Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

И. Н. Огородников

ВВЕДЕНИЕ В ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ 
ФИЗИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ:

специальные главы высшей 
математики для технологов

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета 
в качестве учебного пособия для студентов вуза, 
обучающихся по направлениям подготовки 
140800.68 «Ядерные физика и технологии», 
201000.68 «Биотехнические системы и технологии» 
и специальности 140801.65 «Электроника и автоматика  
физических установок»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

УДК 517.9:53(075.8)
ББК 22.161.6я73+22.3я73
          О-39

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. В. Г. Панов и д-р физ.-мат. наук, 
проф. А. Н. Вараксин (лаборатория математического моделирования 
в экологии и медицине Института промышленной экологии Уральского отделения Российской академии наук); д-р физ.-мат. наук,  
гл. науч. сотр. лаборатории оптики металлов Института физики металлов Уральского отделения Российской академии наук В. И. Соколов

Научный редактор — проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Кислов

На обложке — изображение из личного архива автора

О-39
Огородников, И. Н.
Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов : учебное 
пособие / И. Н. Огородников. — Екатеринбург : Изд-во Урал. 
ун-та, 2017. — 199, [1] с.
ISBN 978-5-7996-1950-3

Учебное пособие «Введение в обратные задачи физической диагностики: 
специальные главы высшей математики для технологов» нацелено на формирование у студентов практических навыков разработки теоретических  
и математических моделей и методов расчета современных физических установок и устройств автоматики физических установок, приборов радиационной безопасности человека и окружающей среды, а также различных приборов биофизического и медицинского назначения.
Пособие предназначено для студентов технических специальностей физикотехнологического института всех уровней обучения и соответствует федеральному государственному образовательному стандарту третьего поколения.

Библиогр.: 50 назв. Табл. 5. Рис. 26.
УДК 517.9:53(075.8)
ББК 22.161.6я73+22.3я73

ISBN 978-5-7996-1950-3
© Уральский федеральный 
     университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1. Математический аппарат обратных задач взаимодействия физических
полей с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.
Вводные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1.
Прямые и обратные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2.
Некорректные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.3.
Обратные задачи естествознания и косвенные методы физической
диагностики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.4.
Проблема обработки и интерпретации наблюдений . . . . . . . . .
17
1.2.
Основные интегральные уравнения, возникающие при решении
физических задач
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.1.
Определение и классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.2.
Линейные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.3.
Нелинейные интегральные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2.4.
Задачи, приводящие к интегральным уравнениям . . . . . . . . . .
30
1.2.5.
Операторная форма интегрального уравнения . . . . . . . . . . . .
35
1.2.6.
Интегральное уравнение с ядром, имеющим слабую зависимость .
37
1.3.
Элементы теории линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.1.
Вводные понятия и определения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.2.
Примеры линейных пространств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.3.3.
Понятие гильбертова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.3.4.
Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4.
Элементы теории оптимизации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.1.
Двойственность в оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.4.2.
Численные алгоритмы минимизации функционалов
. . . . . . . .
61

2. Методы решения некорректных обратных задач для интегральных
и дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.1.
Понятия корректно и некорректно поставленных задач . . . . . . . . . . .
69
2.2.
Понятие резольвенты и точные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.1.
Формулы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2.2.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.3.
Разложение в ряд по собственным функциям ядра . . . . . . . . . . . . . .
84
2.3.1.
Собственные функции и характеристические значения . . . . . . .
84
2.3.2.
Собственные функции симметричного ядра . . . . . . . . . . . . .
86
2.3.3.
Разложение ядра по собственным функциям . . . . . . . . . . . . .
90
2.3.4.
Решение интегрального уравнения через характеристические
значения и собственные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.4.
Интегральные уравнения 1-го рода
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4.1.
Уравнение Вольтерра 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4.2.
Уравнение Фредгольма 1-го рода
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.4.3.
Операторные уравнения 1-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5.
Регуляризирующий алгоритм и априорная информация . . . . . . . . . . . 101

3

2.6.
Метод регуляризации на компактных множествах . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.1.
Понятие компактных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6.2.
Некорректные задачи на компактах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6.3.
Основные свойства метода регуляризации на компактных
множествах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.6.4.
Конечно-разностные аналоги компактных множеств в L2 . . . . . . 114
2.6.5.
Применение классических алгоритмов минимизации в рамках
метода регуляризации на компактных множествах
. . . . . . . . . 118
2.7.
Метод регуляризации А. Н. Тихонова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.7.1.
Постановка задачи. Сглаживающий функционал
. . . . . . . . . . 124
2.7.2.
Выбор параметра регуляризации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.8.
Метод обобщенной невязки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.9.
Метод итеративной регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.9.1.
Основные сведения из теории вариационных неравенств . . . . . . 133
2.9.2.
Аппроксимация Браудера – Тихонова решений вариационных
неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.9.3.
Принцип итеративной регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.10. Элементы теории двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.10.1. Двойственная вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.10.2. Классический алгоритм Удзавы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.11. Элементы теории обратных задач для дифференциальных уравнений . . . 147

3. Интегральные уравнения в задачах взаимодействия полей излучений
с веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.
Обратные задачи физической диагностики, приводящие к уравнениям
типа Вольтерра и Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1.
Определение производной по экспериментальным данным
. . . . 149
3.1.2.
Уравнение теплопроводности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.1.3.
Уравнение переноса излучения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.4.
Просвечивание, рефрактометрия и радиометрия атмосферы . . . . 167
3.2.
Обратные задачи, приводящие к уравнениям типа Фредгольма . . . . . . . 175
3.2.1.
Численные методы решения обратной задачи рассеяния . . . . . . 175

4. Обратные задачи восстановления сигналов, задачи компьютерной
томографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.
Восстановление сигнала на входе интегрирующих измерительных
приборов по сигналу, регистрируемому на выходе . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2.
Задачи компьютерной томографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.
Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Список библиографических ссылок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Предметно-именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебное пособие основано на семестровом курсе лекций с условным названием «Специальные главы высшей математики (Введение в обратные задачи физической диагностики)», который читается
в Уральском федеральном университете для студентов старших курсов
физико-технологического института, специализирующихся в электронике и автоматике физических установок, защите от излучений, радиационной экологии, биомедицинской инженерии, а также в конструировании
приборов для применения в области радиационной безопасности человека и окружающей среды. Учебное пособие может быть полезно и для
студентов других родственных специальностей.
Прежде всего отметим, что название курса «специальные главы» в
данном случае подразумевает «избранные главы». Круг вопросов, подготовленных для включения в данный курс, касается методов решения
обратных задач естествознания в области предметной деятельности выпускников физико-технологического института – это радиационная физика и ряд смежных с ней вопросов, включая инструментальные методы экспериментальной физики, экологии и биомедицинской инженерии.
Подчеркнем также четыре важных принципа, положенные в основу построения данного учебного курса.
Во-первых, по рассматриваемым вопросам существует огромное количество публикаций, которые написаны профессиональными математиками и рассчитаны прежде всего на математическую аудиторию. Основная цель данного учебного пособия – на основании этих публикаций
попытаться изложить различные вопросы, касающиеся методов решения обратных некорректных задач естествознания, для студентов физикотехнологического направления, которые хотя и имеют достаточно высокий уровень физико-математической подготовки, но специализируются в
различных технологических областях и не имеют специальной математической подготовки, необходимой для чтения этой литературы.
Во-вторых, знание элементарных математических вопросов, касающихся методов решения обратных некорректных задач естествознания,
необходимо для их успешного использования в обширной области предметной деятельности выпускников физико-технологического института,
которая простирается от технологических аспектов ядерной физики, радиационной экологии и биотехнических систем до инструментальных
методов экспериментальной физики, электроники и автоматики. Для того чтобы подготовить читателя к восприятию вопросов, которые могут

5

Предисловие

выходить за рамки обычного уровня математической подготовки технического вуза, учебный курс содержит вспомогательный раздел, где излагаются элементарно необходимые специальные математические вопросы.
Отсюда название учебного курса – «Специальные главы высшей математики». Следует особо подчеркнуть, что изложение этих избранных математических вопросов не может претендовать на полноту и математическую строгость, т. к. дано фрагментарно и в очень ограниченном объеме –
только то, что действительно необходимо для последующего изложения
методов решения обратных некорректных задач естествознания. Кроме
того, это изложение дано в несколько редуцированной форме в расчете
на аудиторию, не специализирующуюся профессионально в области математики. Так, например, теоремы в этом изложении приведены лишь в
качестве справочного материала – их количество минимизировано, а вместо доказательства в каждом случае дается ссылка на первоисточник (с
указанием конкретных страниц первоисточника), где содержится полное
и всестороннее математическое исследование обсуждаемого вопроса. Заинтересованный читатель без труда найдет указанные первоисточники.
В-третьих, как явствует из названия, при рассмотрении практических
приложений рассматриваемых методов в конкретных предметных областях данный учебный курс ограничивается рассмотрением только математической стороны каждого вопроса. Иными словами, при рассмотрении частных вопросов практического применения обсуждаемых методов
в каждой конкретной предметной области (например, компьютерная томография) не затрагиваются ни техническая, ни технологическая стороны этих вопросов, оставляя эту проблематику для специализированных
учебных курсов.
В-четвертых, по рассматриваемым проблемам существует значительное количество учебной и научной литературы. В частности, авторами
некоторых основополагающих монографий являются известные академики: Андрей Николаевич Тихонов
[1–5], Александр Андреевич Самарский [6], Михаил Михайлович Лаврентьев [7], Андрей Николаевич Колмогоров [8]. Список библиографических ссылок, приведенный в конце пособия, не может претендовать на полноту, т. к. охватывает лишь небольшое количество публикаций, которые были реально использованы при
подготовке учебного курса.
Рассмотрим по главам содержание учебного пособия и перечислим
основные публикации, использованные при подготовке отдельных глав.
В первой главе приведены дополнительные сведения, необходимые
для дальнейшего обсуждения теории и методов решения обратных некорректных задач. Сведения по каждому вопросу приведены фрагментарно
и в минимальном объеме, только то, что действительно будет необходимо
для обсуждения в последующих главах:

6

Предисловие

об истории методов решения «некорректных задач» [9];

обратные задачи естествознания и косвенные методы физической
диагностики [10];

проблема обработки и интерпретации научных наблюдений [11];

понятие нормального решения [4, 12];

интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода,
уравнения Абеля [13];

элементы теории линейных пространств [14];

элементы теории оптимизации и двойственности [15, 16];

численные алгоритмы минимизации функционалов [17].
Во второй главе обсуждаются методы решения интегральных уравнений [13, 18, 19], понятие регуляризирующего алгоритма и априорной
информации [4, 20, 21], а также численные методы решения некорректных обратных задач:

метод регуляризации на компактных множествах [2];

метод регуляризации А.Н. Тихонова, согласование ошибки задания
исходных данных и параметра регуляризации [2, 6];

метод и принцип обобщенной невязки [2];

 метод и принцип итеративной регуляризации, формулировка нелинейных задач физической диагностики в терминах вариационных неравенств, аппроксимация Браудера–Тихонова [22, 23];

элементы двойственного метода регуляризации, итеративная регуляризация классического алгоритма Удзавы [24, 25];

элементы теории обратных задач для дифференциальных уравнений, простейшая обратная задача для уравнения теплопроводности и методы ее регуляризации [26].
В третьей главе рассмотрены примеры обратных задач физической
диагностики, приводящих к интегральным уравнениям типа Вольтерра,
Абеля и Фредгольма:

определение производной по экспериментальным данным [17];

обратные задачи для уравнений переноса излучения [27] и теплопроводности [28];

обратные задачи просвечивания, рефрактометрии и радиометрии,
возникающие при исследовании атмосферы [29–34];

обратная задача рассеяния на примере электродинамики и квантовой механики [35].
В четвертой главе кратко обсуждаются задачи восстановления сигнала на входе интегрирующих измерительных приборов по сигналу, регистрируемому на выходе
[7], а также трансмиссионная и эмиссионная
задачи компьютерной томографии [27].

7

Предисловие

Следует отметить, что теория и методы решения некорректных обратных задач естествознания представляют собой весьма обширную, динамично развивающуюся область знаний. Помимо упомянутых выше публикаций значительное влияние на формирование программы учебного
курса, его подготовку и подбор материалов для учебного пособия сыграли работы А.С. Леонова [36], М.И. Сумина [25] и А.Г. Яголы [37]. Однако в наше пособие включен лишь ограниченный круг вопросов, выбор и
глубина освещения которых продиктованы, в первую очередь, требованиями федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлениям «Ядерные физика и
технологии», «Биомедицинская инженерия» и «Биотехнические системы
и технологии».
Многие современные направления развития теории решения обратных некорректных задач остались вне рамок учебного пособия. Так, например, в данном пособии не обсуждаются детали такого исключительно
важного направления развития, как теория двойственной регуляризации,
даются только самые общие представления об этой теории. Однако заинтересованный и подготовленный читатель без труда найдет соответствующие материалы, например, в [25].
Другой круг вопросов, также оставшийся за рамками учебного пособия, касается практической реализации методов решения некорректных обратных задач физической диагностики. Обсуждение инструментальных средств, вспомогательных и демонстрационных компьютерных
программ потребовало привлечения значительного объема сугубо технической информации, лежащей вне основного русла данного учебного
пособия. Поэтому все вопросы, касающиеся практической реализации
методов, вынесены в отдельное учебное пособие, которое полностью согласовано с излагаемым здесь теоретическим материалом.

8

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
С ВЕЩЕСТВОМ

1.1. Вводные понятия

Основной целью учебного курса является изложение избранных вопросов, касающихся методов решения обратных задач естествознания.
Обратные задачи играют важную роль в процессе познания окружающей действительности. Это обусловлено несколькими причинами. Назовем лишь три основные причины.
Во-первых, объекты, изучаемые естественными науками, могут не
быть доступны для прямого изучения инструментальными средствами.
Поэтому такие объекты можно исследовать только на основе косвенных
проявлений каких-либо свойств. Особо это касается исследования прикладных задач, для которых типична ситуация, когда объект, подлежащий изучению, является недоступным или труднодоступным для прямого наблюдения и измерения его свойств. В качестве примера перечислим
некоторые из таких областей естествознания. В геофизике сюда относятся поиск полезных ископаемых и изучение глубинных свойств Земли
и Мирового океана. В астрофизике таковыми являются все наблюдаемые
космические объекты и явления. Все объекты микромира недоступны для
непосредственного изучения, в качестве примера упомянем только задачу
определения структуры кристаллов в кристаллографии. В области техники и технологий можно назвать проблемы неразрушающего контроля
качества изделий и конструкций, а также выявления дефектов внутри работающих механизмов и физических установок. В медико-биологической
области упомянем медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека.
Во-вторых, проведение самого эксперимента может быть невозможным, потому что он может быть запрещен законодательно либо быть
слишком опасен, либо исследуемый объект является уникальным и существует только в единственном экземпляре.
В-третьих, проведение эксперимента может быть связано с неприемлемо большими финансовыми затратами. Существуют и другие причины,
которые могут препятствовать прямому наблюдению и изучению объекта
исследования.

9

1. Математический аппарат теории обратных задач

Во всех этих случаях можно только собирать и накапливать некоторые
косвенные данные об исследуемом объекте. Стоит особо отметить, что в
этих случаях собранная информация определяется не только природой
исследуемого объекта, но и тем, какие инструментальные средства были
для этого использованы.
В естественных и прикладных науках основные законы природы выражают обычно на языке дифференциальных уравнений. Решаемая задача при этом сводится либо к задаче определения коэффициентов дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных),
либо к определению правой части или начальных условий по некоторым
известным функционалам их решения. Следует особо подчеркнуть, что
в отличие от прямых задач для дифференциальных уравнений, когда задано уравнение и требуется найти его решение, в данном случае имеем
дело с обратными задачами для дифференциальных уравнений. Термин
«обратная задача» следует понимать как задачу с обратными причинноследственными отношениями, т. е. задачу восстановления неизвестных
причин по известным следствиям. Неизвестные «причины» при этом конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части или начальных условий. В качестве известных «следствий» принято использовать некоторые функционалы от решения дифференциальных уравнений.
Несмотря на разнообразие обсуждаемых выше задач, все они могут
быть сведены к математическим задачам типа

ˆAz = u,
(1.1)

где z – модель объекта, u – результаты косвенных наблюдений, ˆA – оператор связи между z и u. В случае прямой задачи известно z, надо найти
неизвестное u. В случае обратной задачи все наоборот – по известному u
надо найти неизвестное z.
Еще в глубокой древности была осознана роль обратных задач в познании мира. Так, Аристокл (Платон) предложил мысленный эксперимент – миф о пещере. Суть которого заключается в следующем: люди,
помещенные в пещеру и прикованные там, видят только тени неких предметов, которые проносят мимо входа, или тени людей, проходящих вблизи пещеры. В аллегорической форме ставится вопрос, насколько адекватны будут представления узников пещеры об окружающем их мире? В
метафорической форме этот миф отражает ситуацию, которая весьма типична для естествознания и возникает при обработке экспериментальных
данных. Несовершенство приборов и органов чувств, а также инструментальные погрешности измерений ставят исследователей, в некотором
смысле, в положение узников мифической пещеры.

10