Основы высшей математики

Министерство образования и науки российской Федерации 

уральский Федеральный университет  
иМени первого президента россии б. н. ельцина

Ю. а. Меленцова

основы  
высшей МатеМатики

курс лекций

рекомендовано методическим советом урФу 
в качестве учебно-методического пособия для студентов, 
обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки  
41.03.05 «Международные отношения»

екатеринбург 
издательство уральского университета 
2017

удк 51(07)
 
М 473

р е ц е н з е н т ы:

кафедра прикладной математики и технической графики
уральской государственной архитектурно-художественной академии
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор с. с. титов);

о. о. коврижных, кандидат физико-математических наук,
старший научный сотрудник (институт математики и механики  
им. н. н. красовского уро ран)

Меленцова, Ю. А.
М 473  
основы высшей математики : курс лекций : [учеб.-метод. 
пособие] / Ю. а. Меленцова ; М-во образования и науки рос. 
Федерации, урал. федер. ун-т. — екатеринбург : изд-во урал. 
ун-та, 2017. — 88 с. 

ISBN 978-5-7996-2017-2

учебно-методическое пособие знакомит студентов с алгеброй матриц, элементами линейной алгебры, векторной алгебры, с геометрией на 
плоскости. рассмотрены такие важные понятия математического анализа, 
как функция, последовательность, предел, производная, неопределенный 
и определенный интеграл. показаны решения конкретных задач, представлены примеры, иллюстрирующие применение математики в жизни.
для студентов гуманитарных направлений.

удк 51(07)

© уральский федеральный университет, 2017
ISBN 978-5-7996-2017-2

ОглАвление

предисловие ................................................................................................... 4

лекция 1. алгебра матриц ............................................................................. 6

лекция 2. Элементы линейной алгебры .................................................... 15

лекция 3. Элементы векторной алгебры ................................................... 27

лекция 4. геометрия на плоскости ............................................................. 37

лекция 5. Математический анализ. Функции одной переменной. 
последовательности ................................................................... 50

лекция 6. Математический анализ. пределы функций.  
производная функции ................................................................ 61

лекция 7. Математический анализ. геометрический смысл  
производной. дифференциал. неопределенный  
интеграл ....................................................................................... 71

лекция 8. Математический анализ. определенный интеграл ................. 79

список библиографических ссылок ........................................................... 87

ПРеДиСлОвие

появление данного учебно-методического пособия связано 
с тем, что на изучение курса «основы высшей математики» программой, по которой обучаются студенты направления «Международные отношения», отводится всего 72 часа: 18 лекционных 
часов, 18 часов практических занятий и 36 для самостоятельной 
работы. за 8 лекций (больше за семестр прочитать не удается) 
можно дать только основные понятия и определения по наиболее важным и в то же время доступным разделам математики. 
цель методического пособия — помочь студентам овладеть этим 
материалом.
Методическое пособие в форме лекций знакомит студентов 
с алгеброй матриц, элементами линейной алгебры, векторной 
алгебры, с геометрией на плоскости, с такими важными понятиями математического анализа, как функция, последовательность, 
предел, производная, неопределенный и определенный интеграл.
несмотря на обилие литературы (см., например, [1–6]), студентам воспользоваться ей трудно в связи с недостатком времени, 
отпущенного на изучение предмета,  и большим объемом излагаемого в учебниках материала. пособие поможет студентам легко 
и быстро найти изучаемые понятия и определения.
в работе приводятся примеры, объясняющие появление 
и использование тех или иных математических  понятий. дается 
наглядное толкование математических результатов. Методическое пособие содержит много чертежей и рисунков, которые 
делают изложение более доступным и позволяют студенту понять 
сущность изучаемых математических объектов. решено много 
примеров. 
в первых четырех лекциях примеры нумеруются двумя 
числами, разделенными точкой. первое число — номер лекции, 

второе — порядковый номер примера в лекции. в последних лекциях примеры не нумеруются.
такое различие в оформлении связано с тем, что в первых 
четырех лекциях на изложение четырех разделов математики 
отводится слишком мало времени. достаточно знать рассмотренные в них понятия, определения и формулы, чтобы решить предлагаемые примеры, которые служат иллюстрацией этих определений и формул.
Четыре последние лекции посвящены знакомству с математическим анализом. при решении предложенных в них примеров 
нужно не только владеть новым понятием, свойствами изучаемого 
объекта, но и определенными методиками решения. приводимые 
в этих лекциях примеры предназначены для обучения этим методикам и группируются по темам.
большое количество разобранных примеров поможет студенту 
выработать навыки самостоятельного решения задач и успешно 
подготовиться к тестированию.
автор благодарен ольге олеговне коврижных за внимательное отношение и полезные замечания, которые позволили 
улучшить качество пособия, а также леониду сергеевичу волканину, способствовавшему налаживанию контактов с кафедрой 
прикладной математики и технической графики уральской государственной архитектурно-художественной академии, которая 
отрецензировала пособие, заведующему этой кафедрой доктору 
физико-математических наук, профессору сергею сергеевичу 
титову и сотрудникам, обсудившим работу на заседании кафедры.

лекция 1  
АлгеБРА МАТРиЦ

Основные определения

Определение. Матрица — это таблица, состоящая из n строк 
и k столбцов.
Матрицы обозначаются большими буквами латинского 
алфавита. Элементы матрицы обозначаются соответствующими малыми буквами с индексами. первый индекс указывает 
номер строки, второй номер столбца. например, a23 — элемент 
матрицы A, стоящий во второй строке и третьем столбце. все элементы матрицы заключаются в круглые скобки; n и k называются 
размерами матрицы.

11
1
11
12

21
22

1

...
...
...
...
...
... .
...
...
...
...

k

n k

n
nk

a
a
a
a
A
A
a
a
a
a

×









≡
=
≡













Пример 1.1. объем продаж.
владелец двух торговых точек, продающих крупы, решил 
выяснить, каков в них объем продаж риса, пшена и гречи. информацию об этом можно оформить в виде таблицы:

таким образом, получилась матрица

2 3
50
100
70
45
60
65
A ×



= 




и

11
22
13
23
12
50,
60,
70, 65
, 100
.
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=

Через  обозначают элемент матрицы A, стоящий в i-й строке 
и j-м столбце.
Определение. квадратная матрица — это матрица, у которой 
число строк равно числу столбцов.
Пример 1.2

2 2
3 3

50
100
70
50
100 ,
45
60
65 .
45
60
1
3
7

B
C
×
×







=
=








−
−



обычно при указании размерности квадратной матрицы 
пишут только один индекс, т. е.

2 2
2
3 3
3
,
.
B
B
C
C
×
×
=
=

Определение. Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые индексы 
11
22
33
,
,
,...,
,
nn
a
a
a
a
 называются диагональными 
элементами. они образуют главную диагональ матрицы. 
Определение. диагональной матрицей называется такая 
квад ратная матрица, у которой все недиагональные элементы 
равны нулю.
Пример 1.3

2
3

50
0
0
50
0
,
0
60
0
.
0
60
0
0
7

D
F







=
=








−



Определение. единичной матрицей называется такая диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 
единице.

Пример 1.4

2
3

1
0
0
1
0 ,
0
1
0 .
0
1
0
0
1
E
E







=
=











Определение. следом матрицы называется сумма всех диагональных элементов:

11
22
...
.
nn
S
a
a
a
=
+
+
+

Пример 1.5. след матриц B и D равен S = 50 + 60 = 110, след 
матриц C и F равен S = 50 + 60 − 7 = 103.

Определение. Матрица AT называется транспонированной 
к A, если каждая строка матрицы AT получается из соответствующего столбца матрицы A.

11
12
13
1

21
22
23
2

31
32
33
3

1
2
3

...
...
...
.
...
...
...
...
...
...

k

k

n k
k

n
n
n
nk

a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a

a
a
a
a

×









=










11
21
31
1

12
22
32
2

13
23
33
3

1
2
3

...
...
...
.
...
...
...
...
...
...

n

n
T
k n
n

k
k
k
nk

a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a

a
a
a
a

×









=










очевидно, что число строк матрицы AT равно числу столбцов матрицы A, число столбцов матрицы AT равно числу строк 
матрицы A. 

Пример 1.6. найти матрицу AT, если

3
5
2
1
4
2 .
6
3
7
A
−




= −
−




−



получим

3
1
6
5
4
3 .
2
2
7

T
A
−




= −
−




−



Определение. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбец:

1
... .

n

a
a
a





= 






Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строка:

(
)
1 ...
.
k
b
b
b
=

Операции над матрицами

рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. пусть

2 3
50
100
70 —
45
60
65
A ×



= 




объем продаж за первые две недели января,

2 3
40
90
70 —
45
80
55
B ×



= 




объем продаж за последние две недели января.