Методы звездной статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

А. В. Локтин, А. Б. Островский

МЕТОДЫ ЗВЕЗДНОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,
обучающихся по направлению подготовки
03.05.01 «Астрономия»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2018

УДК 521(075.8)
Л 733
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра астрономии и космической геодезии Национального
исследовательского Томского государственного университета
(заведующий кафедрой
доктор физико-математических наук В. А. Авдюшев);
И. И. Никифоров, кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры небесной механики
Санкт-Петербургского государственного университета

Н а у ч н ы й р е д а к т о р
доктор физико-математических наук, доцент Э. Д. Кузнецов
(Уральский федеральный университет)

Локтин, А. В.
O-777
Методы звездной статистики : учеб. пособие / А. В. Локтин,
А. Б. Островский ; [науч. ред. Э. Д. Кузнецов] ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 252 с.
ISBN 978-5-7996-2315-9

В учебном пособии рассмотрены теоретические основы многомерных статистических методов и способы решения практических задач
многомерной статистики в применении к проблемам звездной статистики.
Для студентов, обучающихся на астрономических и геодезических специальностях высших учебных заведений.
УДК 521(075.8)

На обложке:
гравюра «Птолемей и муза Астрономия» из книги Reisch Gregor
“Margarita Philosophica Cu Additionibus Novis” (1508).

ISBN 978-5-7996-2315-9
© Уральский федеральный университет, 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной целью курса «Методы звездной сатистики» является ознакомление студентов с методами, которые используются в звездно-астрономических исследованиях, а также с современными многомерными методами математической статистики, которые находят в астрономии существенно большее
применение, чем в недавнем прошлом. Поэтому первые главы посвящены изложению некоторых разделов многомерной
математической статистики, которые обычно не включаются в университетские курсы теории вероятностей и математической статистики. В остальных главах рассматриваются
звездно-статистические методы, в первую очередь те, которые
не излагаются в общем курсе звездной астрономии и в соответствующих учебниках и пособиях.
Изложение материала в рамках курса ведется в векторной
и матричной форме, так как большинство современных книг
и руководств по математической и звездной статистике используют именно эту наиболее краткую форму. Во всех математических выводах в рамках курса предполагаются непрерывность
всех функций, а также существование всех интегралов и производных.

3

Принятые в курсе обозначения в основном соответствуют
сложившейся в математической статистике традиции. Так, случайные величины, векторы и матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, значения случайных величин, а также
элементы векторов и матриц — строчными латинскими буквами, неслучайные параметры случайных величин — греческими
буквами, прописными для векторных и матричных параметров
и строчными — для скалярных. В отдельных случаях векторные величины выделяются жирным шрифтом, почти всегда
над символами имеется стрелка.
Для обозначения формул принята сквозная нумерация
из двух цифр, первая обозначает номер главы, вторая — номер формулы в пределах данной главы.
Объем курса не позволяет детально рассмотреть многие аспекты применения статистических методов в астрономии, поэтому изложение носит часто конспективный характер, отдельные методы изложены без выводов и доказательств. Тем не менее авторы надеются, что настоящий курс окажется полезным
и до некоторой степени восполнит отсутствие соответствующего подробного учебника.
Для усвоения курса необходимо знание основ звездной астрономии, по крайней мере, в объеме курса общей астрономии,
а также основ теории вероятностей и методов обработки наблюдений. Данное учебное пособие представляет собой переработанное и дополненное пособие А. Е. Василевского [1], на основе которого этот замечательный преподаватель до конца своей
жизни читал курс «Методы звездной статистики» на кафедре
астрономии и геодезии Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

ВВЕДЕНИЕ

Звездная статистика представляет собой раздел астрономии, целью которого является изучение строения, кинематики
и эволюции звездных систем — звездных скоплений, нашей Галактики в целом, внегалактических объектов — методами теории вероятностей и математической статистики. В круг задач,
решаемых методами звездной статистики, входит также исследование статистических закономерностей и связей между различными физическими и пространственно-кинематическими
характеристиками отдельных классов объектов (не только
звездных) — лунных и планетных кратеров, образований на поверхности Солнца, комет, астероидов, одиночных и кратных
звезд, звездных систем разного масштаба, туманностей, различных классов объектов межзвездной среды, как компактных, так и пространственно распределенных. В последние годы к этим задачам добавилось исследование статистических
свойств постоянно растущей выборки экзопланет.
Звездная статистика имеет дело с огромными массивами
наблюдательных данных, часто отягощенных большими случайными и систематическими ошибками, поэтому естественно,
что этот раздел астрономической науки издавна является областью приложения математической теории обработки резуль
5

татов эксперимента. В свою очередь, развитие звездной астрономии в определенной степени влияло и на развитие математической статистики и близких к ней математических дисциплин.
Знаменитый метод наименьших квадратов был создан К. Гауссом именно для астрономических приложений. Некоторые чисто статистические приложения, а также широко используемые
в прикладной статистике методы решения интегральных уравнений типа свертки были разработаны астрономами Дж. Каптейном, А. Эддингтоном, К. Шварцшильдом и др.
В последние десятилетия наблюдается заметное повышение
интереса со стороны астрономов к современным методам математической статистики с целью извлечения максимума информации из массивов наблюдательных данных. Однако и в настоящее время часто встречаются научные работы, где исследования проводятся на недостаточно высоком уровне обработки наблюдательного материала, что ведет к неполному использованию информации, заложенной в наблюдательных данных,
получаемых зачастую с большими затратами труда, денежных
средств и времени, а иногда и к неправильной интерпретации
получаемых результатов. Отсюда следует, что одной из важнейших задач звездной статистики является выделение максимально доступного для данного массива наблюдательных данных количества полезной информации. С этим напрямую связан вопрос о планировании эксперимента в звездной астрономии, хотя эксперимент в звездной астрономии является пассивным, так как мы не способны непосредственно воздействовать
на изучаемые объекты. Однако выяснение вопроса, какое количество данных необходимо для изучения того или иного явления, а также точность, с которой должны получаться эти

6

данные, может сэкономить при достижении нужного нам результата много усилий.
Звездная астрономия XX в., за исключением его последних
десятилетий, имела дело почти исключительно с одномерными случайными величинами и одномерными распределениями.
Но по мере развития средств вычислительной техники многомерный статистический анализ превратился из теоретического
раздела математической статистики в мощный инструмент научных исследований, в средство извлечения максимальной информации из экспериментальных данных. Многомерные статистические методы проникли во все области знания, в том числе
и в традиционно гуманитарные науки — социологию, психологию, лингвистику, широко применяются в экономике. К сожалению, в астрономию эти методы внедряются медленно, что
связано, как справедливо отмечено А. С. Шаровым в предисловии к книге Р. Курта «Введение в звездную статистику» [2],
со слабой подготовкой астрономов в области теории вероятностей и математической статистики. Данный курс в некоторой
мере преследует цель восполнить, хотя бы частично, этот пробел.
Следует сказать несколько слов и о современных вычислительных возможностях в области математической статистики. Особо необходимо отметить язык высокого уровня и систему статистических вычислений R, развитие которых поддерживается сообществом Comprehensive R Archive Network
(CRAN). Важно, что соответствующие пакеты программ реализованы для всех основных операционных систем (Windows,
Linux, MacOS). Описание языка и принципов работы с ним распространяются бесплатно и постоянно обновляются. В настоя
7

щее время, кроме базовых пакетов, скачиваемых вместе с системой, разработаны и доступны более 2 000 прикладных пакетов, реализующих практически все самые современные статистические методы для применения в самых разных областях
науки. Скачать программу и пакеты можно с сайта проекта
CRAN http://cran.r-project.org и многочисленных сайтов, посвященных R, которые легко найти во Всемирной паутине.

1. МНОГОМЕРНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Случайный вектор

и его распределение

Определение 1.1. Случайные величины могут быть скалярными (одномерными) и векторными. В соответствии с общим определением многомерной случайной величиной или
случайным вектором называют любую упорядоченную совокупность скалярных случайных величин, причем эти составляющие могут быть как независимыми, так и коррелированными — связанными некоторыми, часто скрытыми от нас,
зависимостями.

В практических приложениях случайные векторы представляют собой, как правило, упорядоченные наборы характеристик или признаков случайно выбранного объекта рассматриваемого класса. В качестве примера мы можем рассмотреть
основные характеристики звезды (масса, радиус, светимость,
эффективная температура, возраст), причем хорошо известно, что эти величины в разной степени коррелированы. Иногда многомерными случайными величинами являются реаль
9

ные векторы, например, вектор положения объекта в Галактике, вектор пространственной скорости объекта.
Любой вектор может быть записан в виде вектора-столбца,
или, что удобнее для записи, вектора-строки (транспонированного вектора-столбца), например, ⃗XT = (x1, x2, . . . , xm),
где верхний индекс T обозначает операцию транспонирования. Вектор-столбец удобнее для записи умножения вектора
на матрицу, так как запись получается более компактной. Одномерные составляющие вектора называются его компонентами, проекциями или координатами. Геометрически компоненты случайного вектора задают положение точки в m-мерном
пространстве, причем, в силу случайного характера величин
x1, x2, . . . , xm, положение этой точки от опыта к опыту меняется непредсказуемым образом в соответствии с законом распределения вектора ⃗X.

Определение 1.2. Законом распределения многомерной
случайной величины ⃗X называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой
случайной величины и соответствующими им вероятностями. Наиболее общей формой закона распределения является
функция распределения вероятности случайной величины.

Определение 1.3. Функция распределения F случайного
вектора ⃗X (совместная функция распределения) есть вероятность попадания точки в m-мерную, неограниченную слева область с вершиной в точке ⃗α, причем аргументами функции
являются координаты вершины ⃗α(α1, . . . , αm) этой области:

F(α1, . . . , αm) = P(x1 < α1, . . . , xm < αm),
(1.1)

10