Основы математического моделирования

Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

С. В. Звонарев

ОСНОВЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОдЕлИрОВАНИя

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлению подготовки
11.03.04 — Электроника и наноэлектроника

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 001.891.573(075.8)
ББК 22в6я73
          З‑42
Рецензенты:
отдел прикладных задач Института математики и механики им. 
Красовского УрО РАН(ведущий научный сотрудник, д‑р физ.мат. наук М. Ю. Филимонов);
ведущий научный сотрудник Института химии твердого тела УрО 
РАН канд. физ.‑мат. наук Л. А. Акашев

Научный редактор — д‑р физ.‑мат. наук, проф. В. Г. Мазуренко

 
Звонарев, С. В.
З‑42    Основы математического моделирования: учебное пособие / С. В. Звонарев. — Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2019. — 
112 с.

ISBN 978‑5‑7996‑2576‑4

Учебное пособие составлено на основе курса лекций «Основы математического моделирования», читаемого бакалаврам направления 11.03.04 — 
«Электроника и наноэлектроника». Рассмотрены основные понятия математического моделирования. Представлены математические модели 
и принципы их построения. Описаны примеры математических моделей 
в физике, химии, биологии.
Пособие предназначено для студентов вузов, аспирантов и специалистов изучающих математического моделирование физических процессов.

Библиогр.: 28 назв. Табл. 3. Рис. 19.
УДК 001.891.573(075.8)
ББК 22в6я73

ISBN 978‑5‑7996‑2576‑4 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2019

Оглавление

Введение..................................................................................... 5

1. Понятия «моделирование» и «модель» .................................. 7

1.1. Модель ............................................................................ 8
1.2. Цели построения моделей ............................................. 9
1.3. Свойства моделей .........................................................10
1.4. Формы представления модели .....................................12
1.5. Моделирование .............................................................12
1.6. Классификация моделирования ..................................15
1.7. Классификация моделей ..............................................17
Контрольные вопросы и задания .......................................21

2. Математические модели и их классификации ......................22

2.1. Математическая модель ...............................................22
2.2. Обобщенная математическая модель ..........................23
2.3. Нелинейность математических моделей .....................25
2.4. Степень соответствия математической модели 
        объекту ..........................................................................25
2.5. Классификация математических моделей ..................26
Контрольные вопросы и задания .......................................37

3. Построение математической модели 
      и вычислительный эксперимент ...........................................38

3.1. Этапы построения математической модели ...............38
3.2. Подходы к построению математических моделей ......42
3.3. Вычислительный эксперимент ....................................45
3.4. Имитационное моделирование ...................................52
3.4.1. Статистическое моделирование .........................55
3.4.2. Метод Монте–Карло ..........................................56

Оглавление

3.5. Примеры математических моделей в физике, 
        химии, биологии ..........................................................64
3.5.1. Модели в задачах механики жидкости, газа 
            и плазмы, твердого и деформируемого тела .....64
3.5.2. Модели в химии ..................................................71
3.5.3. Модели эволюции и развития в биологии, 
            модели распределения биологических систем ...74
Контрольные вопросы и задания .......................................81

4. Многомасштабное моделирование материалов 
      и процессов ...........................................................................83

4.1. Виды многомасштабного моделирования...................85
4.2. Многомасштабное моделирование энергетических 
        процессов .....................................................................89
4.3. Моделирование в наноструктурной области ..............91
4.4. Программное обеспечение моделирования 
        наносистем .................................................................100
Контрольные вопросы ......................................................106

Список литературы .................................................................107

Введение

Р

азличные элементы математического моделирования 
применялись одновременно с появлением точных наук. 
С данным фактом связано то, что часть из них носят 
имена корифеев науки, например, Ньютона и Эйлера, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль‑Хорезми. Второе «рождение» этой методологии 
пришлось на конец 40‑х — начала 50‑х годов XX века и было 
обусловлено, по крайней мере, двумя причинами: появлением 
компьютеров, хотя и скромных по нынешним меркам, но тем 
не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной 
вычислительной работы, и беспрецедентным социальным заказом на выполнение национальных программ СССР и США 
по созданию ракетно‑ядерного щита, которые не могли быть 
реализованы традиционными методами. С помощью математического моделирования данная задача была решена. На первом 
этапе ядерные взрывы и полеты ракет моделировались посредством ЭВМ, а уже впоследствии были реализованы на практике. 
Данный факт способствовал дальнейшему развитию методологии моделирования, без который в настоящее время не реализуется ни одни крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект [1].
Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо 

Введение

опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок 
и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое моделирование является неизбежной составляющей научно‑технического прогресса.
Математическое моделирование, являясь методологией, используется как инструмент в научных дисциплинах подобно математике, физике и биологии и не конкурирует с ними. Практически во всех сферах творческой деятельности применяется 
моделирование, начиная от исследователей и заканчивая военачальниками. Математическое моделирование должно обеспечиваться выполнением следующих требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, основанная 
на опыте (апостериорный), анализ адекватности используемых 
моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д. При моделировании трудноформализуемых объектов нужно дополнительно учитывать разграничение математических и нематематических терминов, а также особенности 
использования существующего математического аппарата к изучению объектов.

1. Понятия «моделирование» и «модель»

М

ожно выделить несколько этапов создания методологии математического моделирования:
· Появление точных наук. Методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, 
а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового 
арабского ученого Аль‑Хорезми.
· Конец 40‑х–начало 50‑х годов XX века:
— появление компьютеров;
— разработка ядерных технологий.
· Появление информационного общества. Методология 
математического моделирования становится интеллектуальным ядром информационных технологий.
В раннем возрасте человек начинает взаимодействовать 
с различными моделями. Игра по построению конструкций 
из кубиков представляет собой создание некоторых моделей. 
При обучении распространено использование моделей в той 
или иной форме. Для изучения правил, например, русского 
языка применяются различные схемы и таблицы, которые являются моделями, отражающими свойства изучаемого объекта. Подготовку текста можно рассматривать как моделирование 
некоторого события или явления с помощью родного языка. 
На уроках точных наук также используются макеты изучаемых 
реальных объектов [2].
Следует заметить, что во взрослой жизни человек также постоянно сталкивается с моделями реальных объектов, процес

1. Понятия «моделирование» и «модель»

сов и явлений. При этом для создания сложных изделий необходима работа коллективов разработчиков. В качестве примера 
можно привести большой адронный коллайдер (где планируется провести моделирование Большого взрыва, после которого, согласно гипотезе, возникла наша Вселенная) и всем известный фильм «Титаник», где для сцен гибели корабля было 
использовано более десяти моделей судна.
Инструментом математического моделирования в первую 
очередь является математика. В настоящее время математическое моделирование применяется в:
· традиционных областях — физика, химия, биология;
· новых областях и дисциплинах — технические, экологические и экономические системы. Сложности:
— прямой натурный эксперимент либо опасен, либо 
невозможен;
— система существует в единственном экземпляре;
· социальных процессах.

1.1. Модель

Что такое модель? Модель от лат. modulus — мера, мерило, 
образец, норма). Под моделью можно понимать:
· образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного или массового воспроизведения (модель автомобиля, 
модель одежды и т. п.), а также тип, марка какого‑либо 
изделия, конструкции;
· изделие (изготовленное из дерева, глины, воска, гипса 
и др.), с которого снимается форма для воспроизведения 
в другом материале (металле, гипсе и др.);
· человека, позирующего художнику (натурщик), и вообще изображаемые объекты («натура»);

1.2. Цели построения моделей

· устройство, воспроизводящее, имитирующее (обычно в уменьшенном масштабе) строение и действие какого–либо другого устройства в научных, практических 
(например, в производственных испытаниях) или спортивных целях.
Перед тем как запустить в производство новый самолет, его 
обкатывают в аэродинамической трубе — это модель. Для того 
чтобы продемонстрировать систему кровообращения, лектор 
обращается к нарисованному плакату — это модель. На стене 
висит картина Айвазовского «Девятый вал» — это модель.
Под моделью обычно понимают материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания 
замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные его 
черты. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это 
абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого 
объекта, позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения [3].

1.2. Цели построения моделей

Реальный объект в сравнении с моделью сложен для анализа и менее информативен. Необходимо заметить, что исследование непосредственным образом большинства объектов и явлений невозможно. Так, эксперименты с экономикой страны 
или со здоровьем ее населения в принципе невозможны.
Среди целей моделирования можно выделить следующие [2]:
· понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы раз

1. Понятия «моделирование» и «модель»

вития, саморазвития и взаимодействия с окружающим 
миром;
· научиться управлять объектом или процессом, определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
· прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействий на объект.
Модель может быть представлена различными способами. 
В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта.

1.3. Свойства моделей

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности (рис. 1).

Рис. 1. Свойства моделей