Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

УСТОЙЧИВОСТЬ
И ОПТИМАЛЬНАЯ

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов,

обучающихся по направлению подготовки — Прикладная

математика

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2016

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6я73

У81

Авторы: Б. Г. Гребенщиков, Н. В. Гредасова, А. Б. Ложников, О. Г. Мат-
вийчук, А. Н. Сесекин
Рецензенты:

завкафедрой прикладной математики УрГЭУ, канд. физ.-мат. наук, доц.

Ю. Б. Мельников;

ведущий научный сотрудник, д-р физ.-мат. наук Ю. И. Бердышев (Институт 
математики и механики Уральского отделения РАН)

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Ф. Шориков

Устойчивость
и
оптимальная
стабилизация
систем
дифференциальных

У81
уравнений: учебное пособие / Б. Г. Гребенщиков, Н. В. Гре-

дасова, А. Б. Ложников, О. Г. Матвийчук, А. Н. Сесекин. —
Екатеринбург : Изд–во Урал. ун-та, 2016. — 120 с.

ISBN 978-5-7996-1791-2

Приведено понятие устойчивости по Ляпунову. Сформулированы и

доказаны основные теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости 
и неустойчивости. Дана геометрическая интерпретация метода 
функций Ляпунова. Отдельно исследованы вопросы устойчивости 
для линейных систем. Рассмотрены задачи стабилизации. Исследована 
задача устойчивости и стабилизации консервативных механических 
систем. Изучены асимптотические свойства разностных систем.
Приведены примеры применения разностных систем при исследовании
свойств дифференциальных уравнений. Приведена задача стабилизации 
разностных систем. Рассмотрены иллюстрирующие примеры.

Учебное пособие предназначено для студентов направления — Прикладная 
математика, а также для студентов, аспирантов и специалистов, 
интересующихся задачами теории устойчивости.

Библиогр.: 26 назв. Рис. 20.

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6я73

ISBN 978-5-7996-1791-2
c⃝ Уральский федеральный университет, 2016

Оглавление

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1. Устойчивость и стабилизация систем обыкновенных дифференциальных 
уравнений
6

1.
Определение устойчивости по Ляпунову . . . . . . . . . . . . .
6

2.
Метод функций Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

3.
Метод функции Ляпунова для неустановившихся движений
.
12

4.
Теоремы Барбашина–Красовского
. . . . . . . . . . . . . . . .
14

5.
Геометрическая интерпретация метода функций
Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

6.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

7.
Устойчивость линейных неоднородных систем
. . . . . . . . .
20

8.
Устойчивость линейных однородных систем . . . . . . . . . . .
21

9.
Устойчивость линейной системы с постоянной матрицей . . . .
24

10. Критерии Гурвица и Михайлова . . . . . . . . . . . . . . . . .
25

11. Лемма Гронуолла–Беллмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

12. Устойчивость по первому приближению . . . . . . . . . . . . .
28

13. Точки покоя линейных систем второго порядка

с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

14. Примеры построения фазовых портретов для линейных и нелинейных 
систем второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

15. Другие определения устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2. Стабилизация динамических систем
42

1.
Постановка задач стабилизации
. . . . . . . . . . . . . . . . .
42

2.
Основная теорема об оптимальной стабилизации . . . . . . . .
44

3.
Стационарная линейно-квадратичная задача . . . . . . . . . .
47

4.
Построение оптимальной функции Ляпунова
в случае нестационарных линейных систем . . . . . . . . . . .
55

5.
Оптимальная стабилизация неоднородных систем . . . . . . .
58

6.
Стабилизация вполне управляемых
консервативных систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

3

7.
Оптимальное демпфирование переходных процессов
. . . . .
72

3. Устойчивость и стабилизация разностных систем и систем

с запаздывающим аргументом
76

1.
Устойчивость и стабилизация разностных систем . . . . . . . .
76

2.
Устойчивость и стабилизация систем с запаздывающим аргументом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

2.1.
Постановка основной начальной задачи. Классификация 88

2.2.
Метод шагов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

2.3.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
и постоянными отклонениями аргумента. Устойчивость
решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

2.4.
Случай малого отклонения аргумента . . . . . . . . . .
95

2.5.
Исследование устойчивости с помощью функционалов
Ляпунова—Красовского . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

3.
Стабилизация некоторых линейных систем
c запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 112

Домашнее задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 113

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 117

4

Введение

Вопрос об устойчивости движения возник из практики. Дело в том, что

обычно для описания какого-либо явления пользуются его приближенной
моделью. Кроме того, и начальные данные бывают известны неточно. При
построении математической модели учитывается влияние лишь основных
возмущающих сил, а влиянием малых, второстепенных — пренебрегают. В
такой ситуации встает вопрос: а будут ли в реальной ситуации иметь ме-
сто те свойства, которые были установлены на упрощенной математической
модели, или неточности в начальных данных, малые возмущения внешних
воздействий в состоянии качественно изменить свойства системы. Со време-
нем, когда стали исследоваться управляемые системы, стало естественным
рассматривать вместо вопроса об изучении свойства устойчивости системы
вопрос о том, как нужно управлять системой, чтобы обеспечить ей свойство
устойчивости. Управления, решающие такие задачи, называют стабилизи-
рующими, а рассматриваемая задача называется задачей стабилизации. По-
следняя имеет большое практическое значение при конструировании систем
автоматического регулирования.

5

Глава 1

Устойчивость и стабилизация систем
обыкновенных дифференциальных
уравнений

1. Определение устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, записанную в век-

торной форме:

˙x = f(t, x),
(1.1)

где t ∈ R1, x ∈ Rn, Rm — евклидово пространство размерности m. Далее
для простоты будем векторное дифференциальное уравнение (1.1) назы-
вать просто дифференциальным уравнением. При определенных услови-
ях на вектор-функцию f(t, x) (например, непрерывность вектор-функции
f(t, x) по t, x и существование ограниченных частных производных в рас-
сматриваемой области по xi) в некоторой окрестности точки t0 существует
единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному усло-
вию x(t0) = x0. Заметим, что решение может существовать не для всех
t ∈ [t0, ∞), а только на некотором конечном промежутке. Если же решение
определено для всех t ∈ [t0, ∞), то такое решение будем называть про-
должаемым. Соответствующие теоремы, обеспечивающие существование и
продолжаемость решений дифференциального уравнения (1.1), можно най-
ти, например в [2]. Выберем некоторое движение x = g(t) системы (1.1) и
будем называть его невозмущенным движением.

Определение 1. Невозмущенное движение x = g(t) назовем устойчи-
вым по Ляпунову, если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что из
неравенства ||x0 − g(t0)|| < δ следует выполнение неравенства

||x(t) − g(t)|| < ε

при всех t > t0 .

6

Здесь через x(t) обозначено решение системы (1.1), удовлетворяющее на-

чальному условию x(t0) = x0.

Определение 2. Движение x = g(t) назовем асимптотически устойчи-
вым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое
положительное число h, что при выполнении условия ||x0 − g(t0)|| < h
следует, что

lim
t→∞ ||x(t) − g(t)|| = 0.

Движение называется неустойчивым, если оно не является устойчивым.
Такое определение устойчивости было введено выдающимся русским ма-

тематиком Александром Михайловичем Ляпуновым [14]. Эта работа яви-
лась революционной для качественной теории дифференциальных уравне-
ний.

Сделаем в уравнении (1.1) замену переменных y = x−g(t). Относительно

новой переменной получится следующее уравнение:

˙y = f(t, y + g(t)) − f(t, g(t)).

Введя обозначение F(t, y) = f(t, y + g(t)) − f(t, g(t)), получим систему

˙y = F(t, y).
(1.2)

Заметим, что F(t, 0) = 0, а это означает, что y(t) = 0 является решени-
ем уравнения (1.2). Тривиальное решение y(t) = 0 соответствует реше-
нию x = g(t) уравнения (1.1). В результате задача устойчивости движения
x = g(t) для (1.1) трансформируется в задачу устойчивости тривиального
решения для (1.2). Определения устойчивости, асимптотической устойчи-
вости и неустойчивости очевидным образом переформулируются из выше-
приведенных определений.

2. Метод функций Ляпунова

А. М. Ляпунов в работе [14] предложил два метода для исследования

задачи об устойчивости движения. В данном разделе мы остановимся на
методе функций Ляпунова.

Рассмотрим скалярно значную функцию V (y) векторного аргумента y,

принимающего значения в Rn. Будем предполагать, что эта функция опре-
делена в некоторой окрестности начала координат D и обладает в этой
области непрерывными частными производными по yi (i = 1, 2, . . . , n).

7

Определение 3. Функция V (y) называется определенно-положительной
в области D, если всюду в этой области, кроме начала координат, V (y)
принимает положительные значения и V (0) = 0. Если же всюду в этой
области за исключением начала координат V (y) < 0 и V (0) = 0, то функция 
называется определенно-отрицательной.

Определение 4. Если же в области D всюду выполняется неравенство
V (y) ≥ 0 или V (y) ≤ 0, то функция называется знакопостоянной (в первом 
случае — знакоположительной, а во втором — знакоотрицательной).

Определение 5. Если же функция V (y) в любой окрестности точки y =
= 0 принимает как положительные, так и отрицательные значения, то
V (y) называется знакопеременной функцией.

Проиллюстрируем эти понятия на примерах. Функция V (y) = y2

1 + y2

2 ,

определенная в R2 , является определенно-положительной, функция V (y) =
= y2

1, определенная в R2, является знакоположительной, а функция V (y) =

= y2

1 − y2

2 в том же пространстве является знакопеременной.

Часто в качестве функции V (y) используют квадратичную форму вида

V (x) =

n
i,j=1

aijyiyj,
aij = aji.
(1.3)

Составим матрицу коэффициентов этой квадратичной формы

A =

⎛

⎝

a11 ... a1n
...
...
...

an1 ... ann

⎞

⎠
(1.4)

и рассмотрим определители

Δk =

a11 ... a1k
...
...
...

ak1 ... akk

,
k = 1, 2, ..., n.
(1.5)

Если при всех допустимых k определители Δk > 0, то квадратичная форма
(1.3) будет определенно-положительной. Приведенное условие называется
критерием Сильвестра [16].

Далее для простоты будем предполагать, что правая часть дифференци-

ального уравнения (1.2) не зависит от t, т. е. уравнение имеет вид

˙y = F(y).
(1.6)

8

В таком случае говорят, что дифференциальное уравнение является авто-
номным.

Приведем три основные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости, асимп-

тотической устойчивости и неустойчивости.

Сначала введем одно вспомогательное понятие. Выражение

˙V =

n
i=1

∂V (y)

∂yi

Fi(y)
(1.7)

называется производной функции Ляпунова в силу системы.

Определение 6. Поверхность V (y) = c называется замкнутой относи-
тельно точки O , если на любой непрерывной линии, соединяющей точку
O с точкой границы области D, имеется, по крайней мере, одна точка, в
которой V (y) = c.

Лемма 1. Если функция V (y1, . . . , yn) знакоопределенная, то существует
такое положительное число h , что все поверхности уровня V = c, где
|c| < h, являются замкнутыми относительно точки O поверхностями.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим для определенности, что V (y) > 0 при
y ̸= 0 и рассмотрим шар JR с центром в начале координат и радиусом, рав-
ным R. Предположим, что функция V определена на этом шаре. Обозначим
границу шара через SR. Так как функция V непрерывна, то на замкнутом
ограниченном множестве SR — границе шара эта функция достигает своего
минимального значения, которое будем обозначать через h.

Соединим теперь начало координат (точку 0) с какой-либо точкой p,

принадлежащей границе SR , некоторой непрерывной линией y = y(s). Так
как в начале координат функция V равна нулю, а V (p) ≥ h, и функция
V непрерывна вдоль непрерывной кривой y = y(s), то на кривой y = y(s)
найдется такая точка ¯y = y(¯s), в которой функция V (s) примет значение
V (¯s) = c. Следовательно, внутри шара JR лежит замкнутая часть поверх-
ности V (y) = c (0 < c < h).
□

Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если в области D
для системы (1.6) существует знакоопределенная функция V (y), произ-
водная которой в силу системы (1.6) является знакопостоянной функцией
знака, противоположного знаку функции V (y), то положение равновесия
устойчиво по Ляпунову.

9

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Jε внутренность шара радиуса ε с
центром в начале координат, а через Sε — границу шара (сферическую
поверхность). Для определенности предположим, что V (y) будет опреде-
ленно положительной функцией. Пусть ε таково, что Jε лежит в области
D, и пусть l — минимальное значение функции V (y) на сфере Sε. Выберем
δ > 0 таким, чтобы в точках шара Jδ выполнялось неравенство V (y) < l
(что сделать всегда можно в силу непрерывности функции V (y) и условия
V (0) = 0). Выберем произвольную точку p на Jδ. Рассмотрим траекторию
f(p, t) системы (1.6), выходящую из точки p , и допустим, что она пересечет
сферу Sε в некоторой точке q. Так как

˙V =

n
i=1

∂V
∂yi

Fi ≤ 0,

то функция V (y) не возрастает вдоль траектории, и поэтому будем иметь

V (q) ≤ V (p) < l.

Но в силу того, что l — минимум функции V (y) на Sε, должно выполняться
неравенство V (q) ≥ l. Из полученного противоречия следует, что точка
f(p, t) с ростом времени t не выйдет за пределы сферы Sε.
□

Теорема 2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).
Если в области D для системы (1.6) существует знакоопределенная функ-
ция V (y), производная которой в силу системы (1.6) будет тоже знако-
определенной функцией, знака, противоположного знаку функции V (y),
то положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем предполагать для определенности, что функ-
ция V (y) является определенно-положительной функцией. Пусть число R
таково, что JR лежит в области D.

Из предыдущей теоремы следует, что положение равновесия (начало ко-

ординат) будет устойчивым. Поэтому существует такое r > 0 , что если
точка p ∈ Jr, то точка f(p, t) не выйдет из шара JR. Пусть ε — положитель-
ное сколь угодно малое число. Согласно предыдущей теореме, мы вновь
можем указать число δ > 0 такое, что из условия p ∈ Jδ будет следовать
f(p, t) ∈ Jε при t > 0 . Пусть p ∈ Jε . Предположим, что точка f(p, t) не
попадет при t > 0 в шар Jδ. Тогда полутраектория f(p, t) при t > 0 будет
лежать в шаровом слое JR\Jδ. Поскольку в этом шаровом слое выполня-
ется условие ˙V < 0, то существует постоянная m > 0 такая, что будет
выполняться неравенство

˙V < −m
(1.8)

10

во всех точках указанного слоя. Из равенства

V (f(p, t)) = V (p) +

t

0

˙V dt

в силу предположения (1.8) мы получаем неравенство

V (f(p, t)) < V (p) − mt.

Устремляя в последнем неравенстве t к бесконечности, видим, что правая
часть неравенства становится отрицательной, что и приводит нас к проти-
воречию в связи с тем, что в левой части этого неравенства стоит неотри-
цательное значение функции Ляпунова. Полученное предположение дока-
зывает теорему.
□

Теорема 3 (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует
функция V (y), производная которой в силу системы (1.6) является зна-
коопределенной функцией, в любой окрестности начала координат функ-
ция V (y) не является знакопостоянной знака, противоположного с ˙V , то
тривиальное решение уравнения (1.6) неустойчиво по Ляпунову.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в шаре Jε выполнены условия тео-
ремы. Для определенности будем считать функцию ˙V определенно-положи-
тельной. Рассмотрим сколь угодно малую окрестность Jδ начала координат.
Покажем, что существует точка p и выпущенная из нее траектория при
t > 0 выйдет за пределы Jε. В силу условий теоремы в Jδ существует точка
p, в которой V (p) = V0 > 0. В силу непрерывности функции V (y) найдется
такое число η, что в Jη будет иметь место условие |V | < V0. Так как функ-
ция ˙V определенно-положительна, то V (f(p, t)) увеличивается с ростом t,
и поэтому точка f(p, t) не сможет оказаться в Jη. Предположим, что точка
f(p, t) не выйдет за пределы Jε. В силу того, что ˙V имеет в области Jε\Jη
положительный минимум m, справедливо неравенство

V (f(p, t)) = V (p) +

t

0

˙V dt > V (p) + mt.

Отсюда следует, что с ростом t функция V (f(p, t)) растет неограниченно, но
в то же время функция V (y) как непрерывная должна быть ограниченной
в шаровом слое Jε\Jη. Полученное противоречие доказывает теорему.
□

Замечание 1. Факт устойчивости по Ляпунову является локальной ха-
рактеристикой системы, т. к. обеспечивает свойство устойчивости лишь

11

в некоторой окрестности тривиального решения. Нулевое решение систе-
мы (1.2) называется устойчивым в целом, если оно устойчиво по Ляпу-
нову и если всякое другое решение y(t) обладает следующим свойством:
||y(t)|| → 0 при t → ∞.

3. Метод функции Ляпунова для неустановившихся

движений

Приведенные выше теоремы могут быть обобщены на случай неавтоном-

ных систем, также можно несколько ослабить предположения на правую
часть системы (см. [2, 3, 6]).

В этом разделе будем рассматривать неустановившиеся движения, и урав-

нения возмущенного движения будут иметь вид

˙yi = Fi(t, y1, . . . , yn),
Fi(t, 0, . . . , 0) ≡ 0 (i = 1, . . . , n)
(1.9)

или в векторной форме:

˙y = F(t, y), F(t, 0) ≡ 0.
(1.10)

Будем предполагать, что вектор-функция F(t, y) в области

t ≥ t0 ≥ 0, ||y|| ≤ H,
(1.11)

где H — некоторая постоянная, которая непрерывна и удовлетворяет усло-
виям существования, единственности и продолжимости решения на [t0, ∞).

В области

t ≥ t0, ||y|| ≤ h ≤ H,
(1.12)

где h — некоторая постоянная, будем рассматривать вещественные одно-
значные функции V (t, y), причем V (t, 0) ≡ 0. Считаем, что в (1.12) функции
Ляпунова непрерывны вместе со своими частными производными ∂V/∂t и
∂V/∂yi (i = 1, ..., n).

Определение 7. Функция V (t, y) называется определенно-положитель-
ной (определенно-отрицательной), если существует такая не зависящая
явно от t определенно-положительная функция W(y) (в смысле определе-
ния 3), что в области (1.12) выполняется неравенство

V (t, y) ≥ W(y)
(1.13)

(соответственно −V (t, y) ≤ −W(y)).

12