Механика и теория относительности. Задачи, их анализ и решение

Министерство науки и высшего образования 

Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер

Механика и теория относительности.  

Задачи, их анализ и решение

Практикум

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов инженерно-технических
специальностей

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

УДК 535.13(075.8)
ББК 22.343я73
          М20

Рецензенты:
кафедра общей физики РГППУ, доц, канд. физ.-мат. наук 
С. В. Анахов; проф., д-р физ.-мат. наук В. Е. Сидоров (кафедра физики, технологии и методики обучения физике и технологии УрГПУ) 

Научный редактор — проф., д-р физ.-мат. наук А. В. Мелких

 
Малышев, Л. Г.

М20    Механика и теория относительности. Задачи, их ана
лиз и решение : практикум / Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер ; 
М-во науки и высш. обр. РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. 
ун-та, 2021. — 144 с.

ISBN 978-5-7996-3192-5

Издание «Механика и теория относительности. Задачи, их ана
лиз и решение» предназначено для студентов УрФУ, обучающихся 
на физических и инженерно-физических направлениях подготовки, изучающих курс общей физики в соответствии с рабочей программой курса «Общая физика» и образовательными стандартами. 
Книга включает обсуждение основных физических законов и соотношений, на основе которых проводятся подробный анализ и решение большого числа задач и примеров. Использование студентами данного издание позволит улучшить уровень их подготовки 
по разделу курса «Физика».

Библиогр.: 4 назв. Рис. 67.

УДК 535.13(075.8)
ББК 22.343я73

ISBN 978-5-7996-3192-5 
© Уральский федеральный

 
университет, 2021

Введение

И

зучение различных разделов физики базируется 
на понимании базовых законов, лежащих в основе 
этих направлений физики, и их взаимной связи. Законы содержат множество следствий более частного характера, описывающих конкретные физические явления. Их изучение связано с умением практического использования основных 
положений теории, их применением к конкретным физическим явлениям. Научиться этому можно лишь решая задачи, 
условия которых в той или иной степени моделируют реальную 
картину процессов и явлений. В данном пособии авторы стремились показать, как практически применять основные физические законы при помощи описания различных ситуаций как 
реальных, так и модельных. Все задачи в пособии сопровождаются анализом условий, подробными решениями и обсуждением полученных результатов.

1. Основные законы механики

1. Основные законы механики

1.1. Кинематические представления механики

Задача 1.1. Частица движется вдоль оси х так, что ее скорость 

зависит от времени по закону x
t
t
=
(
)
b
a
1
, где α и β — положительные постоянные. Найти:

а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;
б) путь S, пройденный частицей за время, в течение кото
рого она вернется в исходное положение.

Решение. Для определения скорости и ускорения воспользуемся формулами 

 

v
dx
dt
t

v
v

a dv
dt
a
a

x

x

x
x

x

=
=

=

= 
=
=

b
ab

ab

ab

2

2

2

,

,

,

.

 

Как следует из полученных соотношений, мы имеем равно
замедленное движение с начальной скоростью v x
0 = b . Время 

t1 , затраченное частицей при ее движении до остановки, найдем из условия 

 

v
t

t

x =
=

=

b
ab

a

2
0

1
2

1

1

,

.
 

1.1. Кинематические представления механики

Путь s1, пройденный частицей при этом, легко опре- 
делить:

 
s
t
t
1
1
1
1
4
=
(
) =
b
a
b
a . 

Затем частица начинает двигаться в обратном направлении 

и проходит то же самое расстояние. Таким образом, пройденный путь s

 
s
s
=
=
2
2

1

b
a .  

Отметим, что время, в течение которого частица вернется 

в исходное положение, легко определить из условия x = 0 :

 

x
t
t

t
t

=
(
) =

=
=

b
a

a

1
0

0
1

,

,
.
               

 

Задача 1.2. Скорость частицы, движущейся в направлении 

оси х, описывается формулойv
x
= a
, где α — положительная 

постоянная. В начальный момент времени частица имеет координату x0
0
=
. Найти:

а) скорость и ускорение частицы как функции времени;
б) среднюю скорость частицы на начальном участке ее траектории длиной s.
Решение. Запишем условие задачи в виде 

 

dx
dt
x

dx

x
dt

=

=

a

a

,

,

 

и проинтегрируем обе части этого равенства:

1. Основные законы механики

 

dx

x
dt

x
t

x
t

x
t

0
0

2 2
2

4

т
= т

=

=

a

a

a

,

,

.

 

Скорость и ускорение найдем по обычным формулам 

 

v
dx
dt
t

a
dv
dt

=
=

=
=

a

a

2

2
2

2

,

.

 

По определению средняя скорость определяется выражением 

 
v
x
t
=
, 

и тогда 

 
v
t
x
s
=
=
=
a
a
a

2

4

1
2
. 

Задача 1.3. Ускорение, с которым вагон метро движется 

от станции А до станции В, изменяется по закону a
b
cx
=
, 

где x — расстояние от станции А, b и с — положительные постоянные. Найти расстояние между станциями. Чему равна максимальная скорость вагона?
Решение. Преобразуем формулу для ускорения к виду 

 
a
dv
dt

dv
dx

dx
dt

dv
dx v
=
=
=
, 

и тогда 

 
vdv
b
cx dx
=
(
)
. 

1.1. Кинематические представления механики

Проинтегрируем это выражение 

 

vdv
b
cx dx

v
bx
cx

v
x

0
0

2
2

2
2

т
=
(
)
т

=

,

,

 

и получим 

 
v
b
cx x
=
(
)
2
. 

На станциях вагон останавливается, и его скорость равна 

нулю. Из полученного выражения следует, что v = 0  при x = 0  
(это станция А) и при x
b c
= 2
. Это и есть расстояние между 

станциями:

 
s
b
c
= 2 . 

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся условием экстремума 

 

dv
dx
d
dx
b
cx x

b
cx

b
cx x

x
b
c

m

=

(
)
(
) =


(
)
=

=

0

2
0

2
2

2
0

,

,

,

,

 

и тогда 

 
v
b
cx
x
b

c

m
m
m
=
(
)
=
2
.  

Впрочем, к этому результату можно было прийти проще — 

ясно, что максимальная скорость вагона будет в точке, находящейся на половине пути между станциями, то есть x
s
m =
/ 2.

1. Основные законы механики

Задача 1.4. Положение точки на плоскости определяется радиус-вектором r, зависящим от времени по закону r = αti + βt 2j 
(α и β — постоянные). Определить:
а) скорость и ускорение точки как функции времени;
б) уравнение ее траектории у (х);
в) угол φ, образованный векторами v и a, как функцию времени.
Решение. Общая формула для радиус-вектора r имеет вид 
 
r
i
j
=
+
x
y , 

а это означает, что 
 
x
t
y
t
=
=
a
b
,
.
           
2  

Тогда 

 

v
dx
dt
v
dy
dt
t

t
v
v

x
y

x

=
=
=
=

=
+
=

a
b

a
b

,
,

,

           

          

2

2
2
v
i
j
+
=
+

=
=
=
=

=

v
t

a
dv
dt
a
da

dt

y

x
x
y
y

2
2
2 2
4

0
2

2

a
b

b

b

,

,
,

,

          

    
a
j
               a
a
a
x
y
=
+
=
2
2
2b.

 

Уравнение траектории получим так:

y
x
x
=
ж
из
ц
шч =
b a
b
a

2
2

2 .  

Вид этой зависимости изображен на рис. 1.1, из которого 
видно, что угол φ, образованный 
векторами v и a, легко определить из соотношения 

tan
.
j
a
b
=
=
v

v
t

y

x
2
 

v

а

х

у

φ

Рис. 1.1 

1.1. Кинематические представления механики

Задача 1.5. Траектория тела, брошенного в поле тяжести Земли, описывается уравнением y
x
x
=
a
b
2  (α и β — постоянные). 

Найти начальную скорость v0 тела.

Решение. Ускорение свободного падения направлено вниз, 

поэтому движение тела в горизонтальном направлении происходит с постоянной скоростью vx , и x
v t
x
=
. Тогда 

 
y
v t
t
x
=
a
ba2 2. 

Вертикальная составляющая скорости 

 
v
dy
dt
v
v t
y
x
x
=
=
a
b
2
2 ,  

и в момент броска (t = 0) v
v
y
x
= a
.

Таким образом, 

 
v
vx
0
2
1
=
+a .  

Согласно условию задачи 

 

a
dv

dt
v
g

v
g

y
y
x

x

=
= = 
=

2

2

2
b

b

,

,

 

ответ будет таким:

 
v
g

0

2
1

2
=
+
(
)
a

b
.  

Задача 1.6. Аэростат поднимается вверх с постоянной скоростью подъема v0 . Под влиянием ветра у него появляется горизонтальная составляющая скорости vx , меняющаяся с высотой y по законуv
y
x = a  (y — постоянная). Найти:

а) величину горизонтального сноса аэростата x(y);
б) зависимость ускорения аэростата (а также тангенциаль
ной и нормальной составляющих) от его высоты.

1. Основные законы механики

Решение. Согласно условию задачи y
v t
=
0 , поэтому 

 

v
v t

dx
dt
v t

dx
v tdt

dx
v tdt

x
v t
y
v

x

t
x

=

=

=

= т
т

=
=

a

a

a

a

a
a

0

0

0

0
0
0

0
2
2

2
2

,

,

,

,

0
.

 

Для того, чтобы вычислить ускорение аэростата, найдем 

 

v
dx
dt
v t
a
dv
dt
v

v
v
a

x
x

x

y
y

=
=
=
=

=
=

a
a
0
0

0
0

,
,

,

     

                 
,

 

и тогда 

 
a
a
a
v
x
y
=
+
=
2
2
0
a
. 

Модуль скорости аэростата 

 
v
v
v
v
t
x
y
=
+
=
(
) +
2
2
0

2
1
a
, 

тангенциальную составляющую ускорения найдем по формуле 

 
a
dv
dt
v t

t

y

y
v

t
a

a

a

a
=
=
(
) +
=
ж

и
з
ц

ш
ч +

0
2

2

2

0

2
1
1

. 

Учитывая, что a
a
an
2
2
2
=
+
t
, вычислим нормальную составляющую ускорения 

 
a
a
a
v

y
v

n =
=
ж

и
з
ц

ш
ч +

2
2
0

0

2
1

t
a

a
.