Избранные главы курса физики: магнитостатика

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер

Избранные главы курса физики:

МагнИтостатИка

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов инженерно-технических специальностей
и направлений подготовки

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 537.6(075.8)
ББК 22.334я73
          М20

Рецензенты:
кафедра математических и естественно-научных дисциплин РГППУ (завкафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. С. В. Анахов);
завкафедрой физики УГГУ д-р физ.-мат. наук, проф. И. Г. Коршунов

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Мелких

 
Малышев, Л. Г.
М20    Избранные главы курса физики: магнитостатика : учеб. пособие / Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 
2019. — 112 с.

ISBN 978-5-7996-2570-2

Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курс общей физики в соответствии с рабочей программой курса и образовательными стандартами. 
Пособие содержит теоретический материал по магнитостатике, обсуждение основных физических законов и соотношений. Изложение материала сопровождается подробным анализом и решением задач и примеров. Учебное пособие позволит студентам повысить уровень подготовки по данному разделу курса «Физика».

Библиогр.: 4 назв. Рис. 98.

УДК 537.6(075.8)
ББК 22.334я73

ISBN 978-5-7996-2570-2  
© Уральский федеральный
 
     университет, 2019

глава 1.  
ПостоЯннЫЙ ЭЛЕктРИЧЕскИЙ ток

1.1. Электрический ток
Э

лектрический ток — это направленное движение электрических зарядов, которые мы будем называть носителями тока. 
Если заряд переносится через некоторую поверхность, то говорят, что через нее протекает ток. Природа носителей тока может 
быть различной: свободные электроны в металлах, электроны и дырки 
в полупроводниках, ионы в электролитах и т. д. В дальнейшем будем 
подразумевать, что речь идет о металлах, а ток протекает по металлическим проводникам. Для возникновения тока в проводнике необходимо выполнение двух условий:
1) наличие в нем свободных носителей тока;
2) существование в проводнике электрического поля, признаком 
которого является разность потенциалов на концах проводника.
Свободные носители, конечно, участвуют и в тепловом движении, 
но его вклад в ток, протекающий через сечение проводника, равен 
нулю вследствие хаотичности теплового движения.
Для количественной оценки используют силу тока I — скалярную 
величину, равную заряду, переносимому через поперечное сечение 
проводника в единицу времени. Обычно силу тока определяют через 
отношение

 
I
dq
dt
=
,  
(1.1)

где dq — заряд, переносимый через поперечное сечение проводника 
за время dt. Это выражение модно записать в виде

Глава 1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 

 

dq
Idt

q
Idt

t
=

= т

,

,

0

 
(1.2)

и если ток постоянный (I = const), то

 
q
It
=
.  
(1.3)

Размерность силы тока — ампер, это одна из основных единиц в системе СИ, при помощи которой определяется размерность заряда: 
1 Кл = 1 А∙1 с.
Рассмотрим ток dI, протекающий через площадку dS┴ (рис. 1.1), и введем плотность тока j как 
силу тока, протекающего через единицу площади поперечного сечения проводника ([j] = А/м 2):

                                j
dI
dS
=

^
.

Сила тока dI, протекающего через площадку dS произвольной ориентации (рис. 1.2), будет точно такой же:

 
dI
jdS
jdS
=
=
=
^
cos
.
a
jdS    
(1.4)

В конечной формуле мы использовали 
вектор dS = dS∙n, направление которого 
совпадает с вектором нормали к поверхности.
Это выражение позволяет вычислить 
силу тока, протекающего через произвольную поверхность S:

                   I

S
=

( )т jdS.  
(1.5)

В общем случае носители тока могут быть как положительными, 
так и отрицательными, поэтому

 
I
dq
dt

dq

dt
=
+
+
- ,

но при этом за направление тока (и вектора j) принимают направление движения именно положительных зарядов. Так, в металлических 

dS┴  

j 

dI 

Рис. 1.1

Рис. 1.2

dS┴  

j 

dI 

n 

dS 

α 

α

1.1. Электрический ток

проводниках носителями тока являются отрицательно заряженные свободные электроны, но за направление тока мы выбираем то, в котором 
двигались бы положительные заряды, 
если бы они были в металле в свободном состоянии.
Рассмотрим проводник с концентрацией носителей тока п. Эти носители имеют положительный заряд е 
и под действием электрического поля, созданного в проводнике, двигаются упорядоченно со средней скоростью бuс (рис. 1.3).
За время dt через поперечное сечение проводника S пройдут свободные заряды, находящиеся на участке проводника длиной бuсdt, имеющем объем бuсdtS. В этом объеме находится dN носителей тока с суммарным зарядом
 
dq
edN
en udt S
=
=
.

Таким образом,

 

I
dq
dt
en u S

j
I
S
en u

=
=

=
=

,

.

  
(1.6)

В векторной форме последнее выражение имеет вид

 
j
u
= en
.  
(1.7)

Воспользуемся соотношением (1.6) и оценим максимальную величину средней скорости бuс упорядоченного движения носителей тока 
в металле, исходя из следующих соображений: элементарный заряд 
е = 1,6∙10–19 Кл, концентрация свободных электронов в металле имеет порядок п ≈ 10 29 м 3, а плотность тока в проводнике не может превышать максимально возможного значения 10 7 А/м 2 (это означает, 
что проводник сечением 1 мм 2 сгорает, если по нему пропустить ток, 
превышающий 10 А).
Тогда

 
u
j
en
Ј
»
max
10 3 м.

S 

˂u˃dt

j 

˂u˃ 

e 

Рис. 1.3

Глава 1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 

При этом возникает «детский» вопрос: почему в таком случае замыкание, скажем, рубильника в одном месте приводит к практически 
мгновенному включению лампы в другом? Ответ понятен и прост: носители тока распределены по всему проводнику, и появление электрического поля приводит их в движение одновременно по всей длине 
проводника.

1.2. Уравнение непрерывности

Рассмотрим область пространства объемом V, в которой распределен заряд q. Этот заряд вытекает из объема через поверхность S, которая ограничивает эту область. Поэтому сила тока через эту поверхность будет равна убыли заряда q в единицу времени:

 
=
dq
dt
I .  
(1.8)

Это равенство легко преобразовывается к виду

 
= т
т
d
dt
dV

S
V

r
jdS

,

а после применения к его правой части теоремы Остроградского — Гаусса принимает вид

 

- ¶

¶ = С

¶
¶ + С =

r

r
t

t

j

j

,

.
0

  
(1.9)

Равенство (1.9) носит название уравнения непрерывности и по сути 
является математическим выражением закона сохранения заряда.
Если в цепи протекает постоянный ток, то плотность ρ заряда на любом участке проводника остается неизменной и поэтому

 
С =
j
0.  
(1.10)

Равенство нулю дивергенции вектора плотности тока (1.10) означает, что поле вектора j не имеет источников и линии вектора j замкнуты.

1.3. Закон Ома для однородного участка цепи.  Сопротивление проводников

1.3. Закон ома для однородного участка цепи.  
сопротивление проводников

Однородным называется участок цепи, в котором не действуют сторонние силы, то есть отсутствуют источники тока, с которыми мы познакомимся в следующем параграфе. Для однородных проводников 
Г. Ом сформулировал экспериментальный закон, согласно которому 
сила тока, протекающего в проводнике, прямо пропорциональна напряжению на его концах:

 
I
U

.

Это соотношение он записал в виде равенства

 
I
U
R
=
,  
(1.11)

в котором коэффициент пропорциональности обозначил как 1/R и назвал R сопротивлением проводника. В случае тонкого и длинного проводника опыт дает формулу

 
R
l
S
= r
,  
(1.12)

где l — длина проводника, S — площадь его 
поперечного сечения, ρ — удельное сопротивление проводника, определяемое его 
материалом и температурой ([ρ] = Ом∙м).
Выделим в проводнике малый элемент 
длиной dl (рис. 1.4) и применим к нему 
формулу (1.11), которую запишем в виде

                                                        I
dU
dR
=
,

где dU — напряжение на концах этого участка проводника, dU = Edl, 
Е — напряженность поля в этом элементе, dR — сопротивление этого участка, равное

 
dR
dl
S
= r
.

S

dl

j

Рис. 1.4

Глава 1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 

Учтем, что I = jS, и получим

 
j
E
E
=
=
1
r
s
  
(1.13)

или в векторном виде

 
j
E
= s .  
(1.14)

В этих выражениях, которые представляют собой дифференциальную форму закона Ома, величина σ = 1/ρ называется удельной электропроводностью металла.
Удельное сопротивление ρ большинства металлов увеличивается 
с температурой Т по закону, близкому к линейному, и в диапазоне 
не очень низких температур может быть описано выражением

 
r
r
a
=
+
(
)
0
0
T
T
,  
(1.15)

в котором ρ0 — удельное сопротивление 
при температуре Т0, α — температурный 
коэффициент сопротивления (ТКС), 
определяемый материалом проводника.
Ситуация усложняется с понижением температуры (рис. 1.5). Усиливается влияние на удельное сопротивление 
примесей, искажений кристаллической 
решетки и механических напряжений, 
возникающих при деформации. Все это 
приводит к искажению линейной зависимости удельного сопротивления 
от температуры и существованию остаточного удельного сопротивления ρост 
при Т = 0.
В начале XX века для ряда металлов 
было экспериментально обнаружено 
явление, получившее название сверхпроводимость. При достаточно низких 
температурах (речь идет о значениях 
в несколько кельвинов) сопротивление металла скачком обращается в нуль 
(рис. 1.16). Это происходит при темпера
ρост 

ρ

0
Т

Рис. 1.5

ρ 

Т 
Ткр 
0 

Рис. 1.6

1.3. Закон Ома для однородного участка цепи. Сопротивление проводников 

туре Ткр, которая называется критической. Значения критической температуры очень малы: например, для ртути Ткр = 4,15 К, для ниобия — 
9,2 К. Наибольшее из известных значений Ткр обнаружено у сплава 
Nb3Ge и равно 23,2 К. Следует подчеркнуть, что сопротивление металла в сверхпроводящем состоянии не просто очень мало — оно именно равно нулю! Многочисленные точные эксперименты показали, что 
ток, протекающий в кольце, находящемся в сверхпроводящем состоянии, циркулирует не затухая в течение нескольких лет.
Явление сверхпроводимости носит чисто квантовый характер, и его 
удалось объяснить теоретически лишь полвека спустя. Сделали это Бардин, Купер и Шриффер в 1957 г. (теория БКШ). Согласно современным 
представлениям, между электронами в металле помимо кулоновского отталкивания существует своеобразное притяжение, в результате которого образуются так называемые куперовские пары. Придя в упорядоченное 
движение, они могут оставаться в этом состоянии сколь угодно долго.
Величина удельной электропроводности σ определяется типом вещества, его агрегатным состоянием и температурой и меняется в гигантских пределах. В зависимости от величины σ все вещества подразделяются на проводники, полупроводники и диэлектрики.
На рис. 1.7 изображены температурные зависимости меди, являющейся хорошим проводником, 
кремния, относящегося к классу полупроводников, и типичного диэлектрика — стекла. Видно, что при комнатных температурах отличие между 
удельной электропроводностью меди 
и кремния составляет пятнадцать порядков, а по сравнению со стеклом — 
двадцать!
Характерной особенностью металлов, а нас сейчас будут интересовать именно они, является то, что 
при температурах ниже температуры плавления возникает кристаллическая структура, образованная положительно заряженными ионами, 
в которой свободно движутся так на
σ, (Ом∙м)−1

10            102
103
Т, К

Cu

Si

Стекло

10−1

10−8

10−4

1

104

108

Рис. 1.7

Глава 1. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 

зываемые коллективизированные электроны. Эта кристаллическая 
ионная решетка обладает удивительным свойством: она практически 
прозрачна для электронов проводимости, и поэтому металлы обладают столь высокой электропроводностью.
Подводя итог, отметим следующее. Закон Ома не относится к так 
называемым фундаментальным законам. Но, учитывая чрезвычайно 
широкую область его применимости, этот закон следует признать одним из наиболее важных в физике.

1.4. сторонние силы.  
Закон ома для неоднородного участка цепи

Предположим, мы каким-то образом создали на концах проводника разность потенциалов φ1 и φ2 (φ1 > φ2). Под действием электрического поля заряды в проводнике придут в движение, практически 
мгновенно выровняют значения этих потенциалов, и ток прекратится. 
Для того чтобы ток продолжал протекать, необходимо поддерживать 
разность потенциалов на концах 
проводника, а для этого нужно 
каким-либо способом переправлять носители тока (допустим, 
положительные) с правого конца проводника к его левому краю, 
имеющему более высокий потенциал (рис. 1.8). То есть совершать 
работу против сил электрического поля. А для этого нужны силы неэлектростатического происхождения, которые называются сторонними 
силами. Природа этих сил может быть различна. Это могут быть силы, 
имеющие химическую природу (гальванические элементы), магнитные силы (генераторы тока) и т. д.
Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называют источником тока. Он характеризуется двумя параметрами — электродвижущей силой (ЭДС) ε и внутренним сопротивлением r.
Электродвижущей силой ε называют работу, которую совершают 
сторонние силы, по перемещению единичного положительного заряда внутри источника тока:

Рис. 1.8

φ1
φ2