Избранные главы курса физики. Колебания и волны

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

Л. Г. Малышев 
А. А. Повзнер 

Избранные главы курса фИзИкИ.
колебанИя И волны

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей и направлений

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета
2017

УДК 537.86(075.8)
ББК 22.336я73
          М20
Рецензенты: 
проф., д-р физ.-мат. наук А. Д. Ивлиев РГППУ; 
доц., д-р физ.-мат. наук О. А. Чикова (УрГПУ)
Научный редактор — проф., д-р физ.-мат. наук А. В. Мелких

На обложке использовано изображение с сайта http://
presentmomentproductions.com/wp-content/uploads/vibration.jpg

 
Малышев, Л. Г.
М20    Избранные главы курса физики. Колебания и волны: 
учебное пособие / Л. Г. Малышев, А. А. Повзнер. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, — 2017. — 200 с.

ISBN 978-5-7996-1998-5

Учебное пособие «Избранные главы курса физики. Колебания и волны» предназначено для студентов УрФУ, обучающихся 
на физических и инженерно-физических направлениях подготовки, изучающих курс общей физики в соответствии с рабочей программой курса «Общая физика» и образовательными стандартами. 
Учебное пособие содержит изложение материала лекций, обсуждение основных физических законов и соотношений. Изложение материала сопровождается подробным анализом и решением большого числа задач и примеров. Использование студентами 
данного учебного пособия позволит улучшить уровень их подготовки по данному разделу курса «Физика».

Рис. 74.

УДК 537.86(075.8)
ББК 22.336я73

ISBN 978-5-7996-1998-5 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

Д
анное пособие посвящено изложению с единых позиций колебательных и волновых процессов и явлений, 
встречающихся в механике, акустике и электромагнетизме. Основная идея предлагаемой книги заключается в том, чтобы соединить в одном учебном пособии изложение принципов теории и практические методы решения задач, дополняющих 
основные законы и теоретические положения. При изложении теоретического материала авторы стремились к обсуждению основных законов, не детализируя вопросы, имеющие второстепенный характер, и излагая отдельные факты лишь в той 
мере, в какой они необходимы для понимания целого. Основной акцент в изложении делается на физическую природу рассматриваемых явлений.
Книга создана на основе лекций, читавшихся студентам Физико-технологического института Уральского федерального 
университета.

Авторы.

ГЛаВа 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

1.1. ОДНОМЕРНый ГаРМОНИЧЕСКИй ОСцИЛЛЯтОР
К
олебаниями называются процессы, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости. 
Свободными или собственными называют колебания, которые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Такая система называется осциллятором. Простейшим видом колебаний являются 
гармонические колебания, происходящие по закону синуса или 
косинуса.
Рассмотрим свободные одномерные 
колебания, происходящие, например, 
вдоль оси х. Свободные колебания 
происходят относительно положения 
равновесия, которому соответствует 
минимум потенциальной энергии системы (рис. 1.1). Для простоты будем 
считать, что значение потенциальной энергии системы в положении равновесия равно нулю. Разложим Wp в ряд Тейлора 
вблизи положения равновесия:

x
a

Wp 

Рис. 1.1

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

5

 

W
W
a
W
x
x
a
W
x
x
a

W
x

p
p
p
x a
p
x a

p
x

=
( )+
( )
(
)+
( )
(
) +

+
( )

ў
ўў

ўўў

=
=

=

1
2
1
3

2
!

!
a x
a
(
) +
3
 .

 
(1.1)

Первый член разложения равен нулю из-за нашего выбора 
нулевого уровня отсчета Wp. Второй также обращается в нуль — 
первая производная потенциальной энергии равна нулю в точке 
минимума. Будем считать колебания малыми (это важно!), и тогда можно ограничиться в разложении первым ненулевым членом — это третий член, и он содержит вторую производную Wp 
(она положительна в точке минимума). Все высшие члены разложения отбрасываем в силу их малости.
Введем обозначения: W
x
p
x a
ў ( )
=
>
(
)
=
k k
,
0 , x
a
= x — так будем обозначать смещение относительно положения равновесия (это греческая буква кси), и тогда разложение (1.1) принимает вполне удобный вид:

 
W p = kx2

2 .(1.2)

Воспользуемся связью между силой, действующей на тело 
(на осциллятор), и его потенциальной энергией

 
F
dW
d

x = = x
kx. 
(1.3)

Эта сила стремится вернуть тело в положение равновесия, 
она называется квазиупругой (как бы упругой) силой. Такое название возникло вот почему. Формула (1.3) действительно совпадает с выражением для силы упругости. Но сила упругости — вполне конкретная сила, обладающая своей физической 
природой (она относится к классу электромагнитных сил). Природа квазиупругой силы может быть любой, но она зависит 
от смещения точно так же, как и упругая сила.

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

Формула (1.3), кстати, дает возможность понять физический смысл параметра k — он характеризует упругие свойства 
системы.
Применим второй закон Ньютона для описания движения 
тела массой m под действием квазиупругой силы

 
m d
dt

2

2
x
kx
= .

В теории колебаний знак производной по времени обычно 
изображают в виде точки над соответствующей переменной 
(вторую производную — двумя точками и так далее). Перепишем последнее уравнение

 
mx
kx
= 
и преобразуем его

 
x
k x
+
=
m
0.

Коэффициент k / m — величина положительная, обозначим 
ее как квадрат некоторой величины w0:

 
w
k

0 =
m. 
(1.4)

Тогда исходное уравнение принимает вид

 
x
w x
+
=
0
2
0. 
(1.5)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение 
второго порядка, которое описывает малые колебания относительно положения равновесия. Его решение можно записать в виде

 
x
w
j
=
+
(
)
A
t
cos
.
0
0
 
(1.6)

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

7

Получили уравнение гармонических колебаний. Обсудим параметры, входящие в уравнение (1.6), и рассмотрим в качестве 
осциллятора частицу, совершающую гармонические колебания:
ξ — смещение частицы относительно положения равновесия в момент времени t;
А — амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение частицы относительно положения равновесия;
φ = w
j
0
0
t +
 — фаза колебания в момент времени t, она характеризует состояние системы;
φ0 — начальная фаза, то есть фаза в момент времени t = 0;
ω0 — циклическая частота колебаний, характеризующая быстроту изменения фазы.
Помимо рассмотренных используют еще два параметра:
Т — период колебаний, это время одного полного колебания;
υ — частота колебаний, равная числу колебаний в единицу времени.
Между ними существует простая связь

 
T
m
=
=
=
1
2
2

0
u
p
w
p
k .  
(1.7)

Подведем некоторые итоги. Во-первых, обратим внимание 
на то, что, формулируя условия задачи, мы совершенно не конкретизировали физическую природу осциллятора. По сути, 
единственным условием было то, что колебания — малые. Это 
позволяет сделать очень важный вывод: свободные колебания 
любой системы относительно положения равновесия являются гармоническими независимо от ее конкретной физической 
природы, если эти колебания –малые. Во-вторых, эти колебания происходят с собственной частотой (см. уравнение (1.5)), которая определяется упругими свойствами системы. В-третьих, 
амплитуда и начальная фаза колебаний определяется лишь начальными условиями. Проще говоря, они зависят только от того 
как и в какой момент времени мы качнули систему.

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

Каков критерий малости колебаний? Колебания можно считать малыми до тех пор, пока энергия осциллятора квадратично зависит от смещения относительно положения равновесия.
А что, если колебания не являются малыми в указанном 
выше смысле? Тогда в разложении (1.1) уже нельзя ограничиться только первым членом, отличным от нуля. Учтем следующий член, и по формуле (1.3) найдем выражение для силы:

 
F
dW

d
W
W

p

p
p
x
x
x
x
x
x
x
x
=
= ( )
( )
ўў
ўўў

=
=
0
0

2
1
2
.

Теперь уравнение (1.5) примет вид

 
x
w x
x
x
x
+
= ( )
ўўў
=
0
2
0
2
1
2W p
.

Это уравнение содержит ξ 2 и поэтому является нелинейным. Колебания, описываемые нелинейными уравнениями, 
являются ангармоническими и для них не выполняется принцип суперпозиции.

Задача 1. Частица массой m находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х по закону W
x
a
x
b
x
P ( ) =
/
/
2
, где а и b — положительные 
постоянные. Найти период малых колебаний частицы около 
положения равновесия.
Решение. Положению равновесия х0 соответствует минимум 
потенциальной энергии (рис. 1.2). Найдем его из условия 
dW
dx
p /
= 0:

 
+
=
=
2
0
2

3
2
0

a
x
b
x
x
a
b
,
.
Вычислим упругую постоянную

 
k =
( )
=
=
ўў
=
W
x
a
x

b
x

b
a
p
x
x0

6
2

8
0
4

0
3

4

3

1.1. Одномерный гармонический осциллятор

9

и определим период колебаний по формуле

 
T
m
a
b
ma
=
=
=
2
2
4
2

0

2
p
w
p
k
p
.

Wp 

r0 

r 

0

Рис. 1.2

Задача 2. Жидкость объемом V = 16 см 3 налита в изогнутую U-образную трубку (рис. 1.3) с площадью сечения канала 
S = 0,50 см 2. Пренебрегая вязкостью, найти период малых колебаний жидкости.

ξ

Рис. 1.3

Решение. Предположим, мы каким-то образом вывели систему из положения равновесия и уровень жидкости в левом 
колене опустился на величину ξ. Соответственно, справа он 

Глава 1. МЕХаНИЧЕСКИЕ КОЛЕБаНИЯ

поднимется на такую же величину и в правом колене появится 
избыточный столб жидкости, вес которого будет равен

 
F
gV
gS
=
=
r
r
x
2
.

Эта сила стремится вернуть жидкость в состояние равновесия, т. е. она играет роль квазиупругой силы, про которую говорилось выше. Сопоставляя это выражение с формулой (1.3), 
видим, что k
r
= 2 gS, и далее легко получаем ответ

 
T
m
V
gS
V
gS
=
=
=
=
2
2
2
2
0 8
p
k
p
r
r
p
,
.
c

Задача 3. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 1.4. Расстояние между 
осями блоков l = 20 см, коэффициент трения между стержнем 
и блоками μ = 0,18. Показать, что стержень будет совершать 
гармонические колебания. Найти их период.

mg 

N1 

N2 

Fтр1 
Fтр2 

l/2 -  
ξ
ξ

Рис. 1.4

Решение. На стержень действуют пять сил — сила тяжести mg, две силы реакции опоры N1 и N2 и две силы трения Fтр1