Линейная алгебра

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Линейная аЛгебра

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета для студентов вуза,
обучающихся по техническим направлениям подготовки 
и специальностям

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 512.6(075.8)
ББК 22.14я73
          Л59
Авторы: 
Н. В. Гредасова, М. А. Корешникова, Н. И. Желонкина, Л. В. Корчемкина, Е. Г. Полищук, В. М. Иванов, И. Ю. Андреева

Рецензенты: 
кафедра шахматного искусства и компьютерной математики УрГЭУ (и. о. завкафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников);
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ООУ ИММ УрО РАН Д. С. Завалищин

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Л59
    Линейная алгебра : учеб. пособие / Н. В. Гредасова, М. А. Корешникова, Н. И. Желонкина [и др.] ; Мин-во науки и высш. образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2019. — 88 с.

ISBN 978-5-7996-2776-8

В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы линейной алгебры. Пособие включает следующие разделы: матрицы и определители; системы линейных уравнений; 
линейные пространства и некоторые другие математические структуры; функции в линейных пространствах. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного решения.
Учебное пособие предназначается студентам, обучающимся по техническим направлениям подготовки и специальностям.

Библиогр.: 9 назв.
УДК 512.6(075.8)
ББК 22.14я73

Учебное издание

Гредасова Надежда Викторовна, Корешникова Мария Анатольевна, Желонкина Наталья Игоревна, 
Корчемкина Людмила Викторовна, Полищук Ефим Григорьевич, Иванов Владимир Михайлович, 
Андреева Ирина Юрьевна

ЛИнейнАя АЛГебрА

Редактор Т. Е. Мерц
Верстка О. П. Игнатьевой

Подписано в печать 28.11.2019. Формат 70×100/16. Бумага офсетная. Цифровая печать. Усл. печ. л. 7,1.
Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 40 экз. Заказ 332

Издательство Уральского университета. Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5. Тел.: +7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41. E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4. Тел.: +7 (343) 358-93-06, 350-58-20, 350-90-13. Факс: +7 (343) 358-93-06
http://print.urfu.ru

ISBN 978-5-7996-2776-8 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2019



Оглавление

1. Матрицы и определители ........................................................ 5

1.1. Основные сведения о матрицах ...................................... 5
1.2. Действия над матрицами................................................. 7
1.3. Определители. Основные понятия ................................10
1.4. Свойства определителей ................................................11
1.5. Обратная матрица...........................................................14
1.6. Матричные уравнения ...................................................18
1.7. Ранг матрицы ..................................................................21
1.8. Линейная зависимость (независимость) 
        строк и столбцов матрицы .............................................25
Задачи для самостоятельного решения ................................27

2. Системы линейных уравнений ................................................29
2.1. Основные понятия .........................................................29
2.2. Решение невырожденных линейных систем .................30
        Матричный метод решения ...........................................31
        Формулы Крамера ..........................................................32
2.3. Решение произвольных систем линейных уравнений ...34
2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса ...37
2.5. Системы линейных однородных уравнений.  
        Фундаментальная система решений .............................40
2.6. Метод Жордана — Гаусса ...............................................46
Задачи для самостоятельного решения ................................52

3. Линейные пространства и некоторые другие 
     математические структуры ....................................................54

3.1. Определение линейного пространства ..........................54
3.2. Линейно зависимые и линейно независимые 
        системы векторов ...........................................................56

Оглавление

3.3. Размеренность линейных пространств. Базис 
        и координаты ..................................................................58
3.4. Изоморфизм линейных пространств.............................59
3.5. Подпространства ............................................................60
3.6. Аффинные пространства ...............................................61
3.7. Евклидовы и нормированные линейные 
        пространства ..................................................................63
3.8. Формулы перехода от одного базиса к другому ............66
Задачи для самостоятельного решения ................................68

4. Функции в линейных пространствах ......................................71

4.1. Функции, отображения ..................................................71
4.2. Линейные операторы .....................................................72
4.3. Матрица линейного оператора ......................................73
4.4. Область значений линейного оператора.  
        Ранг линейного оператора .............................................76
4.5. Действия над линейными операторами ........................76
4.2. Собственные векторы и собственные числа  
        линейного оператора .....................................................77
4.7. Линейные формы ...........................................................81
4.8. Билинейные и квадратичные формы ............................82
Задачи для самостоятельного решения ................................86

библиографический список........................................................88



1. Матрицы и определители

1.1. Основные сведения о матрицах
М

атрица — это прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n 
столбцов.
Обозначения матрицы:

 
A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

m n

n

n

m
m
mn

ґ =

ж

и

з
з
з

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...
зз

ц

ш

ч
ч
ч
чч

, или A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

=

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

,

или A
aij
=
, или A
a
i
m j
n
ij
m n
=(
)
=
=
ґ , (
,
;
, ),
1
1
 где aij — элементы матрицы; 

i — номер строки; j — номер столбца; m n
ґ  — размер матрицы.
Если m
n
= , то матрица называется квадратной, а число m
n
=  — ее порядком:

 
A

a
a
a
a

a
a
a
a

a

n
n

n
n

n

=



11
12
1
1
1

21
22
2
1
2

1

...
...
...
...
...
...
...

(
)

(
)

a
a
a
n
n n
nn
2
1
...
(
)

ж

и

з
з
з
зз

ц

ш

ч
ч
ч
чч

.  
(1.1)

Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ a a
ann
11
22 ...
.

Побочной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ 

a a
a
n
n
n
1
2
1
1
(
) ...
.

Матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. a
b
ij
ij
=
 для любых i
m
j
n
=
=
1
1
,
;
, .

1.Матрицыиопределители

Виды матриц

1. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Например,

 
A =

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

2
0
0

0
1
0
0
0
3

 — диагональная матрица 3-го порядка.

2. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой 
Е или I.
Например,

 
E =

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

1
0
0

0
1
0
0
0
1

 — единичная матрица 3-го порядка.

3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой 
и обозначается буквой О.

4. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
Например,

 
A =

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

1
2
1

0
4
5
0
0
1

 — верхняя треугольная матрица.

5. Квадратная матрица называется нижней треугольной, если все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.
Например,

 
B =

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

1
0
0

2
3
0
4
1
5

 — нижняя треугольная матрица.

6. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно).

1.2.Действиянадматрицами

Например,

 
A

a
a

a

B
b
b
b

m

n
=

ж

и

з
з
з
зз

ц

ш

ч
ч
ч
чч

= (
)

1

2
1
2
…
,
.

Матрица размера 1 1
ґ , состоящая из одного числа, отождествляется 
с этим числом.
Например,
 
( )
4 1 1
ґ  есть число 4.

1.2. Действия над матрицами

1. Сложение матриц
Суммой двух матриц A
a
m n
ij
ґ = (
) и B
b
m n
ij
ґ = (
) называется матрица C
c
m n
ij
ґ = (
), 

такая, что

 
c
a
b
i
m
j
n
ij
ij
ij
=
+
=
=
(
,
,
, ).
1
1

Обозначение: C
A
B
=
+ .

Пример. Найти сумму матриц A =



ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

2
1
3
0
5
4

 и B =
ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

3
4
7
2
1
6
.

Решение:

 
A
B
+
=



ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч
+

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

=


ж

и

з
зз

ц

ш

2
1

3
0
5
4

3
4

7
2
1
6

5
3

10
2
4
10

ч
чч
.

Свойства сложения матриц

1. Переместительное свойство:

 
A + B = B + A.

2. Сочетательное свойство:

 
(A + B) + C = A + (B + C).

1.Матрицыиопределители

2. Умножение матриц на число
Произведением матрицы A
a
m n
ij
ґ = (
) на вещественное число λ называ
ется матрица B
b
m n
ij
ґ = (
), такая, что

 
b
a
i
m
j
n
ij
ij
=
=
=
l
(
,
,
, ).
1
1

Пример. Умножить матрицу 2
3
1

5
0
4

ж

из
ц

шч на число 3.

Решение:

 
3
2
3
1

5
0
4

6
9
3

15
0
12
Ч
ж

из

ц

шч =
ж

из

ц

шч.

Свойства умножения матрицы на число

1. Сочетательное свойство относительно числового сомножителя:

 
(λμ)А = λ(μА).

2. Распределительное свойство относительно суммы матриц:

 
λ(А + В) = λА + λB.

3. Распределительное свойство относительно суммы чисел:

 
(λ + μ)А = λА + μА.

3. Умножение матриц
Произведением матрицы A
a
m n
ij
ґ = (
) на матрицу B
b
n p
jk
ґ = (
) называется 

матрица C
c
m p
ik
ґ = (
), такая, что

 
с
a
b
a
b
a
b
ik
i
k
i
k
in
nk
=
Ч
+
Ч
+
+
Ч
1
1
2
2


 
(
,
,
, ).
i
m
k
p
=
=
1
1

Обозначение: C
A B
=
Ч .
Операция умножения двух матриц определяется только тогда, 
когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй 
матрицы.
Пример. Найти произведение матриц А и В, если

 
A
B
= ж

из

ц

шч
=ж

из

ц

шч

2
1

3
4

1
0
3

4
2
1
,
.

1.2.Действиянадматрицами

Решение:

 

A B
Ч
= ж

из

ц

шчЧж

из

ц

шч =

=
Ч + Ч
Ч
+ Ч
Ч + Ч
Ч +
Ч

2
1

3
4

1
0
3

4
2
1

2 1 1 4
2 0 1 2
2 3 1 1
3 1
4 4
3Ч
+
Ч
Ч +
Ч
ж

из
ц

шч = ж

из
ц

шч
0
4 2
3 3
4 1
6
2
7
19
8
13 .

Свойства произведения матриц
1. Перестановочное свойство в общем случае не выполняется:

 
AB
BA
№
.

2. Сочетательное свойство:

 
(
)
(
).
AB C
A BC
=

3. Распределительное свойство относительно суммы матриц:

 
(
)
A
B C
AC
BC
+
=
+
 или A B
C
AB
AC
(
)
.
+
=
+

4. Если А — квадратная матрица, а Е — единичная матрица того же 
порядка, что и А, то
 
ЕА = АЕ = А.

Замечание
Если АВ = ВА то матрицы А и В называют перестановочными или 
коммутирующими.

4. Транспонирование матриц
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом 
с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.
Обозначение: АТ.

Пример. Транспонировать матрицу A =

ж

и

з
зз

ц

ш

ч
чч

2
1
5
3
4
7
.

Решение: AT = ж

из

ц

шч

2
5
4

1
3
7 .

Свойства операции транспонирования

1) (
)
;
A
A
T
T =

2) (
)
;
A
B
A
B
T
T
T
+
=
+

3) (
)
.
A B
B
A
T
T
T
Ч
=
Ч