Ряды

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Ряды

Учебное пособие

Рекомендовано 
методическим советом УрФУ 
для студентов, обучающихся 
по техническим направлениям подготовки 
и специальностям

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2016

УДК 517.518.3(075.8)
ББК 22.1я73
          Р98

Авторы: 
Н. В. Гредасова, Н. И. Желонкина, М. А. Корешникова, 
Е. Г. Полищук, И. Ю. Андреева

Рецензенты:
кафедра прикладной математики УрГЭУ (завкафедрой, канд. физ.мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников);
д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. ИММ УрО РАН Ю. И. Бердышев

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Р98
    Ряды : учебное пособие / Н. В. Гредасова, Н. И. Желонкина, 
М. А. Корешникова, Е. Г. Полищук, И. Ю. Андреева. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2016. — 116 с.

ISBN 978-5-7996-1814-8

В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории 
рядов. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задания к расчетной работе и указания для ее решения.
Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям.

Библиогр.: 6 назв. Рис. 9.
УДК 517.518.3(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-7996-1814-8 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2016

Оглавление

1. Числовые ряды..............................................................5
1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости .......5
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов 
        с положительными членами ...............................13
1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак 
       Лейбница ..............................................................25
1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная 
        и условная сходимость ........................................28

2. Функциональные ряды ................................................34
2.1. Определение функционального ряда. 
        Область сходимости функционального ряда .....34
2.2. Равномерная сходимость функционального 
        ряда ......................................................................36
2.3. Свойства функциональных рядов ......................39

3. Степенные ряды ..........................................................41
3.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля ...41
3.2. Методы нахождения интервала сходимости 
        степенного ряда ..................................................43
3.3. Дифференцирование и интегрирование 
        степенных рядов .................................................46
3.4. Разложение функций в степенные ряды ............47

Оглавление

4. Приложения степенных рядов ....................................55
4.1. Приближенные вычисления значений 
        функции ..............................................................55
4.2. Приближенные вычисления 
        определенных интегралов ..................................56
4.3. Решение дифференциальных уравнений 
        с помощью рядов ................................................57

5. Ряды Фурье .................................................................61
5.1. Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле ...61
5.2. Разложение четных и нечетных функций 
        в ряд Фурье ..........................................................67
5.3. Разложение в ряд Фурье 
        функций с произвольным периодом ..................71

6. Решение типового варианта расчетной работы ...........80

7. Расчетная работа ........................................................90

Библиографический список ...........................................115

1. Числовые ряды

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Числовой ряд — это выражение вида

 
u
u
u
u
n

n

n
=
+
+
+
+

=

Ґ
е
1

1
2
...
...,

где члены ряда u u
un
1
2
,
,...,
,... — действительные или комплексные числа, un общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный 
как функция его номера n
u
f n
n
:
( )
=
.
n‑я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда

 
S
u
u
u
n
n
=
+
+
+
1
2
...
.

Рассмотрим следующие суммы:

 
S
u
1
1
=
, S
u
u
2
1
2
=
+
, S
u
u
u
3
1
2
3
=
+
+
, …

Ряд сходится, если существует конечный предел

 
S
S
n
n
=
®Ґ
lim
 
(1.1)

последовательности частичных сумм ряда.

Предел (1.1) называется суммой ряда S
un

n

=

=

Ґ
е

1

.

Ряд расходится, если lim
n
n
S
®Ґ
 не существует или равен бесконечности.

1. Числовые ряды

Примеры
1. Ряд 0 + 0 + 0 +… сходится, его сумма равна нулю (S = 0).
2. Ряд 1 + 1 + 1 +… расходится, его сумма равна бесконечности (S = Ґ).

3. Ряд 1–1+1+… расходится, так как предела частичных 
сумм не существует.

4. Ряд 1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
1
Ч
+
Ч + Ч
+
+
+
+
...
(
)
...
n n
 сходится, его сумма  

равна единице.
Покажем, что сумма данного ряда равна единице.
Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

 
1
1
1
n n

A
n

B

n
(
)
.
+
=
+
+

Вычислим коэффициенты А и В:

 
1=
+
+
An
A
Bn,

 
A
B

A

+
=

=

м
н
о

0

1

,

;
 B

A

= =

м
н
о

1

1

,

;

 
1
1
1
1
1
n n
n
n
(
)
.
+
=
+

Составим n-ю частичную сумму ряда:

 
S
n
n
n

n = +
+
+
+
+ = +
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
1
1
1
1
1
...
.

Вычислим предел последовательности частичных сумм:

 
lim
.
n
n
®Ґ
+

ж
из

ц
шч =
1
1

1
1

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Свойства рядов

Свойство 1. Если ряд

 
u
u
u
u
n

n

n
=
+
+
+
+

=

Ґ
е
1

1
2
...
...  
(1.2)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 
cu
cu
cu
cu
n

n

n

=

Ґ
е
=
+
+
+
+

1

1
2
...
..., 
(1.3)

где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.2) расходится и c № 0, то и ряд (1.3) расходится.
Доказательство
1. Пусть Sn
u
( ) — n-я частичная сумма ряда (1.3).
Тогда

 
S
cu
cu
cu
c u
u
u
c S
n
u
n
n
n
( )
...
(
...
)
,
=
+
+
+
=
+
+
+
= Ч
1
2
1
2

 
lim
lim
lim
.
( )

n
n

u

n
n
n
n
S
c S
c
S
c S
®Ґ
®Ґ
®Ґ
=
Ч
=
= Ч

Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд 
(1.3) сходится и имеет сумму cS.

2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится, c № 0, то и ряд (1.3) 
расходится.
Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму S1. 
Тогда

 
S
S
c S
c
S
n
n

u

n
n
n
n
1 =
=
Ч
= Ч
®Ґ
®Ґ
®Ґ
lim
lim
lim
,
( )

откуда

 
lim
,
n
n
S
S
c
®Ґ
=
1

т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.

1. Числовые ряды

Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд

 
v
v
v
v
n

n

n

=

Ґ
е
=
+
+
+
+

1

1
2
...
..., 
(1.4)

а их суммы соответственно равны S1 и S2, то сходятся и ряды

 
(
)
u
v
n
n
n

±

=

Ґ
е
1

, 
(1.5)

причем сумма каждого равна S
S
1
2
±
.
Доказательство
Пусть S
S
S
n
u
n
v
n
( )
( )
,
,
 — n-е частичные суммы рядов (1.2), (1.4), 
(1.5) соответственно. Тогда

 
lim
lim(
)
lim
lim
( )
( )
( )
( )

n
n
n
n

u

n

v

n
n

u

n
n

v
S
S
S
S
S
S
S
®Ґ
®Ґ
®Ґ
®Ґ
=
±
=
±
=
±
1
2,

т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S
S
1
2
±
.
Следствие
Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть 
расходящийся ряд.
Замечание
Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как 
сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся 
или расходятся одновременно.
Доказательство
Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда при n
k
>  будет выполняться равенство S
S
S
n
n
ў =
, 
где ў
Sn — n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

 
lim
lim
.
n
n
n
n
S
S
S
®Ґ
®Ґ
=
+
ў

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится 
(расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) 
ряды без конечного числа его членов.
Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд вида

 
u
u
u
n
n
k

k n

+
+

= +

Ґ

+
+
= е
1
2

1

...

называется n‑м остатком ряда (1.2), который получается 
из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.
Согласно свойству 3:
1) ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо 
расходятся;
2) если ряд (1.2) сходится, то его остаток rn при n ® Ґ стремится к нулю, то есть

 
lim
.
n
nr
®Ґ
= 0

Ряд геометрической прогрессии

Ряд вида
 
a
aq
aq
aq
a
n
+
+
+
+
+
№
2
1
0
...
...
(
) 
(1.6)
называется рядом геометрической прогрессии.
Исследуем данный ряд на сходимость.
Сумма первых n первых членов прогрессии находится 
по формуле

 
S
a
q
q
q
n

n

=
№
(
),
.
1
1
1

Найдем предел этой суммы:

 
lim
lim (
)
lim
.
n
n
n

n
n

S
a
q
q

a

q
a
q

q
®Ґ
®Ґ
=
= 
1
1
1
1

1. Числовые ряды

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если q <1, то qn ® 0 при n ® Ґ и limS
a

q
n
n®Ґ
= 1
, т. е. ряд (1.6) 

сходится и его сумма равна a
q
1- .

2. Если q >1, то qn ® Ґ при n ® Ґ и limSn

n®Ґ
= Ґ, т. е. ряд (1.6) 

расходится.

3. Если q =1, получаем ряд a
a
a
+
+
+..., который расходится, 
так как S
n a
S
n
n
n
=
Ч
= Ґ
®Ґ
, lim
.

Если q = -1, получаем ряд a
a
a
a
+
+..., который расходится, так как lim
n
n
S
®Ґ
 не существует.

Ряд (1.6) при q =1 расходится.
Таким образом, ряд (1.6) сходится при q <1 и расходится при 

q і1.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

1
1
2
1
4
1
8
1
2

1

+
+
+
+
+ж

из
ц
шч
+


...
...

n

Решение
Данный ряд представляет собой ряд геометрической про
грессии с q =
<
1
2
1 и S =
=
1

1
1
2

2, то есть ряд сходится.

Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член un стремится 
к нулю при n ® Ґ, то есть

 
lim
n
n
u
®Ґ
= 0.