Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

МАТЕМАТИКА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета в качестве учебного пособия
для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»,
38.03.05 «Бизнес- информатика», по специальностям
38.05.01 «Экономическая безопасность», 38.05.02 «Таможенное дело»

УДК 51(075.8)
ББК 
22.1я73

 
М34

ISBN 978-5-7996-3285-4 
© Уральский федеральный университет, 2021

М34
Математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / 
О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Ю. Жильцова, О. Л. Кузнецова ; под общ. 
ред. Е. В. Выходец ; Министерство науки и высшего образования Российской 
Федерации, Уральский федеральный университет. —  Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2021. — 183 с. : ил. — 30 экз. —  ISBN 978-5-7996-3285-4. —  Текст : 
непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3285-4

В учебном пособии представлен материал традиционного курса линейной алгебры и аналитической 
геометрии, включено достаточно большое количество задач с экономическим 
содержанием (модель Леонтьева (балансовый анализ), модель расширяющейся экономики 
Неймана, линейная модель торговли и ряд других). Задачи сопровождаются количественными 
методами решения с использованием возможностей табличного процессора MS Excel. После 
каждой темы приводится блок заданий, предназначенных для самостоятельного решения, 
а также тесты для текущего и промежуточного контроля знаний. Разделы, представленные 
в пособии, являются базовыми для последующего приобретения студентами специальных 
знаний и приемов аналитической работы при решении задач экономики и управления.
Для студентов, осваивающих дисциплины в рамках модулей «Математические методы 
анализа», «Математические методы анализа и основы информационных технологий», «Математические 
основы экономических решений».

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Авторы:
О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Ю. Жильцова, О. Л. Кузнецова

Под общей редакцией Е. В. Выходец

Рецензенты:
отдел аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН
(заведующий отделом доктор физико- математических наук А. Г. Бабенко);
Г. А. Тимофеева, доктор физико- математических наук, профессор
(Уральский государственный университет путей сообщения)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 
5
1. Матричная алгебра 
7
1.1. Матрицы 
7
1.2. Операции над матрицами 
9
1.3. Использование алгебры матриц в решении экономических задач 
14
1.4. Определители 
15
1.5. Обратная матрица 
23
1.6. Решение матричных уравнений 
25
1.7. Векторы. Действия с n-мерными векторами 
26
1.8. Ранг матрицы 
29
1.9. Операции матричной алгебры в среде MS Excel 
33
Задания для самостоятельного решения 
42
Тесты 
45
2. Системы линейных уравнений 
51
2.1. Понятие о системах линейных уравнений и их виды 
51
2.2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы 
53
2.3. Формулы Крамера 
54
2.4. Метод Гаусса —  Жордана для общего решения систем линейных 
алгебраических уравнений 
56
2.5. Условия совместности системы линейных алгебраических уравнений 
60
2.6. Однородные системы линейных уравнений 
69
2.7. Обращение матриц методом Гаусса —  Жордана 
72
2.8. Решение матричных уравнений методом Гаусса —  Жордана 
73
2.9. Нахождение неотрицательного базисного решения 
74
2.10. Системы линейных уравнений в решении экономических задач 
77
2.11. Линейная балансовая модель Леонтьева 
80
2.12. Модель Неймана 
87
2.13. Решение систем линейных уравнений в MS Excel 
90

Задания для самостоятельного решения 
96
Тесты 
99
3. Векторная алгебра 
102
3.1. Линейные пространства 
102
3.2. Линейная зависимость элементов 
104
3.3. Базис и размерность линейного пространства. Ранг и базис системы 
векторов 
107
3.4. Нахождение базиса системы векторов a1, a 2, …, a m (ai ∈ n) 
110
3.5. Формула преобразования координат элемента при преобразовании 
базиса 
113
3.6. Скалярное произведение, угол и длина вектора в евклидовом 
пространстве 
116
3.7. Задача ортогонализации 
119
Задания для самостоятельного решения 
121
Тесты 
122
4. Аналитическая геометрия 
124
4.1. Векторы на плоскости и в пространстве 
124
4.2. Декартова прямоугольная система координат в 3. Скалярное 
произведение векторов 
125
4.3. Векторное произведение векторов 
129
4.4. Смешанное произведение векторов 
132
4.5. Плоскость в пространстве 
134
4.6. Прямая линия в пространстве 
141
4.7. Кривые второго порядка 
146
Задания для самостоятельного решения 
153
Тесты 
154
5. Линейные операторы 
157
5.1. Понятие линейного оператора 
157
5.2. Алгебра линейных операторов 
159
5.3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 
163
5.4. Линейная модель торговли 
166
5.5. Линейные операторы в евклидовом пространстве 
169
5.6. Квадратичные формы и их приложения 
171
Задания для самостоятельного решения 
176
Тесты 
179

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие составлено на основе лекций, читаемых авторами в Ин-
ституте экономики и управления Уральского федерального университета.
Пособие состоит из пяти глав. Первые две главы посвящены матричной 
алгебре и системам линейных уравнений. Третья глава содержит основные по-
нятия векторной алгебры. В четвертой главе излагаются основы аналитической 
геометрии. Пятая посвящена линейным операторам.
Материал представлен в объеме, предлагаемом студентам на занятиях, 
и содержит теоретическую часть, примеры, типовые задачи и задачи для само-
стоятельного решения. Кроме этого студентам предлагаются тесты для текущего 
и промежуточного контроля знаний. Пособие могут использовать студенты 
очной формы обучения в качестве вспомогательной литературы при освоении 
курса и заочники для самостоятельного ознакомления с материалом, а также 
оно полезно при изучении дисциплины в дистантном формате.
При составлении книги авторы попытались учесть специфику института, 
для студентов которого предлагается данный материал.
Во-первых, мы отдаем себе отчет в том, что математика как наука не яв-
ляется основной сферой интересов будущих менеджеров и экономистов, она 
лишь инструмент, с помощью которого специалисты станут решать приклад-
ные задачи. Поэтому авторы попытались изложить материал максимально 
простым и понятным языком, практически не приводя сложных доказательств 
и выкладок. Для глубокого освоения данных разделов математики мы ре-
комендуем студентам учебники, в которых материал изложен более полно 
и доказательно.
Во-вторых, мы попытались уже на этапе освоения основ математики пока-
зать студентам, каким образом они в дальнейшем смогут применить получен-
ные знания. В пособии приведены примеры решения задач с экономическим 
содержанием, а также рассмотрены такие экономико-математические модели, 
как модель Леонтьева и модель Неймана.

И, наконец, в-третьих, мы понимаем, что живем в эпоху, когда решение 
задач «на бумаге», без применения информационных технологий воспринимается 
современным поколением как анахронизм. Поэтому в пособии даются 
рекомендации по использованию пакета MS Excel для решения вычислительных 
задач линейной алгебры и самопроверки при выполнении домашних 
и расчетно- графических работ.

1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

1.1. Матрицы

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики —  матричная 
алгебра —  имеют важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что 
многие экономико-математические модели изучаются и исследуются в достаточно 
простой матричной форме.
Таблица чисел aij

 
A
A

11
1
1

1

1

...
...

...
...
,

...
...

j
n

i
i j
in
m
n

m
m j
mn

a
a
a

a
a
a

a
a
a

×





−
−
−
−
−




=
= 


−
−
−
−
−








состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m × n. Числа 
aij называются ее элементами (индекс i указывает номер строки, индекс 
j —  номер столбца, на пересечении которых находится элемент). Используют 
сокращенную запись A = (aij) = (aij)m × n.
Если размерность матрицы такова, что m ≠ n, то матрица называется пря-
моугольной. В частности, матрица, состоящая из одного столбца (т. е. если 
n = 1) или из одной строки (т. е. если m = 1), называется вектором-столбцом или 
соответственно вектором-строкой:

 
(
)

1

2
1
2
,
...
.
n

n

a
a
B
b b
b

a







=
=









A


При m = n матрица называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы 
a11, a22, … ann квадратной матрицы n-го порядка образуют ее главную 
диагональ, элементы a1n, a2, n —  1, … an1 —  побочную диагональ. Например, в матрице 


5
1
2

C
3
4
7

0
0
6



−



=
−







 элементы c11 = 5, c22 = 4, c33 = 6 образуют главную диагональ, 
элементы c13 = 2, c22 = 4, c31 = 0 —  побочную (второстепенную) диагональ.

В частности, квадратная таблица 

11
12

21
22

A
,
a
a
a
a



= 




 состоящая из 4 чисел, 

называется матрицей второго порядка. Таблица чисел 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

A

a
a
a
a
a
a
a
a
a





= 






 называется 
квадратной матрицей третьего порядка.

Виды матриц
Квадратная матрица n-го порядка, у которой все элементы, находящиеся 
выше и ниже главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:

 

11

22

0
...
0
0
...
0

D
.
...
...
...
...
0
0
...
nn

d
d

d







= 








Квадратная матрица n-го порядка, у которой диагональные элементы равны 
единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей 
n-го порядка и обозначается буквой Е:

 

1
0
...
0
0
1
...
0
E
.
...
...
...
...
0
0
...
1







= 








Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 
нулю:

 

0
0
...
0
0
0
...
0
O
O
.
...
...
...
...
0
0
...
0

m n
×







=
= 








Две матрицы A = (aij) и B = (bij) размера m × n называются равными, если 
они совпадают поэлементно, т. е.

 
,
1,
,
;
1,
, .
ij
ij
a
b
i
m j
n
=
=
…
=
…

Следом квадратной матрицы A = (aij)n × n называется число 

1

tr A
.

n

ii

i

a

=
=∑
 Например, 
след матрицы 

4
5
3
6







 равен trA = 4 + 6 = 10.

Квадратные матрицы, все элементы которых ниже (или выше) главной 
диагонали равны нулю, называются треугольными:

 

11
12
1

22
2

...
0
...

A
.
...
...
...
...
0
0
...

n

n

nn

a
a
a

a
a

a







= 








Прямоугольная матрица вида

 

11
12
1
1

22
2
2

...
0
...
A
...
...
...
...
0
0
...

m
n

m
n

nm
mn

a
a
a
a
a
a
a

a
a







= 














называется квазитреугольной (ступенчатой или трапециевидной).

1.2. Операции над матрицами

Умножение числа на матрицу
Операция умножения матрицы A = (aij) на число λ ∈  задается по правилу

 
A
(
)
,
(
1,
,
;
1,
, ,
)
ij
ij
a
a
i
m j
n
λ
= λ
= λ
= …
= …

т. е. при умножении матрицы на число λ нужно каждый элемент матрицы A 
умножить на число λ. В частности, 0 · A = O.

Пример 1.1. Пусть A
2
3
4
5
2
0
1
3 ,
5.
5
2
1
3





= −
−
λ =







 Тогда

 
 A
10
15
20
25
5
10
0
5
15 .
25
10
5
15





= −
−







Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить 
за знак матрицы.

Сложение матриц одинакового размера
Операция сложения матриц A = (aij) и B = (bij) одного и того же размера 
m × n задается по правилу

 
(
)
A
B
,
1,
,
;
1,
, .
ij
ij
a
b
i
m j
n
+
=
+
=
…
=
…

Пример 1.2. Пусть 

2
3
4
1
3
7
A
, B
.
1
0
5
2
7
0




=
=









 Тогда

 

2
3
4
1
3
7
3
6
11
A
B
.
1
0
5
2
7
0
3
7
5







+
=
+
=













Упражнение. Найти 2A + 3B.
Матрица (–1) · A = –A называется противоположной к A.
Вычитание двух матриц одинаковой размерности равносильно сложению 
с противоположной матрицей:

 
 
A
(
–B
A
.)
–B
=
+

Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц:
1) 
(
) (
)
A
A,
,
;
λ µ
= λµ
λ µ∈

2) 
(
)
A
B
A
B,
;
λ
+
= λ
+ λ
λ∈

3) (
)A
A
A,
,
;
λ + µ
= λ
+ µ
λ µ∈

4) A + B = B + A;
5) (A + B) + C = A + (B + C).

Умножение матрицы на матрицу
Произведением матрицы A = (aij)m × n на матрицу B = (bij)n × l называется матрица 
C = (cij)m × l, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов 
i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:

 
(
)

1

2
1
2
1 1
2 2
1

,
,
,
,

1,
,
;
1,
, .

j

n
j
ij
i
i
in
i
j
i
j
in nj
ik
kj
k

nj

b
b
c
a
a
a
a b
a b
a b
a b

b

i
m j
n

=







=
=
+
+
+
=








=
=

∑







Заметим, что умножение матрицы A на матрицу B выполнимо лишь в том 
случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Пример 1.3. Даны матрицы 
2 3
3 2

4
5
1
1
0
A
A
, B
B
1
3 .
2
3
4
0
7

×
×



−




=
=
=
=











Найти произведения матриц AB и BA.
Решение. Так как матрица A = А2 × 3 имеет три столбца, а матрица 
B = В3 × 2 — три строки, то умножение A на B выполнимо. Матрица AB = А2 × 3В3 × 2 
имеет размерность 2 × 2:

 
(
)
(
)

2 3
3 2

3
2
1 4
1 1
0 0
1 5
1 3
0 7
AB
A
B
.
11
47
2 4
3 1
4 0
2 5
3 3
4 7
×
×



⋅
+ −
⋅ + ⋅
⋅ + −
⋅ + ⋅


=
=
=






⋅
+ ⋅ +
⋅
⋅ + ⋅ +
⋅





Найдем произведение BA. Так как матрица B = В3 × 2 имеет два столбца, 
а матрица A = А2 × 3 — две строки, то умножение B на A выполнимо. Матрица 
BA = В3 × 2А2 × 3 имеет размерность 3 × 3:

 
(
)
(
)
(
)

BA
B
A
3 2
2 3

4
5
1
1
0
1
3
2
3
4
0
7

4 1
5 2
4
1
5 3
4 0
5 4
14
11
20

1 1
3 2
1
1
3 3
1 0
3 4
7
8
12 .

0 1
7 2
0
1
7 3
0 0
7 4
14
21
28

×
×



−




=
=
=














⋅ + ⋅
⋅ −
+ ⋅
⋅ + ⋅





=
⋅ + ⋅
⋅ −
+ ⋅
⋅ + ⋅
=








⋅ + ⋅
⋅ −
+ ⋅
⋅ + ⋅





Замечание. Как показывает пример, коммутативный (переместительный) 
закон умножения для матриц, вообще говоря, не выполняется, т. е. AB ≠ BA. 

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой ква-
дратной матрицы A n-го порядка на единичную матрицу E того же порядка:

 
AE = EA = A.

Замечание. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую 
матрицу O, например,

 
A B
1
1
2
1
0
0 .
2
2
2
1
0
0


 



⋅
=
⋅
=

 



−
−

 




Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

Пример 1.4. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей A
1
0 .
5
2


= 




Решение. Запишем все перестановочные матрицы в виде B
,
a
b

c
d


= 




 где  
a, b, c, d ∈ . Найдем

 

1
0
AB
,
5
2
5
2
5
2
a
b
a
b
c
d
a
c
b
d





=
=





+
+






 

1
0
5
2
BA
.
5
2
5
2
a
b
a
b
b

c
d
c
d
d

+





=
=





+






Так как AB = BA, то 

5
2
.
5
2
5
2
5
2

a
b
a
b
b
a
c
b
d
c
d
d

+




=




+
+
+





По определению равных матриц имеем 
(
)

5 ,
,

5
2
5 ,
5
,

2 ,
0,
5
2
2
.

a
a
b
a
a
c
c
d
c
d
a
b
b
b
b
d
d
d

=
+
∈




+
= +
=
−


⇒


=
=




+
=
∈







Итак, все перестановочные с А матрицы имеют вид:

 
(
)

0
B
, ,
.
5
a
a d
d
a
d



=
∈


−



