Дифференциальная геометрия

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2017

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Ю. В. Нагребецкая, О. Е. Перминова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Практикум

Рекомендовано методическим советом УрФУ

для студентов, обучающихся по программе бакалавриата

по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика»,

01.03.03 «Математика и математическое моделирование»,

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

УДК 514.7(07)
        Н168

В практикум включены краткие теоретические сведения по основам диф
ференциальной геометрии, задания для самостоятельного выполнения и примеры решения типовых задач.

Для студентов и преподавателей математических специальностей и на
правлений.

Нагребецкая, Ю. В.

Дифференциальная геометрия : практикум / Ю. В. На
гребецкая, О. Е. Перминова ; [науч. ред. М. В. Волков] ; М-во
образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. – 72 с.

ISBN 978-5-7996-2062-2

Н168

ISBN 978-5-7996-2062-2

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра физико-математических дисциплин

Российского государственного

профессионально-педагогического университета

(заведующий кафедрой кандидат физико-математических наук,

доцент С. В. Анахов);

Л. Д. Сон, доктор физико-математических наук, профессор
(Уральский государственный педагогический университет)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р:

доктор физико-математических наук, профессор М. В. Волков

УДК 514.7(07)

© Уральский федеральный университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов .................................................................................................... 4

1. Аффинные евклидовы пространства ..................................................... 8

2. Гладкие линии на плоскости .................................................................. 18

3. Кривые на плоскости ............................................................................. 26

4. Кривые в пространстве ......................................................................... 37

5. Внутренняя геометрия поверхностей .................................................. 45

6. Внешняя геометрия гиперповерхностей .............................................. 58

Библиографические ссылки ...................................................................... 71

ОТ АВТОРОВ

Практикум «Дифференциальная геометрия» предназначен

для освоения дисциплины «Основы дифференциальной геометрии и топологии» студентами Института естественных наук и математики Уральского федерального университета, обучающимися
по направлениям «Математика», «Механика и математическое моделирование», «Математика и компьютерные науки». В рамках
указанных направлений дисциплина «Основы дифференциальной
геометрии и топологии» систематически излагается в обязательном лекционном курсе. Овладение лекционным материалом требует от студента знаний и умений, приобретенных в ходе предшествующего изучения дисциплин «Аналитическая геометрия»,
«Линейная алгебра», «Математический анализ» и «Дифференциальные уравнения». Кроме лекций рабочая программа курса предполагает проведение практических занятий, в том числе выполнение аудиторных и домашних контрольных работ. Соответственно
возникает необходимость в учебно-методическом пособии, в котором, во-первых, содержались бы краткие положения теории, во-вторых, были бы приведены решения типовых задач, а в-третьих,
имелся бы набор заданий по основным темам курса. Все эти задачи и решает данный практикум.

Состоит практикум из 6 глав, охватывающих основные раз
делы курса: аффинные евклидовы пространства, гладкие линии
на плоскости, кривые на плоскости, кривые в пространстве, внутренняя геометрия поверхностей, внешняя геометрия гиперповерхностей. При этом теория кривых и поверхностей излагается в пространствах произвольной размерности.

В начале каждой главы приводятся необходимые теоретичес
кие сведения: определения основных математических понятий, утверждения и теоремы (без доказательства), а также формулы, применяющиеся при решении помещенных далее задач. Для более

детального ознакомления с теоретическим материалом рекомендуем обратиться к учебному пособию С. В. Сизого «Лекции по дифференциальной геометрии» [3]. Все используемые в практикуме обозначения соответствуют обозначениям, принятым в «Лекциях...».

За теоретическими сведениями следует типовая задача с под
робным ее решением, для наглядности сопровождающимся иллюстрациями, а за ней – 25 вариантов заданий, причем сложные
задания снабжены указаниями к их решению. Задания нумеруются в пределах главы. На задания, требующие численного ответа
или ответа в виде уравнения или формулы, в конце глав приводятся ответы. При подборе заданий авторы частично использовали
хорошо себя зарекомендовавший сборник задач [2]. Кроме задач
из этого сборника и авторских задач в комплект индивидуальных
заданий входят задачи из работ [1] и [3].

Поскольку рабочей программой курса «Основы дифферен
циальной геометрии и топологии» предусмотрены три домашние
контрольные работы, данный практикум может быть использован
преподавателями для их составления. Каждая контрольная рассчитана на 25 индивидуальных вариантов, по две задачи в каждом.
Формировать домашние контрольные работы рекомендуется следующим образом:

– контрольная работа № 1 составляется из задач главы 1 и главы 2;
– контрольная работа № 2 – из задач главы 3 и главы 4;
– контрольная работа № 3 – из задач главы 5 и главы 6.
При этом порядковый номер задачи из каждой главы должен

соответствовать порядковому номеру фамилии студента в «Журнале студентов».

Домашние контрольные работы целесообразно предлагать

студентам после прохождения ими на лекциях и на практических
занятиях тем курса, соответствующих теме контрольной работы.
За каждую контрольную работу студент получает баллы по балльнорейтинговой системе УрФУ согласно технологической карте курса.

Перед тем как приступить к домашней контрольной работе,

студентам следует ознакомиться с теоретическим материалом и разобраться с решением типовых задач, данных в практикуме по указанным в работе темам.

При выполнении домашней контрольной работы студенту не
обходимо руководствоваться изложенными ниже требованиями.

1. Контрольную работу следует выполнять на отдельных лис
тах, листы должны быть скреплены. В начале первого листа обязательно указываются фамилия и инициалы студента, номер группы, номер варианта и номер контрольной работы.

2. Перед решением задачи желательно привести ее условие.
3. Решение задачи нужно сопровождать формулами, ссылками

на соответствующие утверждения и теоремы, развернутыми расчетами и пояснениями к ним, для наглядности – иллюстрациями.

4. Если задача требует численного ответа или ответа в виде

формулы, в конце задачи записывается ответ. Ответ должен быть
сверен с ответом к соответствующему заданию в практикуме.

Задачи, помещенные в практикуме, дополняют и расширяют

перечень задач учебного пособия [3], используемого в качестве задачника на практических занятиях по дифференциальной геометрии для студентов Института естественных наук и математики.
Кроме того, эти задачи могут выдаваться студентам на практических занятиях в качестве домашних заданий с целью получения дополнительных баллов по балльно-рейтинговой системе УрФУ, а также включаться в комплект аудиторных контрольных работ. Теоретический материал может быть также использован при составлении
заданий для мини-контролей на лекциях.

* * *

Мы выражаем искреннюю признательность нашему коллеге

Сергею Викторовичу Сизому, профессору кафедры алгебры и фундаментальной информатики, за блестящие лекции и практические
занятия по дифференциальной геометрии, которые сделали наше
знакомство с этой непростой дисциплиной ярким и увлекательным.
Сергей Викторович также оказал ценную поддержку и помощь
во всех вопросах, возникавших у нас по методике преподавания
дифференциальной геометрии.

Благодарим научного редактора М. В. Волкова, рецензентов

С. В. Анахова и Л. Д. Сона, чьи предложения и советы несомненно
улучшили разработанное нами пособие.

Отдельное спасибо редактору Е. И. Маркиной за полезные за
мечания и доработку рукописи в ходе ее подготовки к печати.

Надеемся, что данный практикум будет способствовать более

глубокому изучению студентами дисциплины «Основы дифференциальной геометрии и топологии», поскольку именно самостоятельное решение задач и получение практических навыков ведут
к пониманию и скорейшему усвоению трудного теоретического
материала.

1. АФФИННЫЕ ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Пусть 

,
, 



V V
 – конечномерное евклидово аффинное про
странство, где V – множество «точек», 


V  – множество векторов,

«+» – операция откладывания вектора от точки. Отображение
A : V  V называется  а ф ф и н н ы м  о п е р а т о р о м,  если
существует такой линейный оператор A :






V
V , что для любой

точки  р V и вектора x
V





 выполняется равенствоо

 
 
A(
)
A
A
.
p
x
p
x





 

Обычно считают, что операторA



обратим. Пусть 

1
,
, ...,




n
O b
b
 –

некоторый репер аффинного пространства 

,
, 



V V
. Обозначим

через x
 
 


 столбец координат вектора x
V





в базисе е 


1,...,





n
b
b
b
,

через A







 – матрицу оператора A



 в этом базисе и через [p] – коор
динаты точки p в репере 

1
,
, ...,




n
O b
b
, т. е. координаты вектора





Op
p
O  в базисе b. Тогда для любой точки qV  выполняется

равенство 
 


 
0
A
A



 








q
q
q , где q0 = A (O).

Утверждение. Любой аффинный оператор плоскости перево
дит прямую в прямую, касательную в касательную, сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков.

Теорема об изометрии. Отображение А конечномерного евк
лидова аффинного пространства в себя является изометрией тогда
и только тогда, когда отображение А является аффинным оператором и соответствующий линейный оператор A



является ортого
нальным.