Основы математического моделирования

Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

С. В. Звонарев

ОСНОВЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОдЕлИрОВАНИя

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлению подготовки
11.03.04 — Электроника и наноэлектроника

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 001.891.573(075.8)
ББК 22в6я73
          З‑42
Рецензенты:
отдел прикладных задач Института математики и механики им. 
Красовского УрО РАН(ведущий научный сотрудник, д‑р физ.‑
мат. наук М. Ю. Филимонов);
ведущий научный сотрудник Института химии твердого тела УрО 
РАН канд. физ.‑мат. наук Л. А. Акашев

Научный редактор — д‑р физ.‑мат. наук, проф. В. Г. Мазуренко

 
Звонарев, С. В.
З‑42    Основы математического моделирования: учебное посо‑
бие / С. В. Звонарев. — Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2019. — 
112 с.

ISBN 978‑5‑7996‑2576‑4

Учебное пособие составлено на основе курса лекций «Основы матема‑
тического моделирования», читаемого бакалаврам направления 11.03.04 — 
«Электроника и наноэлектроника». Рассмотрены основные понятия ма‑
тематического моделирования. Представлены математические модели 
и принципы их построения. Описаны примеры математических моделей 
в физике, химии, биологии.
Пособие предназначено для студентов вузов, аспирантов и специали‑
стов изучающих математического моделирование физических процессов.

Библиогр.: 28 назв. Табл. 3. Рис. 19.
УДК 001.891.573(075.8)
ББК 22в6я73

ISBN 978‑5‑7996‑2576‑4 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2019

Оглавление

Введение..................................................................................... 5

1. Понятия «моделирование» и «модель» .................................. 7

1.1. Модель ............................................................................ 8
1.2. Цели построения моделей ............................................. 9
1.3. Свойства моделей .........................................................10
1.4. Формы представления модели .....................................12
1.5. Моделирование .............................................................12
1.6. Классификация моделирования ..................................15
1.7. Классификация моделей ..............................................17
Контрольные вопросы и задания .......................................21

2. Математические модели и их классификации ......................22

2.1. Математическая модель ...............................................22
2.2. Обобщенная математическая модель ..........................23
2.3. Нелинейность математических моделей .....................25
2.4. Степень соответствия математической модели 
        объекту ..........................................................................25
2.5. Классификация математических моделей ..................26
Контрольные вопросы и задания .......................................37

3. Построение математической модели 
      и вычислительный эксперимент ...........................................38

3.1. Этапы построения математической модели ...............38
3.2. Подходы к построению математических моделей ......42
3.3. Вычислительный эксперимент ....................................45
3.4. Имитационное моделирование ...................................52
3.4.1. Статистическое моделирование .........................55
3.4.2. Метод Монте–Карло ..........................................56

Оглавление

3.5. Примеры математических моделей в физике, 
        химии, биологии ..........................................................64
3.5.1. Модели в задачах механики жидкости, газа 
            и плазмы, твердого и деформируемого тела .....64
3.5.2. Модели в химии ..................................................71
3.5.3. Модели эволюции и развития в биологии, 
            модели распределения биологических систем ...74
Контрольные вопросы и задания .......................................81

4. Многомасштабное моделирование материалов 
      и процессов ...........................................................................83

4.1. Виды многомасштабного моделирования...................85
4.2. Многомасштабное моделирование энергетических 
        процессов .....................................................................89
4.3. Моделирование в наноструктурной области ..............91
4.4. Программное обеспечение моделирования 
        наносистем .................................................................100
Контрольные вопросы ......................................................106

Список литературы .................................................................107

Введение

Р

азличные элементы математического моделирования 
применялись одновременно с появлением точных наук. 
С данным фактом связано то, что часть из них носят 
имена корифеев науки, например, Ньютона и Эйлера, а сло‑
во «алгоритм» происходит от имени средневекового арабско‑
го ученого Аль‑Хорезми. Второе «рождение» этой методологии 
пришлось на конец 40‑х — начала 50‑х годов XX века и было 
обусловлено, по крайней мере, двумя причинами: появлением 
компьютеров, хотя и скромных по нынешним меркам, но тем 
не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной 
вычислительной работы, и беспрецедентным социальным за‑
казом на выполнение национальных программ СССР и США 
по созданию ракетно‑ядерного щита, которые не могли быть 
реализованы традиционными методами. С помощью математи‑
ческого моделирования данная задача была решена. На первом 
этапе ядерные взрывы и полеты ракет моделировались посред‑
ством ЭВМ, а уже впоследствии были реализованы на практике. 
Данный факт способствовал дальнейшему развитию методоло‑
гии моделирования, без который в настоящее время не реали‑
зуется ни одни крупномасштабный технологический, экологи‑
ческий или экономический проект [1].
Технические, экологические, экономические и иные си‑
стемы, изучаемые современной наукой, больше не поддают‑
ся исследованию обычными теоретическими методами. Пря‑
мой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо 

Введение

опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих си‑
стем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок 
и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэто‑
му математическое моделирование является неизбежной со‑
ставляющей научно‑технического прогресса.
Математическое моделирование, являясь методологией, ис‑
пользуется как инструмент в научных дисциплинах подобно ма‑
тематике, физике и биологии и не конкурирует с ними. Прак‑
тически во всех сферах творческой деятельности применяется 
моделирование, начиная от исследователей и заканчивая вое‑
начальниками. Математическое моделирование должно обе‑
спечиваться выполнением следующих требований: четкая фор‑
мулировка основных понятий и предположений, основанная 
на опыте (апостериорный), анализ адекватности используемых 
моделей, гарантированная точность вычислительных алгорит‑
мов и т. д. При моделировании трудноформализуемых объек‑
тов нужно дополнительно учитывать разграничение матема‑
тических и нематематических терминов, а также особенности 
использования существующего математического аппарата к из‑
учению объектов.

1. Понятия «моделирование» и «модель»

М

ожно выделить несколько этапов создания методо‑
логии математического моделирования:
· Появление точных наук. Методы вычислений но‑
сят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, 
а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового 
арабского ученого Аль‑Хорезми.
· Конец 40‑х–начало 50‑х годов XX века:
— появление компьютеров;
— разработка ядерных технологий.
· Появление информационного общества. Методология 
математического моделирования становится интеллек‑
туальным ядром информационных технологий.
В раннем возрасте человек начинает взаимодействовать 
с различными моделями. Игра по построению конструкций 
из кубиков представляет собой создание некоторых моделей. 
При обучении распространено использование моделей в той 
или иной форме. Для изучения правил, например, русского 
языка применяются различные схемы и таблицы, которые яв‑
ляются моделями, отражающими свойства изучаемого объек‑
та. Подготовку текста можно рассматривать как моделирование 
некоторого события или явления с помощью родного языка. 
На уроках точных наук также используются макеты изучаемых 
реальных объектов [2].
Следует заметить, что во взрослой жизни человек также по‑
стоянно сталкивается с моделями реальных объектов, процес‑

1. Понятия «моделирование» и «модель»

сов и явлений. При этом для создания сложных изделий необ‑
ходима работа коллективов разработчиков. В качестве примера 
можно привести большой адронный коллайдер (где планиру‑
ется провести моделирование Большого взрыва, после кото‑
рого, согласно гипотезе, возникла наша Вселенная) и всем из‑
вестный фильм «Титаник», где для сцен гибели корабля было 
использовано более десяти моделей судна.
Инструментом математического моделирования в первую 
очередь является математика. В настоящее время математиче‑
ское моделирование применяется в:
· традиционных областях — физика, химия, биология;
· новых областях и дисциплинах — технические, экологи‑
ческие и экономические системы. Сложности:
— прямой натурный эксперимент либо опасен, либо 
невозможен;
— система существует в единственном экземпляре;
· социальных процессах.

1.1. Модель

Что такое модель? Модель от лат. modulus — мера, мерило, 
образец, норма). Под моделью можно понимать:
· образец, служащий эталоном (стандартом) для серийно‑
го или массового воспроизведения (модель автомобиля, 
модель одежды и т. п.), а также тип, марка какого‑либо 
изделия, конструкции;
· изделие (изготовленное из дерева, глины, воска, гипса 
и др.), с которого снимается форма для воспроизведения 
в другом материале (металле, гипсе и др.);
· человека, позирующего художнику (натурщик), и вооб‑
ще изображаемые объекты («натура»);

1.2. Цели построения моделей

· устройство, воспроизводящее, имитирующее (обыч‑
но в уменьшенном масштабе) строение и действие ка‑
кого–либо другого устройства в научных, практических 
(например, в производственных испытаниях) или спор‑
тивных целях.
Перед тем как запустить в производство новый самолет, его 
обкатывают в аэродинамической трубе — это модель. Для того 
чтобы продемонстрировать систему кровообращения, лектор 
обращается к нарисованному плакату — это модель. На стене 
висит картина Айвазовского «Девятый вал» — это модель.
Под моделью обычно понимают материальный или мыс‑
ленно представляемый объект, который в процессе познания 
замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные его 
черты. Каждый изучаемый процесс можно описать различны‑
ми моделями, при этом ни одна модель не может сделать это 
абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упро‑
щенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого 
объекта, позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и след‑
ствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выво‑
ды, принять правильные решения [3].

1.2. Цели построения моделей

Реальный объект в сравнении с моделью сложен для анали‑
за и менее информативен. Необходимо заметить, что исследо‑
вание непосредственным образом большинства объектов и яв‑
лений невозможно. Так, эксперименты с экономикой страны 
или со здоровьем ее населения в принципе невозможны.
Среди целей моделирования можно выделить следующие [2]:
· понять, как устроен конкретный объект: какова его струк‑
тура, внутренние связи, основные свойства, законы раз‑

1. Понятия «моделирование» и «модель»

вития, саморазвития и взаимодействия с окружающим 
миром;
· научиться управлять объектом или процессом, опреде‑
лить наилучшие способы управления при заданных це‑
лях и критериях;
· прогнозировать прямые и косвенные последствия реали‑
зации заданных способов и форм воздействий на объект.
Модель может быть представлена различными способами. 
В широком смысле модель определяют как отражение наибо‑
лее существенных свойств объекта.

1.3. Свойства моделей

Основными требованиями, предъявляемыми к математиче‑
ским моделям, являются требования адекватности, универсаль‑
ности и экономичности (рис. 1).

Рис. 1. Свойства моделей

1.3. Свойства моделей

Адекватность. Модель считается адекватной, если отра‑
жает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность 
определяется как степень совпадения значений выходных па‑
раметров модели и объекта. Точность модели различна в раз‑
ных условиях функционирования объекта. Эти условия харак‑
теризуются внешними параметрами. В пространстве внешних 
параметров выделить область адекватности модели, где по‑
грешность меньше заданной предельно допустимой погреш‑
ности. Определение области адекватности моделей — слож‑
ная процедура, требующая больших вычислительных затрат, 
которые быстро растут с увеличением размерности простран‑
ства внешних параметров. Эта задача по объему может зна‑
чительно превосходить задачу параметрической оптимизации 
самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов 
может не решаться.
Универсальность. Определяется в основном числом и соста‑
вом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.
Экономичность. Модель характеризуется затратами вычис‑
лительных ресурсов для ее реализации — затратами машинно‑
го времени и памяти.
Простота. Модель, при которой желаемый результат дости‑
гается за то же время с той же точностью при учете меньшего 
количества факторов при расчете, называется простой.
Потенциальность (предсказательность). Возможность полу‑
чения новых знаний об исследуемом объекте с помощью при‑
менения модели.
Достаточная точность результатов решения задачи, надеж‑
ность функционирования модели.
Способность к совершенствованию модели без ее коренной 
переделки.
Простота форм исходных данных и их заполнения при вы‑
даче задания на расчет.
С помощью разрабатываемой модели решается широкий 
круг задач.

1. Понятия «моделирование» и «модель»

Противоречивость требований к модели обладать широкой 
областью адекватности, высокой степенью универсальности 
и высокой экономичностью обусловливает использование ряда 
моделей для объектов одного и того же типа.

1.4. Формы представления модели

Среди форм представления моделей можно выделить сле‑
дующие [4]:
· инвариантная — запись соотношений модели с помощью 
традиционного математического языка безотносительно 
к методу решения уравнений модели;
· аналитическая — запись модели в виде результата анали‑
тического решения исходных уравнений модели;
· алгоритмическая — запись соотношений модели и выбран‑
ного численного метода решения в форме алгоритма;
· схемная (графическая) — представление модели на неко‑
тором графическом языке (например, язык графов, экви‑
валентные схемы, диаграммы и т. п.);
· физическая — представление моделей как уменьшенных 
копий реальных аппаратов и технологических процессов;
· аналоговая — модели, основанные на подобии явлений, 
имеющих различную физическую природу, но описыва‑
емых одинаковыми математическими уравнениями.

1.5. Моделирование

По мере того как какая‑либо наука становится более точ‑
ной, в ней во все больших масштабах применяется математиче‑
ское описание исследуемых объектов и явлений. В частности,