Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА:  
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,  
обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.05 «Бизнес- информатика»,
по специальностям 38.05.01 «Экономическая безопасность»,
38.05.02 «Таможенное дело»

УДК 330.4:519.2(075.8)
ББК 
65.051+22.17я73

 
Т33

ISBN 978-5-7996-3189-5 
© Уральский федеральный университет, 2021

Т33
Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач : учебное пособие / О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Л. Кузнецова [и др.] ; под ред. 
Е. А. Трофимовой ; Министерство науки и высшего образования Российской 
Федерации, Уральский федеральный университет. —  Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2021. — 220 с. : ил. — 100 экз. —  ISBN 978-5-7996-3189-5. —  Текст : 
непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3189-5

Все главы учебного пособия включают теоретический блок —  определения основных 
понятий, формулировки необходимых теорем и утверждений. Ключевые слова и понятия выделены в тексте. Представлены задачи для решения на практических занятиях 
и самостоятельно, приведено большое количество примеров и разборов задач. Каждому 
математическому понятию дается экономическая интерпретация.
Для студентов, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая 
статистика», а также дисциплины в рамках модулей «Математические методы анализа», 
«Математические методы анализа и основы информационных технологий».

УДК 330.4:519.2(075.8)
ББК 65.051+22.17я73

Авторы:
О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Л. Кузнецова,
Е. А. Трофимова, Д. В. Гилёв, Н. В. Кисляк

Под общей редакцией
Е. А. Трофимовой

Рецензенты:
отдел аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН
(заведующий отделом доктор физико- математических наук А. Г. Бабенко);
Г. Б. Захарова, кандидат технических наук, доцент,
ведущий научный сотрудник НИЧ Уральского государственного
архитектурно- художественного университета

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 
5
Введение 
6
1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей 
8
1.1. Классификация событий 
8
1.2. Классическое определение вероятности 
10
1.3. Комбинаторика и вероятность 
12
1.4. Относительная частота события. Статистическое определение 
вероятности 
17
1.5. Геометрическое определение вероятности 
18
1.6. Действия над событиями 
20
1.7. Теоремы сложения вероятностей 
24
1.8. Теоремы умножения вероятностей. Условная вероятность 
27
1.9. Формула полной вероятности 
32
1.10. Формулы Байеса 
34
Задачи для самостоятельного решения 
36
2. Последовательности испытаний 
39
2.1. Формула Бернулли 
39
2.2. Наивероятнейшее число событий 
41
2.3. Асимптотические формулы в схеме Бернулли 
42
2.3.1. Локальная теорема Муавра —  Лапласа 
42
2.3.2. Теорема Пуассона 
43
2.3.3. Интегральная формула Муавра —  Лапласа 
44
Задачи для самостоятельного решения 
47
3. Случайные величины 
50
3.1. Определение случайной величины и способы ее задания 
50
3.2. Функция распределения 
54
3.3. Непрерывные случайные величины 
56
3.4. Функции от случайных величин 
60
3.5. Числовые характеристики случайных величин 
62
3.6. Понятие о моментах распределения 
71
Задачи для самостоятельного решения 
72

4. Основные дискретные и непрерывные распределения 
76
4.1. Распределение Бернулли 
76
4.2. Биномиальное распределение 
77
4.3. Распределение Пуассона 
82
4.4. Геометрическое распределение 
84
4.5. Гипергеометрическое распределение 
85
4.6. Производящая функция 
87
4.7. Равномерное распределение 
88
4.8. Показательное (экспоненциальное) распределение 
90
4.9. Нормальный закон распределения 
92
4.10. Основные распределения в статистике 
98
4.10.1. Распределение хи-квадрат 
98
4.10.2. Распределение Стьюдента 
101
4.10.3. Распределение Фишера —  Снедекора 
103
Задачи для самостоятельного решения 
105
5. Многомерные случайные величины 
110
5.1. Законы распределения системы случайных величин 
110
5.2. Числовые характеристики двумерных случайных величин 
120
5.3. Условные распределения составляющих двумерной случайной величины 126
5.4. Числовые характеристики многомерной случайной величины 
135
5.5. Многомерное нормальное распределение 
139
Задачи для самостоятельного решения 
141
6. Случайные последовательности 
148
6.1. Понятие о предельных теоремах 
148
6.2. Вспомогательные неравенства 
148
6.3. Закон больших чисел 
151
6.4. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема) 
153
Задачи для самостоятельного решения 
159
7. Математическая статистика 
162
7.1. Выборочный метод математической статистики 
162
7.2. Применение математической статистики 
164
7.3. Вариационные ряды и их характеристики 
166
7.4. Оценивание распределения случайных величин 
170
7.5. Свойства статистических оценок 
177
7.6. Общая схема проверки статистических гипотез 
184
7.7. Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины 
186
7.8. Проверка нормальности из графического анализа гистограмм 
188
Задачи для самостоятельного решения 
200
Приложение 
210

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов третьего поколения по экономическим 
специальностям. Включает в себя кратко, но всесторонне изложенный теоретический материал с разобранными на каждую тему практическими заданиями, 
с объяснением экономического смысла каждого введенного понятия, а также 
задачи для самостоятельного решения. Пособие может быть использовано в качестве основной литературы для проведения лекций и практических занятий.
Предпосылками написания учебного пособия послужили необходимость 
систематизировать накопленный материал при многолетнем прочтении лекций 
и проведении практических занятий у авторов пособия, а также возможность 
иметь полный комплект наработанных материалов, учитывающий новые разработки и обеспечивающий дисциплину «Теория вероятностей и математическая 
статистика». При написании пособия учтены современные требования и компетенции, предъявляемые к бакалавру экономики. Материал подобран так, 
чтобы можно было не только уловить суть предмета, но и понять его назначение 
в современном мире. Особый уклон сделан на экономические приложения. Содержание пособия целиком соответствует рабочей программе по дисциплине 
и охватывает объем шире необходимого минимума. Некоторые темы приведены 
для самостоятельного разбора студентами.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является 
важнейшей частью модуля «Математические методы анализа». Ее прикладная 
значимость в экономике достаточно велика. На ней зиждется эконометрика, 
многомерный статистический анализ, нейронные сети, распознавание образов 
и многие другие научные области. Современный экономист должен уметь использовать аппарат математической статистики на высоком уровне.

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и ее значение для экономической науки
Многие явления в природе, технике, экономике и в других областях носят 
случайный характер, т. е. невозможно точно предсказать, как явление будет 
происходить. Оказывается, однако, что течение и таких явлений может быть 
описано количественно, если только они наблюдались достаточное число раз 
при неизменных условиях.
Теория вероятностей —  математическая наука, изучающая закономерности 
массовых случайных явлений (событий), способных многократно повторяться 
при воспроизведении определенного комплекса условий. Так как многие реальные процессы подвержены случайным воздействиям, то основы этой теории 
важно знать специалистам, занимающимся естественными, техническими, 
экономическими, а также общественными науками.
Математическая статистика есть также раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования 
статистических данных для научных и практических выводов.
За несколько последних десятилетий от теории вероятностей «отпочковались» такие отрасли науки, как теория случайных процессов, теория массового 
обслуживания, теории надежности, теория информации, эконометрическое 
моделирование и др.
Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является 
экономика. В настоящее время трудно себе представить исследование и прогнозирование экономических явлений без использования эконометрического моделирования, регрессионного анализа и других методов, опирающихся 
на теорию вероятностей.

Краткая историческая справка
Первые работы, в которых появились основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, 
Гюйгенс, Паскаль, Ферма и др., XVI–XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли (1654–1705). Доказанная им теорема (1713), 
получившая впоследствии название «закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами 
теория вероятностей обязана А. Муавру (Англия), Лапласу (Франция), Гауссу 
(Германия), Пуассону (Франция) и др. К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) 
и Пуассона (1837); в это же время А. Лежандром (Франция, 1806) и К. Гауссом 
(1808) был разработан метод наименьших квадратов.
Новый период развития теории вероятностей связан с именами русских 
математиков П. Л. Чебышёва (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918). В это время теория вероятностей становится стройной 
математической наукой. Чебышёв чрезвычайно просто доказал (1867) закон 
больших чисел. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную 
теорему для независимых случайных величин. Последующее развитие тории 
вероятностей обязано в России математикам С. Н. Бернштейну, В. И. Романовскому, А. Н. Колмогорову, А. Я. Хинчину и др., во Франции —  Э. Борелю, 
П. Леви, М. Фреше, в Германии —  Р. Мизесу, в США —  Н. Винеру, В. Феллеру, 
Дж. Дубу, в Швеции —  Г. Крамеру. Позднее А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров 
и Е. Е. Слуцкий заложили основы теории случайных процессов. Далее большая 
работа проделана по применению методов теории вероятностей к задачам математической статистики.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Классификация событий

Теория вероятностей базируется на опыте, наблюдении различных процессов, происходящих в окружающем нас мире.
Под опытом, испытанием G понимается воспроизведение определенного 
комплекса условий для наблюдения исследуемого явления.
Исходы (результаты) опытов, наблюдений, испытаний называют событиями.
Пример 1.1. Испытание —  бросание монеты. Выпадение герба (или цифры) 
является событием.
Пример 1.2. Испытание —  студенты сдают экзамен по теории вероятностей. Наудачу выбранный студент получил оценку «отлично» —  событие.
Обычно считается, что событие в опыте случайно, если при неоднократном 
воспроизведении опыта оно иногда происходит, а иногда нет, причем невозможно заранее предсказать возможный исход этого опыта.
Пример 1.3. Пусть опыт G состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные 
события:

 
{
} {
}
{
} {
} {
} {
}
четно
нечетно
и т. д.
1 ,
2 ,
,
6 ,
2 ,
,
X
X
X
X
X
X
=
=
=
≤


Возможные исходы ω опыта G называются элементарными событиями 
(элементарными исходами), если они являются взаимно исключающими и в результате опыта G одно из них обязательно происходит.
Совокупность Ω всех элементарных событий ω в опыте G называется пространством элементарных событий (полной группой событий).
Пространство элементарных событий —  это математическая модель опыта, 
в которой любому событию ставится в соответствие некоторое подмножество 
пространства Ω.
В примере 1.1 пространство элементарных событий Ω = {ω1, ω2}, где 
ω1 = {выпадение герба}, ω2 = {выпадение решки}.

В примере 1.3 пространство элементарных событий Ω = {ω1, …, ω6}, где 
элементарное событие ωi состоит в том, что {X = i}, i = 1, …, 6.
Составные события, или просто события, могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий Ω. Случайные события будем 
обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …
Так, в примере 1.3 события A = {выпало нечетное число очков} = {ω1, ω3, ω5}, 
B = {выпало четное число очков} = {ω2, ω4, ω6}, C = {выпало число очков, кратное 
трем} = {ω3, ω6} являются подмножествами пространства Ω.
Событие называется достоверным в опыте G, если при повторении опыта 
оно обязательно происходит. Ему соответствует пространство Ω.
Событие называется невозможным в опыте G, если при повторении опыта 
оно никогда не происходит. Ему соответствует пустое подмножество в Ω, которое обозначают ∅.
Пример 1.4. В коробке находятся шары красного цвета. Событие A —  извлечение наудачу из коробки шара красного цвета —  достоверное событие. Событие 
B —  извлечение наудачу из коробки шара синего цвета —  невозможное событие.
Говорят, что в опыте G событие A влечет появление события B (A ⊂ B), если 
из осуществления события A следует наступление события B.
Пример 1.5. Пусть опыт G состоит в подбрасывании игральной кости один 
раз. Событие A = {выпало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало 
не менее трех очков}. Здесь A = {ω3, ω6}, B = {ω3, ω4, ω5, ω6}. Поэтому A ⊂ B.
Если одновременно A ⊂ B и B ⊂ A, то события A и B называются равносильными и пишут A = B.
События называют равновозможными, если по условию испытания нет 
оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. Так, появление «орла» или «решки» при бросании монеты —  равновозможные события, 
если считать монету симметричной.
События A и B называются совместными, если наступление (появление) 
одного из них не исключает возможность наступления (появления) в одном 
опыте и другого.
События A и B называются несовместными, если они одновременно не могут произойти в одном опыте.
События A и A  называются противоположными, если тот факт, что одно 
из них не наступило в результате данного испытания, влечет наступление другого. Очевидно, что противоположные события несовместны.
Пример 1.6. Пусть при подбрасывании игральной кости событие A = {выпало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало число очков, кратное 
двум}, событие C = {выпало число очков, кратное пяти}, событие D = {выпало 
нечетное число очков}.

Тогда события A и B совместны, так как в случае выпадения шести очков 
оба события наступают. События B и D несовместны и противоположны. 
События B и C несовместны, но и не являются противоположными, так как 
в случае, если B не наступает, может не наступить и событие C (например, если 
выпадет три очка).

1.2. Классическое определение вероятности

Понятие вероятности, очевидно, является одним из ключевых в теории 
вероятностей. В целом вероятность события можно определить как численную 
меру объективной возможности его появления в данном испытании. Для вычисления этой меры используются различные подходы. Начнем с классического 
определения вероятности.
Пусть полная группа элементарных событий Ω = {ω1, …, ωn} конечна и все ωi 
в ней равновозможны. Элементарные исходы, в которых интересующее нас 
событие A наступает, называются благоприятствующими этому событию или 
благоприятными.
Вероятность события A —  это отношение числа элементарных исходов, 
благоприятствующих A, к общему числу элементарных исходов, т. е.

 
P( )
,
m
A
n
=
 
 (1.1)

где P(A) —  вероятность события A; m —  число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n —  общее число элементарных исходов.
Пример 1.7. Подбрасывается игральная кость и наблюдается число выпавших очков X. Найти вероятность следующих событий: A = {выпало число очков, 
кратное трем}, B = {выпало четное число очков}.
Решение. Полная группа элементарных исходов здесь Ω = {ω1, …, ω6}, где 
элементарный исход ωi состоит в том, что {X = i}, i = 1, …, 6. Таким образом, 
всего исходов шесть и n = 6.
Событию A благоприятствует два элементарных исхода ω3 и ω6, следовательно, m = 2. Тогда

 
2
1
P( )
.
6
3
A =
=

Событию B благоприятствует три элементарных исхода: ω2, ω4 и ω6, следовательно, m = 3. Тогда

 
3
1
P( )
.
6
2
B =
=