Теория упругости: основные положения

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

В. В. Стружанов, Н. В. Бурмашева

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ: 
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано

методическим советом Уральского федерального университета 
в качестве учебного пособия для студентов вуза, 
обучающихся по направлению подготовки 
01.03.03 «Механика и математическое моделирование»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета 
2019

УДК 531.36 (075.8)

C 871

Рецензенты:

лаборатория прикладной механики Института машиноведения УрО РАН 
(заведующий лабораторией кандидат технических наук, доцент Л. Ф. Спевак); 
В. П. Швейкин, доктор технических наук, заместитель директора по научной 
работе Института машиноведения УрО РАН

Стружанов, В. В.

C871 Теория упругости: основные положения : учеб. пособие / 
В. В. Стружанов, Н. В. Бурмашева ; М-во науки и высш. образования Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. — Екатеринбург : 
Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 204 с.

ISBN 978-5-7996-2541-2

В пособии в сжатом виде приведены сведения о базовых 
понятиях, моделях и основных уравнениях теории упругости, 
позволяющие получить представление о данном разделе механики деформируемого твердого тела.

Для студентов, изучающих дисциплину «Математические 
модели механики сплошных сред», раздел «Механика деформируемого твердого тела».

УДК 531.36 (075.8)

ISBN 978-5-7996-2541-2
© Уральский федеральный университет, 2019

Предисловие

Пособие представляет собой краткое изложение курса основ теории упругости «Математические модели механики сплошных сред», который читается студентам бакалавриата Института математики и компьютерных наук 
Уральского федерального университета, обучающимся по 
направлению 01.03.03 «Механика и математическое моделирование».

Пособие разбито на главы, в которых рассматриваются основные гипотезы и принципы механики деформируемого твердого тела и базовые понятия теории упругости: упругая энергия и упругие потенциалы, принцип напряжений и исследование напряженного состояния в точке, понятие вектора перемещений и тензора деформаций, 
совместность деформаций, определяющие соотношения и 
краевые задачи (в разных системах координат), энергетические принципы и общие методы решения основных уравнений теории упругости и др.

При составлении пособия использованы методические 
разработки по механике деформируемого твердого тела, 
составленные в прошлые годы на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета 
им. А. М. Горького.

1. Основные понятия

1.1. Предмет механики деформируемого 
твердого тела

Механика деформируемого твердого тела, будучи одной из глав общей механики, изучает движение и равновесие твердых тел. Различие между твердыми телами 
и жидкостями представляется интуитивно ясным, однако отчетливую границу зачастую провести бывает трудно. 
Например, при прокатке раскаленного металлического листа между валками прокатного стана металл находится в 
состоянии пластического течения и термин «твердое тело» 
по отношению к нему носит довольно условный характер. 
Поэтому дать определение того, что называется твердым 
телом, затруднительно, да, пожалуй, и невозможно. Поэтому термин «механика твердого тела» относится скорее 
к методу исследования, чем к его объекту.

Развитие механики твердого тела в значительной степени связано с практическими целями — расчетами элементов конструкций и деталей машин на прочность, под 
нарушением которой обычно понимают достижение такого 
состояния, когда изменяются конструктивные свойства изделия, когда оно становится непригодным к эксплуатации. 
Начальные сведения о способах расчета на прочность излагаются в учебной дисциплине «Сопротивление материалов». Более точные и строгие методы, позволяющие производить подобного рода расчеты, изучаются специальными научными дисциплинами — теорией упругости, теорией 
пластичности, теорией ползучести, механикой разрушения 
и т. д. Все они являются ветвями или главами механики 
деформируемого твердого тела.

4

Так как свойства тел весьма разнообразны, то механика подменяет реальные тела некоторыми идеализированными объектами, механическими моделями. Механические теории носят, как правило, феноменологический характер. Это значит, что в основу их полагаются факты 
опытного происхождения, причем факты, добытые в результате так называемого макроэксперимента, в ходе которого измеряются силы и перемещения. Используя опытные данные, поведение материала при деформировании 
описывают с помощью уравнений, которые называются 
определяющими уравнениями (соотношениями).

Другую группу уравнений представляют системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие деформирование твердых тел, построение которых является чисто геометрической проблемой и совершенно не зависит от поведения материала. Решение этих 
уравнений связано с удовлетворением условий равновесия, 
неразрывности перемещений и граничных условий.

Совокупность всех указанных уравнений представляет 
собой математическую модель деформируемого твердого 
тела. Вообще говоря, это некоторая приближенная теория деформирования, причем подразумевается, что может 
быть несколько вариантов теории, обладающих разными 
уровнями погрешности.

Основная задача при исследовании различных явлений 
заключается в построении математической модели. После 
этого свойства модели (существование и единственность 
решения, методы решения и т. д.) исследуются чисто математическими методами. В связи с этим возникает вопрос: 
как следует относиться к математически строгим решениям приближенных, по существу, уравнений? Следует ли к 
ним стремиться, коль скоро их точность превосходит точность модели?

5

Ответ на эти вопросы может быть только положительным. Во-первых, получить математически строгое решение заведомо приближенных уравнений, основывающихся иногда на весьма грубых физических допущениях, не 
труднее, чем приближенное; во-вторых, точные решения 
отдельных задач, соответствующих некоторой конкретной 
модели, обычно проливают свет на характерные особенности модели в целом, являясь своего рода эталонами, способствующими построению приближенных решений более 
сложных задач этого же класса.

Наконец, отметим, что при построении модели допустимы и некоторые логические противоречия, если обусловленные ими ошибки в расчетах не выходят за рамки 
погрешности, следующей из принятых в модели допущений физического характера.

1.2. Основные гипотезы и принципы 
механики деформируемого твердого тела

1. Одним из основных принципов механики деформируемого твердого тела является гипотеза сплошности.По 
этой гипотезе тело, непрерывное до деформации, остается 
непрерывным и после деформации, непрерывным остается 
любой объем тела, в том числе и элементарный. То есть 
среда является сплошной, если любой выделенный из нее 
объем имеет массу. В связи с этим перемещения точек считаются непрерывными функциями координат.

Таким образом, не учитывается дискретная, т. е. атомистическая, структура вещества. Очевидно, что это предположение противоречит действительности, так как реальные материалы всегда обладают характерной структурой, 
а также дефектами в виде пустот, трещин и т. п.

6

Отказ от дискретной схемы строения вещества и переход к гипотезе о сплошной, т. е. непрерывной, среде (механика континуума) обусловлены исключительными математическими трудностями, связанными с дискретной схемой, а также отсутствием многих физических постоянных, без которых теоретическое исследование невозможно. 
Континуальное рассмотрение позволяет на полную мощность использовать хорошо развитый математический аппарат непрерывных функций.

2. Следующим принципом механики твердого тела является принцип макроскопической определимости,соглас- 
но которому малой окрестности точки сплошной среды может быть однозначно поставлено в соответствие тело конечных размеров — специальный образец. Это дает возможность экспериментально проверять результаты теоретических исследований, а также приписывать материальной точке механические и физические свойства целого образца.

3. Важной гипотезой, служащей для математического 
описания действия внутренних сил в деформируемом теле, 
является принцип напряжений Эйлера и Коши: в каждом 
поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, 
имеет место взаимодействие сил такого же характера, как 
и характер распределенных по поверхности нагрузок.

4. Отсюда вытекает, что напряженное состояние в 
точке деформируемого тела определяется внутренними 
силами и деформацией в этой точке и не зависит от 
напряженно-деформированного состояния в соседних точках. Это означает, что градиент напряжений не влияет на 
прочность материала в данной точке (принцип автономной прочности).

5. Следующей гипотезой является гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела. Согласно ей 
7

существующие до приложения поверхностных нагрузок 
начальные напряжения в теле, характер и величина которых зависят от истории возникновения тела, полагаются 
равными нулю. Отсюда определяемые напряжения не являются фактическими напряжениями в теле, а составляют 
лишь прирост напряжений в рассматриваемых точках.

Отметим, что пренебрежение в технических расчетах 
начальными напряжениями, так же как и неучет отступлений в структуре материалов от идеальной сплошности, 
частично компенсируется тем, что установление основных 
механических характеристик материала и связанное с ними определение нормы допускаемых напряжений экспериментально выполняются также без учета начальных напряжений и неравномерности заполнения объема испытуемого образца (макроскопические опыты).

Заметим, что существуют специальные задачи по определению собственных (начальных, остаточных) напряжений. Хотя вся история, конечно же, не прослеживается.

6. Большое количество задач решается с использованием принципа локальности эффекта самоуравновешенных 
внешних нагрузок — принципа Сен-Венана. Согласно этому принципу, если в какой-либо малой части тела приложена уравновешенная система сил, то она вызывает в теле напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от этой точки (экспоненциальный характер затухания 
напряжений). Поэтому возможна локальная замена одной 
уравновешенной системы сил на другую. Это позволяет 
заменять одни нагрузки на другие (например, сосредоточенные на распределенные).

Принцип локальности можно выразить иначе: в точках 
твердого тела, достаточно удаленных от мест приложения 
внешних нагрузок, напряжения весьма мало зависят от детального способа осуществления этих нагрузок.

8

Для изучения закона распределения в области, лежащей в непосредственной близости к месту приложения сосредоточенных или почти сосредоточенных нагрузок, составляют особые задачи теории упругости — контактные 
задачи.

7. Часто используется предположение об изотропности материала, под которой понимается, что физикомеханические свойства одинаковы по всем направлениям, 
проведенным из данной точки материала, и любую плоскость, проходящую через частицу, можно рассматривать 
как плоскость симметрии для нее. Другими словами, свойства образцов, вырезанных из материалов, не зависят от 
их ориентации. Полагая, что свойства частиц материала 
не зависят от их местоположения, получаем понятие однородного изотропного тела.

Очевидно, что для микрообъема (например, кристалла 
стали и т. п.) свойства не одинаковы по различным направлениям. Однако беспорядочное расположение микрокристаллов создает так называемую квазиизотропию материала. Таким образом, применительно к объему, включающему большое количество частиц (для макрообъема), 
во всех направлениях материал обладает практически одинаковыми свойствами в смысле среднего статистического 
эффекта, создаваемого деформацией отдельных кристаллов. Поэтому можно считать, что все величины, характеризующие напряжения и деформации в механике деформируемого тела, являются статистически средними действительного их распределения в конгломерате зерен металлов и подобных им технических материалов.

8. Наконец, во многих разделах механики деформируемого твердого тела принимается, что перемещения точек 
тела малы по сравнению с линейными размерами тела. 
Отсюда относительные удлинения и сдвиги, а также углы 
9

поворота пренебрежимо малы по сравнению с единицей. 
Кроме того, квадраты углов поворота пренебрежимо малы 
по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами. 
Данное предложение означает, что рассматриваются существенно трехмерные тела, изменением граничных поверхностей которых пренебрегают, и существует возможность 
линеаризации уравнений, определяющих геометрические 
свойства деформируемого тела.

1.3. Различные ветви механики 
деформируемого твердого тела

Рассмотрим комплекс научных дисциплин, применяемых для расчета сооружений и машин на прочность. Все 
они образуют раздел науки, называемый реологией (наука о течении вещества). Реология устанавливает общие 
законы образования и развития во времени деформации 
любого вещества от различных причин в различных термодинамических и физико-механических условиях.

При этом вещество может быть именно любым: твердым, жидким, пластичным, вязким и т. п. Причины для 
деформации также могут быть самые разные: статические 
или динамические нагрузки, изменение в параметрах, характеризующих как внешнюю среду (температурное поле), так и само вещество, и т. д. Деформации происходят 
в разное время: вслед за приложением нагрузки или продолжительное время спустя, когда полностью или частично удалены внешние причины; как в состоянии равновесия, 
так и в случае движения, и т. д.

Таким образом, реология позволяет определить, каковы напряжения и деформации в данной точке тела в 
определенный момент времени при известных параметрах 
внешнего воздействия и его истории в прошлом.

10