Введение в теорию функций действительного переменного : Мера и интеграл Лебега на прямой

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Мера и интеграл Лебега на прямой

Учебное пособие

Рекомендовано

методическим советом Уральского федерального университета

в качестве учебного пособия для студентов вуза,

обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика»,

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2018

УДК 517.51(075.8)

A805

Рецензенты:

кафедра математического анализа

и методики преподавания математики

Южно-Уральского государственного университета

(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук

В. Л. Дильман);

А. Г. Ченцов, член-корреспондент РАН, профессор,

главный научный сотрудник Института математики и механики

им. Н. Н. Красовского УрО РАН

Арестов, В. В.

A805
Введение в теорию функций действительного пере
менного : Мера и интеграл Лебега на прямой : учеб. пособие / В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина ;
М-во науки и

высш. образования Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. —
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 208 с.

ISBN 978-5-7996-2457-6
В учебном пособии излагается вводный курс теории функ
ций одного действительного переменного. Рассматриваются
мера Лебега на числовой прямой, свойства измеримых функций, интеграл Лебега на измеримых подмножествах числовой
прямой, пространства Lp, начальные факты о тригонометрических рядах Фурье.

Для студентов и аспирантов физико-математических спе
циальностей.

УДК 517.51

ISBN 978-5-7996-2457-6
© Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

.
Глава 1
Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега
19

§ 1.1. Структура открытых и замкнутых подмно
жеств числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 1.2. Мера Лебега открытого множества
. . . . . . . .
22

§ 1.3. Внешняя (верхняя) мера Лебега множества . . .
29

§ 1.4. Измеримые по Лебегу множества
. . . . . . . . .
34

§ 1.5. Внутренняя (нижняя) мера множества . . . . . .
48

§ 1.6. Существование неизмеримого по Лебегу мно
жества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

§ 1.7. Множество и функция Кантора
. . . . . . . . . .
53

.
Глава 2
Измеримые функции
. . . . . . . . . . . . . . . . .
61

§ 2.1. Определение и свойства измеримых функций
61

§ 2.2. Последовательности измеримых функций . . . .
68

§ 2.3. Сходимость по мере
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

§ 2.4. Связь различных типов сходимости . . . . . . . .
74

§ 2.5. Структура измеримых функций. C-свойство

Лузина измеримой функции . . . . . . . . . . . . .
83

3

.
Глава 3
Интеграл Лебега
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

§ 3.1. Интеграл Лебега от ограниченной функции по

множеству конечной меры . . . . . . . . . . . . . .
91

§ 3.2. Интеграл Лебега от неотрицательной неогра
ниченной функции по множеству конечной меры 104

§ 3.3. Интеграл Лебега от измеримой функции про
извольного знака по множеству конечной меры
117

§ 3.4. Интеграл Лебега по множеству бесконечной

меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§ 3.5. Предельный переход под знаком интеграла

Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

.
Глава 4
Пространства Lp, 1 ⩽ p ⩽ ∞ . . . . . . . . . . . . 144

§ 4.1. Пространства Lp, 1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . 144
§ 4.2. Пространство L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 4.3. Плотность некоторых классических множеств

функций в пространстве Lp
. . . . . . . . . . . . . 165

.
Глава 5
Ряды Фурье по тригонометрической системе . . 171

§ 5.1. Пространства 2π-периодических функций . . . . 172
§ 5.2. Выражение коэффициентов тригонометриче
ского ряда через его сумму по методу Эйлера – Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

§ 5.3. Теорема Римана – Лебега о поведении коэффи
циентов Фурье суммируемой функции. . . . . . . 179

§ 5.4. Ядро
Дирихле.
Представление
частичных

сумм ряда Фурье суммируемой функции в виде
свертки функции с ядром Дирихле . . . . . . . . . 181

§ 5.5. Поточечная сходимость рядов Фурье. . . . . . . . 184
§ 5.6. Связь коэффициентов Фурье функции и ее

производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

§ 5.7. Равномерная сходимость рядов Фурье . . . . . . . 189

4

§ 5.8. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппрок
симации непрерывной 2π-периодической функции тригонометрическими полиномами . . . . . . 191

§ 5.9. Теорема
Вейерштрасса
об
аппроксимации

функций в Lp

2π, 1 ⩽ p < ∞, тригонометриче
скими полиномами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

§ 5.10. Минимальное свойство сумм Фурье в про
странстве L2

2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

§ 5.11. Среднеквадратичная сходимость рядов Фурье.

Равенство Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 5.12. Теорема Рисса – Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Библиографические ссылки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Предисловие

Мера и интеграл Лебега впервые были построены в диссер
тации А. Лебега в 1902 г. В 1904 г. опубликована его монография «Лекции по интегрированию и отысканию примитивных
функций» (см. [8] – русский перевод второго издания), в которой обстоятельно изучена и изложена новая конструкция интеграла; кроме того, в этой монографии был дан анализ предшествующего развития интеграла. Одним из основных стимулов
развития понятия интеграла являлась проблема восстановления дифференцируемой на промежутке функции по ее производной. В частности, в 1881 г. В. Вольтерра построил пример дифференцируемой на отрезке функции, производная которой ограничена, но не интегрируема по Риману, следовательно, средствами интеграла Римана эта функция по своей производной не восстанавливается [5, гл. 8, пример 35]. Конструкция интеграла Лебега существенно расширяет класс функций,
которые восстанавливаются интегралом по своей производной.
Вместе с тем она оказалась достаточно гибкой и удобной для
приложений. Исследования А. Лебега базировались на большом числе предшествующих результатов известных математиков XVII–XIX вв. С историей развития меры и интеграла
можно ознакомиться, например, в [10,13].

Мера и интеграл Лебега являются фундаментальными по
нятиями современного анализа; они оказались естественным
инструментом описания и исследования объектов и процессов

6

многих разделов непрерывной математики: теории функций,
функционального анализа, теорем вложения, теории вероятностей, дифференциальных уравнений и уравнений в частных
производных, теории управления и др. В связи с этим они являются важной компонентой математического образования.

В данном пособии излагаются мера и интеграл Лебега

на числовой прямой и дифференциальные свойства монотонных функций. Основой пособия явились курс лекций и спецкурс, которые авторы читают студентам-математикам Уральского федерального университета. Пособие предназначено для
первоначального ознакомления с предметом. Магистрантамматематикам читается обширный курс общей теории меры и
интеграла.

Пособие состоит из пяти глав. Первая глава посвящена

классической мере Лебега на числовой прямой. Вторая глава содержит изложение теории измеримых функций, различных типов сходимости последовательностей и рядов измеримых функций; приводятся классические теоремы о связи различных типов сходимости. В третьей главе излагаются конструкция и свойства интеграла Лебега на измеримых подмножествах числовой прямой. В четвертой главе рассматриваются
основные свойства пространств Lp, 1 ⩽ p ⩽ ∞. Пятая глава
посвящена вопросам поточечной, равномерной и среднеквадратичной сходимости рядов Фурье.

В качестве задачника по данному курсу мы рекомендуем

книги [9,12,14].

В настоящее время имеется немало учебников по теории

функций действительного переменного. По полноте, глубине и
обстоятельности подбора и изложения материала особое место
занимает учебник И. П. Натансона [1]. В предлагаемом пособии
авторы использовали некоторые подходы из этого учебника, а
также из учебников [2, 3] и монографии [16]. Пособие отражает
видение материала авторами и имеет целью помочь студентам
в освоении, вообще говоря, непростого раздела математики на
третьем году их обучения.

7

Авторы надеются, что пособие будет полезным студентам и

аспирантам физико-математических специальностей для первоначального ознакомления с мерой и интегралом Лебега и рядами Фурье.

Введение

Мы предполагаем, что читатель владеет дифференциаль
ным и интегральным исчислением функций одного вещественного переменного и теорией числовых и функциональных последовательностей и рядов в объеме стандартного университетского курса (см., например, [7, 11, 2]). Также читатель должен быть знаком с элементами теории множеств, иметь понятие о мощности множества, в частности, о множествах счетной
мощности и мощности континуума. Все необходимые сведения
можно найти, к примеру, в учебниках [1, гл. 1; 3, гл. 1].

Ниже мы приводим некоторые факты из теории множеств и

числовых рядов, главным образом для того, чтобы согласовать
обозначения.

Теоретико-множественные определения и обозначения

R — множество вещественных чисел
N — множество натуральных чисел
Q — множество рациональных чисел
I — множество иррациональных чисел
∅ — пустое множество
x ∈ A — элемент x принадлежит множеству A
A ⊂ B — множество A является подмножеством множества B
A B = {x : x ∈ A или x ∈ B} — объединение множеств
A и B
A B = {x : x ∈ A и x ∈ B} — пересечение множеств A и B

9

A \ B = {x : x ∈ A и x ̸∈ B} — разность множеств A и B
∁ A = R \ A — дополнение множества A до R

Если рассматривается объединение двух или более попар
но непересекающихся множеств и этот факт важно подчеркнуть, то используется знак дизъюнктного объединения . Так,
например, запись E = A B означает, что E = A B и
A B = ∅.

Интервалами
будем
называть
множества
вида
(a, b),

(−∞, a), (a, +∞), (−∞, +∞), где a, b ∈ R; промежутками будем называть интервалы, отрезки и полуинтервалы вида [a, b),
(a, b], (−∞, a], [a, +∞), где a, b ∈ R.

Некоторые конструкции и доказательства пригодны как

для конечного, так и для счетного семейства множеств. В этих
случаях не конкретизируется, о каком количестве множеств
идет речь. В частности, запись

k⩾1

Ek

обозначает объединение конечного

Kk=1

Ek либо счетного

∞
k=1

Ek

семейства множеств. Аналогичные соглашения используются
для пересечения множеств k⩾1

Ek и для суммы k⩾1

ak конечного

или счетного множества слагаемых.

В данном пособии часто используются законы двойствен
ности: для любого семейства Eν, ν ∈ V, подмножеств R и множества A ⊂ R справедливы равенства

A \ ν

Eν = ν

(A \ Eν),

A \ ν

Eν = ν

(A \ Eν),

в частности, если A = R, то последние два соотношения принимают вид

∁

ν

Eν

= ν ∁ Eν,

10

∁

ν

Eν

= ν ∁ Eν.

Простейшие топологические понятия на прямой

Множества, рассматриваемые в данном пособии, предпола
гаются принадлежащими вещественной прямой R.

Для точки x ∈ R множество Oε(x) = (x − ε, x + ε), ε > 0,

называется ε-окрестностью точки x.

Точка x называется внутренней точкой множества E,

если она принадлежит множеству E вместе с некоторой
ε-окрестностью.

Точка x ∈ R называется предельной точкой множества E,

если любая ε-окрестность точки содержит хотя бы одну точку
множества E, отличную от x.

Множество G называется открытым, если каждая его точ
ка внутренняя.

Множество F называется замкнутым, если оно содержит

все свои предельные точки.

Множества R и ∅ открыты и замкнуты одновременно.
Отметим несколько свойств открытых и замкнутых мно
жеств:

1. Объединение любого семейства открытых множеств от
крыто.

2. Пересечение конечного семейства открытых множеств от
крыто.

3. Пересечение любого семейства замкнутых множеств зам
кнуто.

4. Объединение конечного семейства замкнутых множеств

замкнуто.

5. Если множество F замкнутое, а G открытое, то F \G зам
кнутое, а G \ F открытое. В частности, дополнение открытого
множества замкнуто, а дополнение замкнутого – открыто.

В данном пособии открытые множества, как правило, обо
значаются буквой G, а замкнутые – буквой F. Эти обозначе
11

ния происходят от немецкого слова Gebiet (открытое множество, область) и французского слова ferm´e (замкнутый). Они
были введены Ф. Хаусдорфом [17, Kap. 8, § 7; Kap. 7, § 2]. Произвольное множество часто обозначается буквой E от французского ensemble (множество).

Наибольшее открытое множество, содержащееся во множе
стве E, называется внутренностью E и обозначается

◦
E . Более

точно, пусть G (E) есть семейство всех открытых множеств, содержащихся в E; это семейство не пусто, к примеру, ∅ ∈ G (E).

Тогда

◦
E = {G : G ∈ G (E)}. Нетрудно проверить, что внут
ренность E совпадает со множеством всех внутренних точек E,

т. е.

◦
E = {x : x – внутренняя точка E}.
Наименьшее замкнутое множество, содержащее множество

E, называется замыканием E и обозначается E. Более точно,
пусть F(E) есть семейство всех замкнутых множеств, содержащих E; это семейство не пусто, к примеру, R ∈ F(E). Тогда
A = {F : F ∈ F(E)}.

Обозначим через E′ множество всех предельных точек мно
жества E. Нетрудно проверить, что E = E E′. Часто замыкание определяют именно таким образом, т. е. как множество
вместе со своими внутренними точками.

Очевидно, что

◦
E ⊂ E ⊂ E.

Определение. Множество A ⊂ B называется плотным во

множестве B, если для каждого x ∈ B в любой Oε(x) есть точки множества A. Другими словами, A плотно в B, если B ⊂ A.

Если A плотно в R, то говорят, что A всюду плотно.
Множество A называется нигде не плотным, если оно не

плотно ни в одном интервале; иными словами, A не содержит
ни одного интервала.

Всюду плотны в R, например, множества Q и I.

12

Несколько дополнительных фактов о числовых рядах

Пусть задано бесконечное множество чисел

uij
(i = 1, 2, 3, . . . ,
j = 1, 2, 3, . . .),

зависящих от двух натуральных индексов i и j. Представим их
расположенными в виде бесконечной матрицы:

u11
u12
u13
. . .
u1j
. . .

u21
u22
u23
. . .
u2j
. . .

u31
u32
u33
. . .
u3j
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

ui1
ui2
ui3
. . .
uij
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

(0.1)

Введем понятия повторного и двойного рядов, связанных
с матрицей (0.1).

Если просуммировать отдельно каждую строку матри
цы (0.1), то получим бесконечную последовательность рядов
вида

∞
j=1

uij
(i = 1, 2, 3, . . .).
(0.2)

Просуммировав теперь еще и эту последовательность, будем
иметь

∞
i=1





∞
j=1

uij



 =

∞
i=1

∞
j=1

uij.
(0.3)

Формальная сумма (0.3) называется повторным рядом. Если
просуммировать сначала по столбцам, а затем по строкам, то
мы получим второй повторный ряд:

∞
j=1

∞
i=1

uij.
(0.4)

13