Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела

Н. Е. Мисюра, Е. А. Митюшов

Кватернионные модели 
в кинематике и динамике 
твердого тела

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся 
по направлениям подготовки
15.04.02 — Технологические машины 
и оборудование; 
23.04.03 — Автомобильный сервис; 
23.04.02 — Проектирование 
транспортно-технологических систем

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2020

УДК 512.62:531.13(075.8)
ББК 22.144я+22.21я73
          М65

Рецензенты:
заведующий НУЛ «Нелинейный анализ и конструирование новых средств 
передвижения» д-р физ.-мат. наук, доц. А. А. Килин;
канд. физ.-мат. наук, доц., доц. кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВО «Пермский национальный исследовательский университет» А. В. Зайцев

Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. Л. Л. Митюшова

 
Мисюра, Н. Е.
М65    Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела : учебное пособие / Н. Е. Мисюра, Е. А. Митюшов ; Мин-во науки и высш. 
образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2020. — 120 с., 
[1] лист ил.

ISBN 978-5-7996-3150-5

Даются основные правила действий над кватернионами, а также способы их линейной и нелинейной интерполяции. Приводятся многочисленные примеры с иллюстрациями использования кватернионов в различных приложениях.

Библиогр.: 18 назв. Табл. 9. Рис. 56.

УДК 512.62:531.13(075.8)
ББК 22.144я+22.21я73

  
© Мисюра Н. Е., Митюшов Е. А., 2020
ISBN 978-5-7996-3150-5 
© Оформление. Уральский

 
     федеральный университет, 2020

Указатель основных обозначений

q =[
,
,
,
]
q q q q
0
1
2
3  — кватернион как четырехмерный вектор

q
i
i
i
=
+
+
+
q
q
q
q
0
1
1
2
2
3
3 — кватернион как гиперкомплексное число

q =
+
=
+
+
+
q
q
q
q i
q i
q i
0
0
1 1
2 2
3 3




 — геометрическая форма представления кватерниона

q
q
=
+
(
)
cos
sin
a
a
e
 — тригонометрическая форма записи кватерниона

q  — норма кватерниона

q  — модуль кватерниона

qp — произведение кватернионов

q p
Ч  — скалярное произведение кватернионов

J =
Ч
(
)
arccos q p  — угол между единичными кватернионами q и p

q =
q
q
0
 — сопряженный кватернион

e — единичный вектор оси поворота
Q = Qij  — матрица направляющих косинусов

R = Rij  — матрица поворота

w
w
=
+
0
 — кватернион угловой скорости

r =
+
0
r  — кватернион положения точки

wi — координаты вектора угловой скорости в неподвижном базисе 




i
i
i
1
2
3
,
,
 
 

Wi — координаты вектора угловой скорости в подвижном базисе 


e
e
e
1
2
3
,
,
 
 

Ox x x
1
2
3 — неподвижная система координат

OX X X
1
2
3 — подвижная система координат

y q j
,
,
 
  — углы Эйлера (прецессии, нутации, собственного вращения)

q y g
,
,
 
  — самолетные углы (тангажа, курса, крена)
Sp(1) — некоммутативная группа единичных кватернионов по умножению
SО(3) — специальная ортогональная группа размерности три
Slerp — линейная интерполяция кватернионов
Snerp — нелинейная интерполяция кватернионов

Предисловие

С 

начала XXI в. наметился возрастающий интерес к удивительным свойствам кватернионов и предприняты многочисленные успешные попытки их применения в решении различных технических и естественно-научных задач. При этом присутствует 
определенная неравномерность в распространении кватернионной тематики. Если русский сегмент поисковой системы Google на запрос 
«кватернион» дает 19 700 результатов, то в англоязычном сегменте 
той же поисковой системы на запрос «quaternion» результатов оказывается уже 1 380 000. Такая информационная насыщенность кватернионной тематики объясняется их востребованностью при решении задач по управлению движением механических систем и космической 
навигации, а также, и это главное, их использованием в компьютерной 
графике и программировании игр. Большинство доступных ресурсов 
носит справочный характер. В некоторых источниках даются рецептурные сведения о технике применения аппарата алгебры кватернионов при решении задач о 3D вращении без выводов и доказательств. 
Часть работ посвящена теоретическим вопросам применения кватернионов при решении специальных задач. Объединяет во многом эти 
работы отсутствие доступного для понимания массовым читателем доказательного изложения теоретических основ алгебры кватернионов 
и наглядных примеров, способствующих пониманию.
В предлагаемом читателю небольшом по объему учебном пособии 
в лаконичной форме даются выводы основных практических формул 
алгебры кватернионов. Изложение сопровождается разбором большого количества примеров, результаты решений которых визуализируются с использованием пакетов компьютерной алгебры.
Для чтения и понимания изложенного материала необходимы минимальные базовые знания из векторной и линейной алгебр курса математики технического вуза.

Люсеньке, которая верила, 
терпела, понимала и помогла

Глава 1. 
 
Основные понятия 
и определения

1.1. Историческая справка

В 
2018 г. исполнилось 175 лет с момента открытия кватернионов сэром Уи́льямом Ро́уэном Га́мильтоном.
Согласно современному определению 
кватернио́ны (от лат. quaterni — по четыре) — система гиперкомплексных чисел, 
образующая векторное пространство 
размерностью четыре над полем вещественных чисел. Из него следует, что кватернионы представляют собой некоторую алгебраическую структуру, находящуюся в тесной связи с комплексными 
числами, z
a
bi i
=
+
=
, 
1.
Гамильтон У. интересовался комплексными числами с начала 1830-х гг. 
и был первым, кто показал (1833), что они образуют алгебру пар чисел, т. е. формальные правила арифметических операций действительны для определенных таким образом объектов. В течение следующих 
десяти лет У. Гамильтон пытался расширить концепцию комплексного числа как пары, чтобы определить тройку (триплет) с одной реальной и двумя мнимыми единицами. В течение этого периода он ввел 
понятие вектора, определил правила сложения и умножения векторов, 
но рассматриваемые им триплеты не удовлетворяли всем аксиомам 
числового поля. Гениальное решение проблемы пришло У. Гамильтону как озарение, в результате которого он понял, что надо отказаться от алгебры триплетов и рассмотреть алгебру четверок — кватернионов. Вот как сам Уильям Гамильтон описывает это в своем письме 
к сыну Арчибальду за месяц до своей кончины [1].

Уильям Роуэн Гамильтон 
(4 авг. 1805 – 2 сент. 1865)

Глава 1.  Основные понятия 

Письмо от сэра У. Р. Гамильтона преподобному 
Арчибальду Г. Гамильтону*

5 авг. 1865 г.

МОЙ ДОРОГОЙ АРЧИБАЛЬД
(1) Я ждал случая поговорить с тобой о КВАТЕРНИОНАХ; и теперь 
такой представился, поскольку во вчерашнем послании, которое я получил этим утром, ты пишешь, что «размышляешь о некоторых связанных с ними» (кватернионами) моментах, «в частности, с Умножением 
Векторов».
(2) Не менее важно, и действительно, это фундаментальный вопрос 
во всей Теории Кватернионов, который может быть предложен: Что это 
за УМНОЖЕНИЕ? Каковы его правила, его цели, его результаты? Какие существуют Aналогии между ним и другими Операциями, которые получили то же самое общее Наименование? И, наконец, каково (если оно 
есть) его Применение?
(3) Если говорить от своего имени в связи с этим предметом, я мог бы 
сделать это таким образом, который напомнил бы тебе о докватернионовом времени, когда ты был еще совсем ребенком, но воспринял от меня понятие Вектора, представленное как Триплет: и в самом деле мне удалось 
запомнить год и месяц — октябрь 1843 г., после недавних поездок в Корк 
и Парсонстаун, связанных с собранием Британской Ассоциации, желание 
открыть законы этого умножения возродили у меня определенную силу 
и серьезность, которые в течение нескольких лет спали во мне, но затем 
пробудились, и мы с тобой это обсуждали. Каждое утро в начале упомянутого месяца, когда я спускался к завтраку, твой (тогда) маленький брат 
Уильям Эдвин, как и ты, спрашивал меня: «Ну, папа, можешь ли ты умножать триплеты?» На что я всегда вынужден был отвечать, грустно качая головой: «нет, я могу лишь складывать и вычитать их».
(4) Но 16-го числа того же месяца — это был понедельник и консульский день в Королевской Ирландской Академии — я шел, чтобы присутствовать и председательствовать там, а твоя приехавшая туда мать шла 
со мной вдоль Королевского канала, и, хотя она говорила со мной урывками, подспудные мысли протекали в моей голове, которые дали, наконец, 
результат, о чем не слишком много, чтобы сказать, что я сразу почувствовал важность. Электрическая цепь, казалось, замкнулась; и вспыхнула искра, вестник (как я предвидел, сразу) многих долгих лет определенного направления мысли и работы, моей собственной, если пощадят, и, отчасти, 

* Пер. Л. К. Карповича.