Механика сплошных сред

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
Учебник
УрФУ
В. Г
. Черняк, П. Е. Суетин
МЕХАНИКА 
СПЛОШНЫХ СРЕД
Учебник
Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета в качестве учебника 
для студентов вуза, обучающ ихся по направлению подготовки 
03.03.02 «Физика»
Екатеринбург
Издательство Уральского университета 
2021

531(075.8)
УДК
ББК
22.3я73-1
Ч49
Серия «Учебник УрФУ» основана в 2017 году
Редакционная коллегия серии: 
кандидат технических наук Е. В. Вострецова, 
кандидат химических наук Е. С. Буянова,
И. Ю. Плотникова (ответственный секретарь серии)
Под редакцией В. Г
. Черняка 
Рецензенты:
В. Е. Сидоров, доктор физико-математических наук, профессор, 
профессор кафедры физики, технологии и методики обучения физике и технологии 
(Уральский государственный педагогический университет);
Г
. Ш. Болтачев, доктор физико-математических наук 
(Институт электрофизики УрО РАН)
Черняк, В. Г.
Ч49 
Механика сплош ных сред : учебник / В. Г. Черняк, П. Е. Суетин ; под ред. 
В. Г. Черняка ; М инистерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2021. — 600 с. : ил. — (Учебник УрФУ). — Библиогр. в конце глав. — 40 экз. — ISBN 
978-5-7996-3226-7. — Текст : непосредственный.
ISBN 978-5-7996-3226-7
В учебнике представлены физико-математические модели и методы механики сплошных сред, рассмотрены элементы теории упругости. Подробно изложена гидродинамика идеальной и вязкой жидкости, включая такие разделы, как пограничный слой, 
ламинарное и турбулентное течение, а также магнитная гидродинамика. Освещены 
вопросы газодинамики, в том числе теория ударных волн. В конце глав даны вопросы 
для самоконтроля и примеры решения задач, которые помогут лучше усвоить теоретический материал.
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Физика», 
а также по некоторым техническим специальностям.
УДК 531(075.8) 
ББК 22.3я73-1
ISBN 978-5-7996-3226-7
© Уральский федеральный университет, 2021

Предисловие
Учебник написан на основе курса лекций, прочитанных авторами в разные годы студентам Уральского политехнического института и Уральского государственного университета (ныне УрФУ). Его основная цель 
состоит в том, чтобы дать студентам общее представление о моделях и 
методах описания движений сплошной среды.
Дисциплина «Механика сплошных сред» является обязательной при 
подготовке физиков. Первая часть курса, в которой изучаются модели 
сплошной среды с элементами теории упругости, входит в модуль «Теоретическая физика» базовой части учебного плана бакалавриата по направлению подготовки «Физика» и изучается в пятом семестре. Вторая 
часть, «Гидродинамика», входит в вариативную часть учебного плана 
и изучается в шестом семестре.
Учебник включает разделы, связанные с кинематикой сплошной среды, физико-математическими моделями сплошной среды, элементами 
теории упругости (термодинамика деформирования, закон Гука, растяжение-сжатие стержня, изгиб и кручение стержня), гидродинамикой 
идеальной и вязкой жидкости, газодинамикой (особенности сверхзвукового движения газа, ударные волны) и магнитной гидродинамикой. 
Материал отобран так, чтобы заложить основу для изучения таких дисциплин, как физика твердого тела, теплофизика, термодинамика необратимых процессов, кинетическая теория газов, физика аэрозолей и др.
За последние годы несколько раз поменялись образовательные стандарты и, соответственно, учебные планы. Появились новые направления подготовки. Поэтому по содержанию учебник отличается от изданного ранее учебного пособия В. Г. Черняка и П. Е. Суетина «Механика сплошных сред» (М., 2006). Добавлена вводная глава с элементами 
векторного и тензорного анализа, который составляет основу математического аппарата механики сплошных сред. Включена также новая 
глава «Гидродинамика разреженного газа». Это продиктовано необходимостью расширить представления студентов о возможностях использования методов гидродинамики для описания закономерностей движения тел в газах при пониженных давлениях, в частности, летательных 
аппаратов на больших высотах и мелких частиц в нижних слоях атмосферы. Кроме того, глава «Элементы теории упругости» дополнена 
параграфами «Кручение стержня», «Изгиб стержня» и соответствую3

т
т
т
ими задачами. Внесены изменения в методику изложения материала.
Учебник обладает выверенной логической структурой, имеет много 
наглядных и понятных иллюстраций. Приведено большое количество 
задач с подробными решениями, что способствует лучшему усвоению 
теоретического материала и приобретению навыков решения прикладных задач механики сплошных сред.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся на физических 
и математико-механических направлениях подготовки, а также на некоторых инженерных специальностях. Часть материала доступна студентам младших курсов и может быть использована при изучении соответствующих разделов общей физики. Книга будет полезна также магистрантам и аспирантам, желающим освоить или освежить в памяти 
модели и методы механики сплошных сред.
В. Г. Черняк

Глава 1
О скалярах, векторах и 
тензорах
Материал этой главы не претендует на полноту и математическую строгость. Ее цель — дать (или напомнить) читателю минимальные сведения 
о скалярах, векторах и тензорах, необходимые для успешного усвоения 
курса.
1.1. 
Скаляры
Величины, которые полностью характеризуются одним числом (положительным или отрицательным), называются скалярами. В физике скалярами являются масса тела, расстояние между телами, время, давление, температура, электрический заряд и т. д.
Различают два типа скалярных величин: истинные скаляры и псевдоскаляры.
Истинные скаляры определяются числом, не зависящим от выбора 
системы координат. Другими словами, истинные скаляры инвариантны по отношению к преобразованиям координат. Примерами истинных 
скаляров могут служить масса, длина, давление.
Псевдоскаляры, как и истинные скаляры, определяются одним числом, модуль которого не зависит от выбора системы координат. Однако знак этого числа зависит от направления одной из координатных 
осей. Таким образом, псевдоскаляр — величина, не изменяющаяся при 
переносе и повороте координатных осей, но изменяющая свой знак при
5

замене направления одной оси на противоположное. Простейшими примерами псевдоскаляров являются проекции векторов перемещения или 
скорости движения материальной точки на координатную ось. При изменении направления оси на противоположное изменяется и знак проекции вектора. Момент инерции также является псевдоскаляром.
Учитывая, что математические действия над истинными скалярами 
и псевдоскалярами подчиняются одним и тем же законам, мы в дальнейшем для простоты будем использовать один термин — «скаляр».
1.2. 
Векторы
Вектором называется величина, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Примеры из физики хорошо известны: сила, скорость, перемещение, напряженность 
электрического поля и т. д.
Векторы считаются одинаковыми, если имеют одинаковую длину и 
одинаково направлены.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.
Три вектора называются компланарными, если их можно уложить 
на одну плоскость.
Введем декартовую систему координат, оси которой обозначим x 1,x 2,x3.
 
Пусть e i, е2, е3
 — единичные векторы в направлениях координатных 
осей. Их называют базисными векторами (рис. 1.1).
Рис. 1.1
6

Произвольный вектор а, исходящий из начала координат, называется радиус-вектором.
Три вектора а1е1,
 а2е2, а3е3
 называют составляющими вектора а, а 
числа а1,а2,а3
 — проекциями вектора а на координатные оси x1,x2,x 3
 
соответственно.
Вектор а может быть представлен в виде суммы составляющих векторов или, как говорят, разложен на три составляющих вектора:
а =  aiei + а2е  +  а3е3.
Длина вектора а определяется по теореме Пифагора суммой квадратов его проекций:
а —
 'у а2
 + а2
 + а3.
Напомним действия с векторами.
Сложение векторов
Чтобы найти сумму двух векторов c —
 а +  b, используют одно из 
двух правил:
— правило параллелограмма: векторы а и b перемещают в пространстве параллельно самим себе, пока их начала не окажутся в одной точке, сумма этих векторов определяется как диагональ параллелограмма, 
построенного на векторах а и b (рис. 1.2);
— правило треугольника: начало второго слагаемого совмещается с 
концом первого слагаемого, вектор c, проведенный из начала первого 
слагаемого к концу второго слагаемого, будет суммой векторов а и b 
(рис. 1.3).
Правило многоугольника используется при сложении более двух векторов, например, при определении результирующей нескольких сил, 
приложенных к телу. Начало каждого последующего слагаемого совмещается с концом предыдущего слагаемого. Результирующий вектор 
начинается в начале первого слагаемого и оканчивается в конце последнего слагаемого. Сумма трех векторов d —
 а + b + c показана на рис. 1.4.
7

Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4
Вычитание векторов
Из вектора а вычесть вектор b — то же самое, что вектор а сложить 
с вектором —
 
b:
c =  а —
 b = а + (—
b).
Операция вычитания векторов с использованием правила параллелограмма сложения векторов а и —
 
b представлена на рис. 1.5.
Рис. 1.5
Таким образом, разность векторов а и b — это вектор с, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора b, а конец — с концом 
уменьшаемого вектора а.
8

Умножение вектора на скаляр
Результатом умножения вектора а на скаляр к будет вектор b = ka, 
длина которого в к раз отличается от длины вектора а, а направление 
такое же, как у вектора а, если к > 0, и противоположное, если к < 0.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, 
равное произведению длин этих векторов на косинус угла а между ними:
(a, b) = |
 a |
 ■
 |
 b |
 ■
 cos а.
Например, работа силы F на перемещении S материальной точки 
определяется скалярным произведением (F, S).
Если угол между векторами острый, то (a, b) > 0; если тупой, то 
(a, b) < 0; если прямой, то (a, b) =  0.
Если известны проекции векторов на координатные оси, то скалярное произведение этих векторов можно вычислить как сумму произведений их соответствующих проекций на координатные оси, т. е.
(a, b) = aibi + а2^2
 + a3b
3.
Заметим, что в литературе используются разные обозначения скалярного произведения векторов. Мы будем использовать принятое выше обозначение — векторы заключаются в круглые скобки и разделяются запятой.
Векторное произведение векторов
В отличие от скалярного произведения результатом векторного произведения векторов является вектор. Векторное произведение векторов 
a и b будем обозначать так: [
 a, b ], т. е. векторы-сомножители заключаются в квадратные скобки и разделяются запятой.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = 
[
 a,
 b ], который: имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, т. е. |
 c |
 =  |
 a |
 ■
 |
 b |
 ■
 sin а; лежит 
на прямой, перпендикулярной площади параллелограмма (рис. 1.6).
Направление вектора c определяется по любому из следующих трех 
правил.
9