев в многослойных нанообъектах.
Считают, что наночастица – это квазинульмерный нанообъект,
у которого все характерные линейные размеры имеют один порядок величины. Если наночастицы упорядочены, то такой материал
называют нанокристаллическим. Интерес к исследованию нанокристаллических материалов вызван возможностью реализовать
в них высокие физико-механические и физико-химические свойства
и, следовательно, возможностью получения принципиально новых устройств и материалов с характеристиками, принципиально
отличными от существующих ныне.

1.1. Кристаллическое состояние
твердых тел

1.1.1. Строение кристаллических тел
Известно, что любой макроскопический объект имеет внутреннее микроскопическое строение, которое определяется взаимным расположением как отдельных относительно больших частей
рассматриваемого объекта, так и атомов химических элементов,
из которых состоит объект. Основной характерной чертой кристалла является его трехмерно-периодическое строение. Отсюда вытекает фундаментальное понятие кристаллической структуры.
Кристаллическая структура – трехмерно-периодическая совокупность химически связанных атомов, которая соответствует симметрии кристалла. Следствием такого строения кристаллических
веществ является наличие в них не только ближнего, но и дальнего
порядка. Кристаллическую структуру можно считать бесконечной
из-за большого количества атомов в кристалле. При рассмотрении
кристаллической структуры необходимо учитывать и характер химической связи между атомами.
Поскольку в кристаллах основным показателем является порядок, то для описания их структуры необходимо точное знание
о симметрии как проявлении порядка. Рассмотрим для начала конечные предметы – фигуры. Под термином «фигура» подразумевается любое множество неподвижных друг относительно друга точек. Фигура, отдельные части которой мысленно могут быть совмещены друг с другом посредством операций поворотов и/или
отражений, называется симметричной.
Чтобы описать кристаллическую структуру, вводится понятие
«кристаллическая решетка».
Кристаллическая решетка – абстрактный математический
образ, позволяющий фиксировать расположение частиц в пространстве. На рис. 1.2 представлены элементы кристаллической решетки.
В силу идеальности и симметрии кристалла существуют три
таких вектора ,
и
а b
с



 (рис. 1.3), называемых векторами элементарных трансляций, что при рассмотрении атомной решетки