Базовый курс начертательной геометрии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

И. П. Конакова 
Т. В. Нестерова 

БАЗОВЫЙ КУРС  

НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом  

Уральского федерального университета для студентов вуза,  

обучающихся по направлениям подготовки  

11.03.04 — Электроника и наноэлектроника,12.03.01 — Приборостроение, 

12.03.04 — Биотехнические системы и технологии,  

27.03.01 — Стандартизация и метрология, 27.02.01 — Метрология

Екатеринбург 

Издательство Уральского университета 

2019 

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73 
          К64 

Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор В. З. Козин (Уральский государственный горный университет); 
кандидат технических наук, доцент Н. Г. Новгородова (Российский государственный профессионально-педагогический университет) 

Научный редактор — кандидат технических наук, доцент Т. В. Мещанинова

К64

Конакова, И. П.
Базовый курс начертательной геометрии : учебное пособие / И. П. Конакова, Т. В. Нестерова. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 144 с.
ISBN 978-5-7996-2535-1

В учебном пособии рассмотрены вопросы, связанные с основами метода проецирования: получения изображения геометрических моделей объектов на плоскости, решения задач по построению 
линий пересечения поверхностей различными способами, нахождению натуральной величины 
сечения и т. д. Теоретический материал и примеры решения задач используются для самостоятельной работы студентов при выполнении индивидуальных заданий, которые приведены в приложениях.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата, изучающих начертательную геометрию.

Библиогр.: 8 назв. Рис. 97. Прил. 5. 

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73 

ISBN 978-5-7996-2535-1
© Уральский федеральный 
     университет, 2019

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является разделом геометрии, в котором изучаются 

пространственные формы предмета при помощи изображения его на плоскости. 
Геометрические объекты, рассматриваемые в курсе начертательной геометрии, — 
точка, прямая, плоскость, поверхность.

Начертательная геометрия предлагает методы изображения пространственных 

фигур на плоскости и алгоритмы решения позиционных и метрических задач.

Позиционные задачи — это задачи на взаимную принадлежность и пересече
ние геометрических фигур. Метрические — это задачи на определение расстояний 
и натуральных величин геометрических фигур.

ОБОЗНАЧЕНИЯ В ТЕКСТАХ, ЧЕРТЕЖАХ

Примеры обозначений, которые приводятся графических работах, дают од
нозначное понимание теоретических пояснений и представлены в форме таблицы.

Обозначение
Описание

П1
Горизонтальная плоскость проекций

П2
Фронтальная плоскость проекций

П3
Профильная плоскость проекций

х, y, z
Оси

A, B, C, …; 1, 2, 3, …
Точки

m, n, k, p, … 
Прямые

α, β, δ, γ
Плоскости

A1 , А2 , А3 или 11 , 12 , 13
Проекции точек на П1 , П2 , П3

m1 , m2 , m3
Проекции прямых на П1 , П2 , П3

Изображение плоскостей проекций, 
осей, начала координат (точка 0) 
на чертеже

Изображение геометрических объектов

Достаточным является изображение 
геометрических объектов на горизонтальной и фронтальной плоскостях 
проекций

Допустимо изображение геометрических объектов на горизонтальной 
и фронтальной плоскостях проекций, 
выполненное упрощенно, без указания осей x и y

j
Угол между геометрическим объектом и П1

y
Угол между геометрическим объектом и П2

αП1 , αП2 , αП3
Следы плоскости на П1, П2, П3

αx , αy , αz
Точки схода

ОБОЗНАЧЕНИЯ В ТЕКСТАХ, ЧЕРТЕЖАХ

Допустимы изображения проекций 
без указания осей

О
Принадлежит

Щ
И

Ъ
Или

Ж
Диаметр

□
Квадрат

||
Параллельно

○
Сфера

 

ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Процесс получения на чертеже изображения — проецирование.
Проекция — это изображение, полученное проецированием объекта на пло
скость.

Различают виды проецирования: центральное, параллельное, ортогональное.

Центральное проецирование

Центральная проекция может быть получена при задании плоскости 

проекций (П1) и центра проекций точкой S, не лежащей в этой плоскости  
(рис. 1).

 

Рис. 1. Расположение центра проекций S  

и плоскости проекций П при центральном проецировании 

Из центра проекций S через точку А пространства проведем прямую линию 

до пересечения с плоскостью проекций П  в точке А1 . Точка А1 является центральной проекцией точки А на плоскости П (рис. 2).

ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

 

Рис. 2. Пример построения проекции точки А1  (при центральном проецировании) 

Любая точка луча SA имеет проекцию A1. . Отсюда следует вывод: одна проекция 

точки не определяет положение точки в пространстве.

При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров 

и некоторых других свойств предмета (рис. 3). Сохраняются свойства: проекция 
точки — точка; проекция прямой — прямая линия; если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит ее проекции; точка пересечения прямых 
проецируется в точку пересечения их проекций.

Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, на
зывается перспективой (рис. 3).

 

Рис. 3. Перспектива 

Параллельное проецирование

9

Параллельное проецирование

Если центр S удален в бесконечность, то проецирующие лучи будут параллель
ны между собой (рис. 4). Проекции точек A, B, C и D на П1 являются параллельными 
проекциями, а вид проецирования — параллельным.

 

Рис. 4. Параллельное проецирование 

Различают прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное про
ецирование. Это зависит от величины угла, образованного направлением проецирования с плоскостью проекций.

Свойства параллельного проецирования следующие.
1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 5).

Рис. 5. Проекция точки А

Проекция прямой в общем случае — прямая (рис. 6). Прямая может выро
ждаться в точку, когда она параллельна направлению проецирования.

ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

 

Рис. 6. Проекция отрезка прямой АВ

2. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции 

линии (рис. 7).

 

Рис. 7. Проекция точки А, принадлежащей прямой линии 

3. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций 

(рис. 8).

Рис. 8. Проекция точки пересечения А прямых m и n

4. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 9). Если AB || CD, 

то A1 B1 || C1 D1..