Математика, механика и компьютерные науки : подготовка к вступительным экзаменам в магистратуру : задачник

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА
И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

Подготовка к вступительным экзаменам
в магистратуру

Задачник

Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета

для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки

01.03.01 «Математика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»,

01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,

02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»,

09.03.03 «Прикладная информатика»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2018

УДК 5(076.1) + 004(076.1)
М34

А в т о р ы:

Д. С. Ананичев, В. В. Арестов, М. О. Асанов,
А. Л. Гальперин, П. Ю. Глазырина, К. Н. Гурьянова,
А. О. Иванов, А. Ю. Коврижных, О. О. Коврижных,

Ю. А. Меленцова, С. П. Охезин, М. А. Рекант, Т. К. Стихина,
А. Е. Шнейдер, А. М. Шур

Под общей редакцией

А. Ю. Коврижных

Р е ц е н з е н т ы:

отдел прикладных проблем управления Института
математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН

(зам. директора ИММ УрО РАН,
старший научный сотрудник отдела,
кандидат физико-математических наук И. Н. Кандоба);

Г. Б. Захарова, кандидат технических наук, доцент,
ведущий научный сотрудник, профессор кафедры
прикладной математики и технической графики

Уральского государственного архитектурно-художественного
университета

М34

Математика,
механика
и
компьютерные
науки
:
Подготовка к вступительным экзаменам в магистратуру : задачник / [Д. С. Ананичев и др. ; под общ. ред.
А. Ю. Коврижных] ; М-во науки и высш. образования Рос.
Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во
Урал. ун-та, 2018. – 140 с.

ISBN 978-5-7996-2456-9

Даются задачи вступительных экзаменов в магистратуру департамента математики, механики и компьютерных наук с 2011 по 2015 г.
Часть задач снабжена решениями. Приводятся перечень вопросов и
рекомендуемая литература для подготовки к экзаменам.

Для студентов, обучающихся по укрупненным группам направлений 010000 «Математика и механика», 020000 «Компьютерные и
информационные науки», 090000 «Информатика и вычислительная
техника».

УДК 5(076.1) + 004(076.1)

ISBN 978-5-7996-2456-9
c⃝ Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

От авторов ...............................................................
5

Программы вступительных испытаний ...................
7

Глава 1. Алгебра...................................................... 31

1.1. Примеры заданий ............................................... 31

1.2. Решения .......................................................... 37

Глава 2. Математический анализ............................. 39

2.1. Примеры заданий ............................................... 39

2.2. Решения .......................................................... 46

Глава 3. Дифференциальные уравнения ................. 67

3.1. Примеры заданий ............................................... 67

3.2. Решения .......................................................... 68

Глава 4. Теория вероятностей .................................. 75

4.1. Примеры заданий ............................................... 75

4.2. Решения .......................................................... 77

Глава 5. Дискретная математика............................. 79

5.1. Примеры заданий ............................................... 79

5.2. Решения .......................................................... 84

Глава 6. Графы и комбинаторные алгоритмы ......... 89

6.1. Примеры заданий ............................................... 89

6.2. Решения .......................................................... 99

Глава 7. Основы баз данных.................................... 103

7.1. Примеры заданий ............................................... 103

7.2. Решения .......................................................... 109

Глава 8. Теория функций комплексного переменного112

8.1. Примеры заданий ............................................... 112

8.2. Решения .......................................................... 114

Глава 9. Уравнения математической физики .......... 122

9.1. Примеры заданий ............................................... 122

9.2. Решения .......................................................... 124

3

Глава 10. Методы вычислений................................. 126

10.1. Примеры заданий .............................................. 126

10.2. Решения ......................................................... 129

Глава 11. Математика и механика ........................... 131

11.1. Примеры заданий .............................................. 131

11.2. Решения ......................................................... 134

От авторов

Цель данного задачника — оказать помощь абитуриентам –
выпускникам балакавриата в подготовке к поступлению в магистратуру Института естественных наук и математики Уральского федерального университета. Представлены задачи, которые предлагались на вступительных экзаменах в магистратуру департамента математики, механики и компьютерных наук
в 2011—2015 гг. Часть задач снабжена решениями. Приводятся
перечень вопросов и рекомендуемая литература для подготовки к экзаменам.

По объему и содержанию программа вступительных испытаний в магистратуру соответствует программе государственной итоговой аттестации бакалавров.

Для направлений 01.04.01 «Математика», 02.04.01 «Математика и компьютерные науки», 09.04.03 «Прикладная информатика», 02.04.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» вступительное испытание проводится
в виде письменного экзамена и содержит две части: общую
и специальную. На выполнение каждой части отводится два
часа. В общую часть входят пять задач: одна по алгебре и геометрии (разделы программы A и Ac), две по математическому анализу (B, Bc), одна по дифференциальным уравнениям
и одна по теории вероятностей (разделы D, Dc и G, Gc соответственно). Задач по теоретической механике математикам
не предлагалось, хотя этот раздел входит в программу.

Специальная часть по направлению 01.04.01 «Математика» содержит пять задач — по одной из разделов: «Алгебра», «Математический анализ», «Теория функций комплексного переменного» (раздел программы C), «Методы
вычислений» (раздел F) и «Математическая физика» (раздел E). Специальная часть экзамена по другим направлениям подготовки содержит две задачи из дискретной математики, математической логики и теории автоматов (раздел
Jc), две задачи из раздела «Графы и комбинаторные алгоритмы» (Kc), одну из раздела «Основы баз данных» (Lc).

5

Задачи общей части помечены сокращением ОЧ, задачи специальной части — СЧ.

На вступительном экзамене в магистратуру по направлению 01.04.03 «Механика и математическое моделирование»
предлагается ответить на два вопроса и решить две задачи.
Программа экзамена содержит следующие разделы: «Теоретическая механика» (Tm), «Механика сплошной среды» (Mm),
«Теория устойчивости» (Sm), «Дифференциальные уравнения» (Dm), «Алгебра и математический анализ» (ABm).

Программы вступительных испытаний

Направление 01.04.01 «Математика»

(A) Алгебра
1. Определители N-го порядка. Свойства определителей.
Разложение определителя по минорам.

2. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость элементов. Базис и размерность пространства.
Размерность суммы пространств. Прямая сумма, разложение линейного пространства в прямую сумму одномерных подпространств.

3. Матрицы и действия с ними. Теорема о ранге матрицы.
Определитель произведения матриц. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Критерий совместности и строение общего решения совместной
системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

5. Линейные отображения. Матрица линейного оператора
в базисе. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Корневое разложение. Жорданов базис. Жорданова
форма матрицы линейного оператора.

6. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации, ортонормированный базис. Разложение пространства в прямую сумму пространства и его ортогонального дополнения.

7. Общая алгебра. Основные алгебраические системы: полугруппы и группы, кольца и поля, решетки. Гомоморфизмы и конгруэнции.

7

Литература

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. —
М. : Физматгиз, 1959.

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. — М. : Наука, 1975.

• Кострикин А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. —
М. : Наука, 1977.

• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре : учеб. пособие для вузов / Д. К. Фаддеев. — M. : Наука. Глав. ред. физ.-мат.
лит., 1984.

• Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. —
М. : Наука, 1976.

(B) Математический анализ

1. Непрерывные функции одной переменной и их свойства.
Равномерная непрерывность. Дифференцируемые функции. Основные теоремы дифференциального исчисления
(Ролля, Лагранжа, Коши). Правила Лопиталя. Формула
Тейлора. Локальный экстремум.

2. Определенный интеграл Римана по отрезку. Интегрируемость непрерывных функций. Первообразная непрерывной функции. Формула Ньютона — Лейбница.

3. Функции многих переменных. Компактные подмножества евклидова пространства; лемма Бореля о покрытиях. Функции, непрерывные на компакте. Равномерная непрерывность, теорема Кантора. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Полный дифференциал
и
его
геометрический
смысл.
Достаточное условие дифференцируемости. Производная функции по направлению, градиент. Формула Тейлора. Локальный экстремум. Неявные функции; существование,

8

непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Условный локальный экстремум.

4. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий сходимости Коши. Признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный, Дирихле – Абеля). Абсолютная и условная
сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование
и дифференцирование).

6. Степенные ряды на действительной прямой и в комплексной плоскости. Радиус сходимости. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда; ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

7. Несобственные интегралы. Собственные и несобственные
интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Свойства равномерно сходящихся интегралов.

8. Кратные интегралы. Сведение к повторным. Замена переменных в кратных интегралах.

9. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы
Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского.

10. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Поточечная
и равномерная сходимости рядов Фурье. Среднеквадратическая сходимость рядов Фурье; равенство Парсеваля.

11. Метрическое пространство. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.

12. Гильбертово пространство. Общий вид линейного функционала; сопряженное пространство.

9

Литература

• Ильин
В.
А.
Математический
анализ
:
в
2
ч.
/
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — М. :
Изд-во МГУ, 2004–2006 (а также все издания с 1979 г.).

• Никольский С. М. Курс математического анализа /
С. М. Никольский. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000–2001.

• Никольский С. М. Курс математического анализа : в 2 т.
/ С. М. Никольский. — М. : Наука, 1990–1991.

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 3 т. /
Л. Д. Кудрявцев. — М. : Высш. шк., 1988–1999 (а также
все издания с 1981 г.).

• Бесов О. В. Лекции по математическому анализу /
О. В. Бесов. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2014.

• Лекции С. Б. Стечкина по математическому анализу :
в 2 т. / под ред. Т. В. Радославовой, Н. Н. Холщевниковой. — М. : Изд-во попечительского совета механикоматематического фак. МГУ. — Т. 1. 2011 ; Т. 2. 2014.

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — М. :
ФИЗМАТЛИТ : Лаборатория Знаний, 2003 (а также все
издания с 1968 г.).

(C) Теория функций комплексного переменного

1. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость в точке, условия Коши – Римана.

2. Элементарные функции. Основные свойства. Отображения, осуществляемые элементарными функциями.

3. Интеграл по (спрямляемой) кривой. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру от аналитической функции. Интеграл Коши.

10