Линейная алгебра

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Е. А. Голикова

Линейная аЛгебра

Уч е б н о е  п о со бие 

Рекомендовано методическим советом  
Уральского федерального университета для студентов вуза,  
обучающихся по направлениям подготовки  
09.03.01 — Информатика и вычислительная техника, 
09.03.03 — Прикладная информатика, 
09.03.04 — Программная инженерия, 
11.03.01 — Радиотехника, 11.03.02 — Информационные  
технологии и системы связи, 
11.03.03 — Конструирование и технология электронных средств, 
27.03.04 — Управление в технологических системах

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета
2021 

УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73 
          Г60 

Ре ц е н з е н ты :
завотделом алгебры и топологии ИММ УрО РАН канд. физ.-мат. 
наук, доц. И. Н. Белоусов;
канд. пед. наук, доц. кафедры высшей математики О. В. Куликова 
(Уральский государственный университет путей сообщения)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р  — канд. физ.-мат. наук, доц. Н. В. Чуксина

Г60
Голикова, Е. А.
Линейная алгебра : учебное пособие / Е. А. Голикова ; М-во  
науки и высш. обр. РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2021. — 104 с.
ISBN 978-5-7996-3193-2

Учебное пособие подготовлено на основе лекций и практических занятий по части «Линейная алгебра» дисциплины «Математика» для студентов всех специальностей Института радиотехники и информационных технологий. В каждом разделе пособия приведены формулировки необходимых определений и теорем, а также 
разобраны основные типы задач. Каждая глава заканчивается подборкой вопросов 
для самоконтроля.
Библиогр.: 11 назв. Рис. 6.
УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73

ISBN 978-5-7996-3193-2
© Уральский федеральный  
     университет, 2021

Список обозначений
𝑥 ∈ 𝐴 – 𝑥 является элементом множества 𝐴
𝑥 /∈ 𝐴 – 𝑥 не является элементом множества 𝐴
𝐴 ⊆ 𝐵 – 𝐴 подмножество множества 𝐵
𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 & 𝑥 /∈ 𝐵} – разность множеств 𝐴 и 𝐵
𝐴 ( или ¬𝐴)– высказывание «не 𝐴»
𝐴 ∧ 𝐵 (или 𝐴&𝐵) – высказывание «𝐴 и 𝐵»
𝐴 ∨ 𝐵 – высказывание «𝐴 или 𝐵»
𝐴 ⇒ 𝐵 – высказывание «если 𝐴, то 𝐵»
𝐴 ⇔ 𝐵 – высказывание «𝐴 равносильно 𝐵»
∀𝐴 – высказывание «для любого 𝐴»
∃𝐴 – высказывание «существует 𝐴»
Rg(𝐴) – ранг матрицы 𝐴
𝑋 – операция покомпонентного комплексного сопряжения матрицы 𝑋

diag(𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑛) =

⎛

⎜
⎜
⎝

𝜆1
0
. . .
0
0
𝜆2 . . .
0
. . .
0
0
. . . 𝜆𝑛

⎞

⎟
⎟
⎠ – диагональная матрица

3

ВВЕДЕНИЕ

В университетском курсе алгебры изучаются различные алгебраические
структуры (точнее, алгебры). Как правило, это аксиоматически определяемые
объекты, т. е. множества с определенными свойствами. При этом природа элементов множества-носителя не имеет значения. Например, мы можем рассмотреть в качестве основного множества (носителя) — действительные числа вместе с операцией сложения этих чисел. Но можем рассмотреть в качестве носителя — множество действительных функций, определенных на отрезке [0, 1],
вместе с операцией их сложения. Понятно, что свойства операции сложения как
чисел, так и функций одинаковы. Это перестановочность (коммутативность),
сочетательный закон (ассоциативность), наличие специального элемента, играющего роль нуля (число 0 или тождественно нулевая функция) и т. д. Таким образом, можно заметить, что природа элементов носителя не влияет на свойства
операции сложения в приведенном примере. С точки зрения алгебры, сложение
на множестве действительных чисел порождает ту же алгебраическую структуру, что и сложение на множестве действительных функций (это — группа).
Алгебра абстрактно изучает аксиоматические структуры, а точнее, свойства
операций на произвольных множествах.
Во введении мы более четко определим упомянутые понятия, такие как операция, свойства операций, алгебра. Будут приведены аксиоматические определения некоторых алгебраических структур (полугруппа, группа, поле). Основные разделы посвящены теории линейных пространств (частный, но важный
пример алгебраической структуры). Выводы этой теории широко применяются
в самых разных разделах математики: теория дифференциальных уравнений,
теория рядов, уравнения математической физики и т. д.
Определение
В1.
Алгебраической
операцией
𝑛-местной
или
𝑛-арной на непустом множестве 𝐴 называется функция 𝑛 переменных,
определенная на 𝐴.
Пример. 1. Бинарная операция сложения целых чисел отображает Z в Z,
она паре целых чисел 𝑎, 𝑏 ставит в соответствие целое число 𝑎 + 𝑏.
2. Унарная операция обращения целых чисел отображает Z в Z, она одному

4

целому числу 𝑎 ставит в соответствие целое число −𝑎.
3. Особую роль играют 0-арные операции, то есть константы. Например,
числа 1 и 0 играют особую роль в теории целых чисел, их можно рассматривать
как значения соответствующих 0-арных операций.
Определение В2. Алгеброй (универсальной алгеброй) называется
упорядоченная пара 𝒜 = ⟨𝐴, ℱ⟩, где 𝐴 – некоторое непустое множество, называемое носителем алгебры 𝒜, и ℱ – множество операций, определенных
на 𝐴, называемое сигнатурой алгебры 𝒜.
Ниже в табличной форме собраны примеры алгебр с соответствующими наборами операций. Во втором столбце черта «
⃒⃒» отделяет операции. Например,
«+
⃒⃒ 0» означает, что на данном носителе определена бинарная операция + и
0-арная операция 0. Далее табличную форму постепенно заполним.

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций Тип алгебры

N
+

N
·
⃒⃒ 1

Z
+
⃒⃒ 0

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ ·
⃒⃒ 1

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ ·
⃒⃒ 𝐸2×2

Пусть * и ∘ — бинарные операции из множества ℱ алгебры
𝒜 = ⟨𝐴, ℱ⟩ и 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴. Отметим некоторые часто встречающиеся
свойства бинарных операций.
1. Ассоциативность * : ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 (𝑎 * 𝑏) * 𝑐 = 𝑎 * (𝑏 * 𝑐).
2. Коммутативность * : ∀𝑎, 𝑏, ∈ 𝐴 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎.
3. Дистрибутивность ∘ относительно * слева:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 ∘ (𝑏 * 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) * (𝑎 ∘ 𝑐).
4. Дистрибутивность ∘ относительно * справа:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 (𝑎 * 𝑏) ∘ 𝑐 = (𝑎 ∘ 𝑐) * (𝑏 ∘ 𝑐).
Важное свойство 0-арной операции 𝑒 — быть нейтральным (нулевым, единичным) элементом для бинарной операции * запишем под номером 5.
5. ∃𝑒 ∈ 𝐴: ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑥 = 𝑥.
Отметим также под номером 6 унарную операцию обращения для бинарной
операции * с нейтральным (нулевым, единичным) элементом 𝑒.
6. ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 : 𝑥 * ˜𝑥 = ˜𝑥 * 𝑥 = 𝑒.
Продолжая заполнять форму, перечислим по номерам те свойства операций,
которые выполняются в данной алгебре. При этом отмечен тот единичный эле
5

мент 𝑒 в данном носителе, для которого выполняется свойство 5 (например,
𝑒 = 0, 5). Заметим, что здесь также использованы стандартные обозначения из
алгебры матриц: 𝐸2×2 — единичная матрица размерности 2 × 2; 02×2 — нулевая
матрица размерности 2 × 2.

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций Тип алгебры

N
+
1, 2

N
·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5

+
⃒⃒ ·
3, 4

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6

+
⃒⃒ ·
3, 4

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6

+
⃒⃒ ·
3, 4

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ − 𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5

+
⃒⃒ ·
3, 4

Различные типы алгебр определяются набором операций и их свойств (другими словами – аксиомами). Приведем определения некоторых алгебр.
Определение В3. Пусть 𝐴 – некоторое непустое множество, * – бинарная операция, определенная на этом множестве. Алгебра ⟨𝐴, {*}⟩ называется
полугруппой, если операция является ассоциативной:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 * 𝑦) * 𝑧 = 𝑥 * (𝑦 * 𝑧).
Определение В4. Пусть 𝐴 – некоторое непустое множество, * – бинарная операция, определенная на этом множестве, 𝑒 – 0-местная операция
на 𝐴, то есть 𝑒 – некоторый элемент из 𝐴, называемый нейтральным
(единичным). Алгебра ⟨𝐴, {*, 𝑒}⟩ называется группой, если выполняются
следующие утверждения ( аксиомы группы):
1) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 * 𝑦) * 𝑧 = 𝑥 * (𝑦 * 𝑧) – аксиома ассоциативности;
2) ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑥 = 𝑥 – аксиома существования нейтрального элемента;
3) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 : 𝑥 * ˜𝑥 = ˜𝑥 * 𝑥 = 𝑒 – аксиома существования обратного элемента.

Определение В5. Группа называется абелевой, если в ней выполняется
аксиома коммутативности.

6

Выделим по свойствам операций в заполняемой таблице с примерами, группы
и полугруппы.
Таблица В1

Носитель
Сигнатура (операции) Свойства операций
Тип алгебры

N
+
1, 2
полугруппа

N
·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5
полугруппа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
группа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨Z, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
1, 𝑒 = 1, 5
⟨Z, ·⟩– полугруппа

3, 4

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨R, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨R, ·⟩– группа

3, 4

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨C, +⟩– группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨C, ·⟩– группа

3, 4

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒ − 𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6
⟨𝑀2×2, +⟩– группа

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5
⟨𝑀2×2, ·⟩– полугруппа

3, 4

В приведенной табл. В1 на всех носителях определены две бинарные операции,
но они удовлетворяют разным наборам свойств (аксиом). Соответственно формируются различные алгебры. Далее рассмотрим определения кольца и поля —
алгебр с двумя бинарными операциями.
Определение В6. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0 — элемент множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0}⟩ называется кольцом тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):
1) ⟨𝐴, {+, 0}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

2) ⟨𝐴∖{0}, {·}⟩ — полугруппа;

3) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 — дистрибутивность.

При этом группа ⟨𝐴, {+, 0}⟩ называется аддитивной группой кольца.
⟨𝐴∖{0}, {·}⟩ называется мультипликативной группой кольца.
Определение В7. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0, 1 — элементы множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0, 1}⟩ называется полем тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы поля):

7

1) ⟨𝐴, {+, 0}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

2) ⟨𝐴∖{0}, {·, 1}⟩ — абелева (коммутативная) группа;

3) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 — дистрибутивность.

При этом группа ⟨𝐴, {+, 0}⟩ называется аддитивной
группой
поля.
⟨𝐴∖{0}, {·, 1}⟩ называется мультипликативной группой поля.
Возвращаясь к примерам, приведенным в табл. В1, выделим среди них носители с двумя бинарными операциями. По набору свойств этих операций и
наличию дистрибутивности делаем выводы о типе алгебры. Запись в табл. В2
«3=4» означает, что левая и правая дистрибутивность, в случае коммутативной
операции «·», совпадают.

Таблица В2

Носитель
Сигнатура
Свойства операций
Тип алгебры

N
+
1, 2
полугруппа

N
·
⃒⃒ 1
1, 2 , 𝑒 = 1, 5
абелева полугруппа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
абелева группа

Z
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨Z, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
1, 2, 𝑒 = 1, 5
⟨Z, ·⟩ – полугруппа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨Z, +, ·⟩ – кольцо

R
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 2, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨R, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨R, ·⟩ – абелева группа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨R, +, ·⟩– поле

C
+
⃒⃒ 0
⃒⃒ − 𝑎
1, 𝑒 = 0, 5, 6
⟨C, +⟩ – абелева группа

·
⃒⃒ 1
⃒⃒ 𝑎−1
1, 2, 𝑒 = 1, 5, 6
⟨C, ·⟩ – абелева группа

1, . . . 3, 4 (3 = 4)
⟨C, +, ·⟩– поле

𝑀2×2
+
⃒⃒ 02×2
⃒⃒𝐴
1, 2, 𝑒 = 02×2, 5, 6
⟨𝑀2×2, +⟩ абелева группа

·
⃒⃒ 𝐸2×2
2, 𝑒 = 𝐸2×2, 5
⟨𝑀2×2, ·⟩ полугруппа

1, . . . 3, 4 (3 ̸= 4)
⟨𝑀2×2, +, ·⟩ – кольцо

Как видно из табл. В2, среди приведенных примеров имеется два примера
поля — числовые множества R и C. В этих множествах возможно как складывать числа, так и вычитать, как умножать, так и делить. Именно поля будут
фигурировать в определении линейного пространства. Формулируя в следующем разделе аксиоматическое определение линейного пространства «над полем
𝐾», будем иметь в виду любое поле. Это может быть R или C, но, в конечном
счете, важны лишь свойства операций. Выполнение соответствующих свойств
(аксиом) позволяет создать общую теорию такой алгебраической структуры,

8

как линейное пространство, вне зависимости от природы элементов линейного
пространства или от конкретного вида поля, над которым оно рассматривается.
В заключение введения приведем развернутое определение поля, состоящее
из 7 аксиом и не содержащее понятия «группа».
Определение В8. Пусть 𝐴 — непустое множество, +, · — операции на
множестве 𝐴 и
0, 1 — элементы множества 𝐴. Алгебра ⟨𝐴, {+, ·, 0, 1}⟩ называется полем тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы поля):

1) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ;

2) ∃0 ∈ 𝐴 : ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 ;

3) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃˜𝑥 = −𝑥 : 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0;

4) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) · 𝑧 = 𝑥 · (𝑦 · 𝑧) ;

5) ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 · 1 = 1 · 𝑥 = 𝑥 ;

6) ∀𝑥 ∈ 𝐴∖{0} ∃˜𝑥 = 𝑥−1 : 𝑥 · 𝑥−1 = 𝑥−1 · 𝑥 = 1;

7) 𝑎 · (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 и (𝑏 + 𝑐) · 𝑎 = 𝑏 · 𝑎 + 𝑐 · 𝑎 – дистрибутивность.

9

Глава 1

Линейные пространства

1.1. Основные понятия

1.1.1. Определение и примеры линейного пространства

Определение 1.1.1. Линейное пространство над полем 𝐾 — это множество 𝑈 (его элементы называются векторами), на котором определена
бинарная операция + сложения векторов и унарные операции 𝜆·
умножения
векторов на числа 𝜆, для каждого 𝜆 из поля 𝐾, причем выполняются следующие 8 аксиом линейного пространства (свойства указанных операций):

1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 : 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (коммутативность);

2) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑈 : (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (ассоциативность);

3) ∃𝛩 ∈ 𝑈 ∀𝑥 ∈ 𝑈 : 𝑥 + 𝛩 = 𝑥 (существование нулевого вектора 𝛩);

4) ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃(−𝑥) ∈ 𝑈 : 𝑥 + (−𝑥) = 𝛩 (существование обращения векторов);

5) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈, ∀𝜆 ∈ 𝐾 : 𝜆 · (𝑥 + 𝑦) = 𝜆 · 𝑥 + 𝜆 · 𝑦 (дистрибутивность);

6) ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾 : (𝜆 + 𝜇) · 𝑥 = 𝜆 · 𝑥 + 𝜇 · 𝑥 (дистрибутивность);

7) ∀𝑥 ∈ 𝑈, ∀𝜆, 𝜇 ∈ 𝐾 : (𝜆 · 𝜇) · 𝑥 = 𝜆 · (𝜇 · 𝑥);

8) если 1 — единичный элемент поля 𝐾, то ∀𝑥 ∈ 𝑈 1 · 𝑥 = 𝑥.

Можно заметить, что, согласно определению В5 на с. 6, множество векторов
𝑈 образует абелеву группу относительно операции сложения. Второй сорт операций на множестве векторов 𝑈 — умножение на «числа», т. е. элементы произвольного поля 𝐾, также подчиняется определенным аксиомам. Далее приведем
уже хорошо известные примеры линейных пространств, проверяя по определению выполнение аксиом линейного пространства. В дальнейшем изложении
будем писать ЛП вместо «линейное пространство».

10