Теория вероятностей
Покупка
Издательство:
Издательство Уральского университета
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 136
Дополнительно
Вид издания:
Справочная литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7996-1946-6
Артикул: 800351.01.99
Доступ онлайн
400 ₽
В корзину
Справочник предназначен для студентов гуманитарных специальностей, изучающих курс высшей математики, и всех студентов, изучающих курс теории вероятностей. Пособие содержит три раздела и приложения. Первый раздел — «Случайные события», шорой раздел — «Случайные величины», третий раздел — «Иллюстрирующие примеры». В этих разделах рассматриваются справочный теоретический материал и примеры решения задач. В приложениях приведены алгоритм решения задач на нахождение вероятностей случайных событий, таблицы нормального распределения и формулы комбинаторики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.02: Прикладная математика и информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина М. А. Плескунов Л. В. Корчёмкина ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Справочник-практикум Екатеринбург Издательство Уральского университета 2017
УДК 519.21(076.5)
ББК22.171я7-5
Рецензенты:
кафедра высшей и прикладной математики Уральского государственного университета путей сообщения, зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева
д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИММ УрО РАН Ю. И. Бердышев
Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин
Плескунов, М.А.
Теория вероятностей : справочник / М.А. Плескунов, Л.В. Корчёмкина. — Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2017. - 136 с.
ISBN 978-5-7996-1946-6
Справочник предназначен для студентов гуманитарных специальностей, изучающих курс высшей математики, и всех студентов, изучающих курс теории вероятностей. Пособие содержит три раздела и приложения. Первый раздел — «Случайные события», второй раздел — «Случайные величины», третий раздел — «Иллюстрирующие примеры». В этих разделах рассматриваются справочный теоретический материал и примеры решения задач. В приложениях приведены алгоритм решения задач на нахождение вероятностей случайных событий, таблицы нормального распределения и формулы комбинаторики.
Библиогр.: 5 назв., рис. 18.
УДК 519.21(076.5)
ББК22.171Я7-5
ISBN 978-5-7996-1946-6
© Уральский федеральный университет, 2017
Раздел 1. Случайные события
1. Определения основных терминов
Название Определение
Теория вероятностей Раздел математики, который занимается изучением закономерностей появления
массовых случайных явлений (событий)
Реализация совокупности определенных условий, порождающая некоторый ре-
Опыт (испытание) зультат (событие). Предполагается, что опыт (испытание) можно повторять неод нократно, не изменяя условий его реализации
Событие (исход Результат проведения опыта (испытания). Результат реализации необходимой со-
опыта, испытания) вокупности условий
Случайное событие Событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания
(опыта), т. е. в результате реализации определенной совокупности условий
Массовые события События, которые при воспроизведении определенных условий могут появлять-
ся неоднократно
Результат, который всегда возникает при проведении данного испытания (опыта);
Достоверное событие событие, являющееся суммой всех событий, составляющих полную группу собы-
(для данного опыта) тий данного опыта; пространство элементарных исходов данного опыта, рассма-
триваемое как событие
з
Раздел 1. Случайные события
Название Определение
Невозможное событие Результат, который никогда не возникает и не может возникнуть при проведении
(для данного опыта) данного опыта (испытания)
Элементарное событие Событие, которое в данном опыте рассматривается как неразложимое на более
простые события, составляющие его
Событие, представляющее совокупность нескольких более простых событий, по-
Сложное событие явление каждого из которых или их совместное появление в результате проведе-
ния опыта влечет за собой появление и данного события
Группа событий, появление одного из которых исключает появление всех осталь-
Несовместные ных событий этой группы в данном испытании. Совместное появление любых со-
события бытий этой группы --- событие невозможное, или, по-другому, произведение лю-
бых двух событий этой группы есть невозможное событие
Совместные события События, которые могут появиться вместе как результат одного и того же испыта-
ния (опыта)
Группа событий, каждое из которых не более возможно, чем любое другое собы-
Равновозможные тие этой группы. Как правило, заключение о равновозможности событий делают
события исходя из соображений симметрии рассматриваемых явлений. Другими словами,
это события, вероятности появления которых одинаковы (равны)
Полная группа Такая группа событий, что в результате испытания (т. е. каждого проведения дансобытий (для данного ного опыта) обязательно появится хотя бы одно из событий этой группы. Сумма
опыта) всех событий полной группы является достоверным событием
Полная группа несо- Такая группа событий, что в результате каждого данного опыта обязательно поя-
вместных событий вится одно и только одно из событий этой группы
(для данного опыта)
4
1. Определения основных терминов
Название Определение
Исходы опыта, благо-
приятствующие появ- Исходы опыта (т. е. события), при появлении которых обязательно появляется
лению некоторого со- и данное событие
бытия
Действия с событиями
Название Формула Определение
Событие, состоящее в том, что в результате опыта произой-
Сумма двух событий А + В дет хотя бы одно из этих двух событий, т. е. или событие А,
или событие В, или оба эти события вместе
Сумма нескольких Событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет
событий А2+А2 +... +А„ хотя бы одно (по крайней мере одно) из слагаемых событий
Произведение двух АВ Событие, заключающееся в том, что в результате испытания
событий произойдут и событие А и событие В
Произведение Событие, заключающееся в том, что в результате испытания
нескольких событий Л1Л2... А„ произойдут все события-сомножители (вместе)
Противоположное А Событие, состоящее в том, что в результате опыта событие Л
событие не произойдет
5
Раздел 1. Случайные события
2. Определения вероятности
Назва- Определение Формула Замечание
ние
Отношение всех элементарных
о несовместных равновозмож- п --- число всех элементарных несовместных
4 ных исходов опыта, благопри- и равновозможных исходов опыта, составля-
э ятствующих появлению собы- Р(Л) = - ющих полную группу,
1) тия Л, ко всем элементарным п т --- число всех элементарных несовместных
г несовместным и равновозмож- и равновозможных исходов, благоприятству-
3 ным исходам опыта, составля- ющих появлению события А
2 ющим полную группу, называ-
ется вероятностью события Л
Говорят, что в область D наугад брошена точка:
О 1) если брошенная точка попадает обязательно
3 Пусть событие А --- попада- в одну из точек области D (достоверное событие);
э ние точки, наугад брошенной 2) если брошенная точка попадает в точку об-
D в область D, в ее подобласть d. Р(А) = ^-, ласти D с одинаковой возможностью для всех
S Тогда вероятность события А mes D точек области D (равновозможность всех ис-
О определяется как отношение dcD ходов);
D меры подобласти d к мере об- 3) если попадание точки в область d, где dcD,
н ласти D r.e.d --- подобласть области D, не зависит
от расположения этой области внутри обла-
f- сти Л
6
2. Определения вероятности
Назва- Определение Формула Замечание
ние
3 Вероятностью Р(А) события А
э называется то постоянное Р(А) = \imW (А) = W(А) --- относительная частота события Л:
J число, около которого стаби- П* ->00 W(A) = ---,
5 лизируется и группируется, г ГП п
S приближаясь к нему, относи- -шп- где гп --- число появлений события А, п -- ч тельная частота этого события п число проведенных испытаний; определяется
1 ) при неограниченном увеличе- после проведения испытаний
С нии числа испытаний
Аксиомы вероятности
а Вероятностью называется чис- 1. Вероятность Р(А) любого события неотри-
■ч ловая функция Р, определен- Р: А->Р(А), цательна.
Й ная на поле событий S и удов- Ае&, 2. Вероятность достоверного события равна
Э летворяющая трем аксиомам P(A)eR единице.
s{ вероятности 3. Вероятность суммы несовместных событий
§ равна сумме их вероятностей
7
Раздел 1. Случайные события
3. Условная вероятность
Название Определение
Вероятность одного события при условии, что некоторое другое событие произошло. Обо-
значим через Р(А | В) вероятность события А при условии, что событие В произошло.
Вероятностью события Л при условии, что событие В произошло, называется отношение вероятУсловная ности совместного появления этих событий к безусловной вероятности появления события В:
вероят- Р(А\В) = ^±, Р(В)*0.
ность Вероятность события В при условии, что событие А произошло:
рсв|л>^^,р(Л)^о
Р(Л)
4. Независимые события
Название Определение
События А и В называются независимыми, если вероятность их совместного
Независимость двух появления (произведения) равна произведению безусловных вероятностей этих
событий событий:
Р(АВ) = Р(А)Р(В)
Критерий независимо- События Л и В являются независимыми тогда и только тогда, когда
сти двух событий Р(Л | В) = Р(А) и Р(В | Л) = Р(В)
8
5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Название Определение
События Д, А^,Д называются независимыми в совокупности, или просто
независимыми, если: __
Независимость а) все они попарно независимы, т.е. Д, Д --- независимы Vz,j = l,n, i*j, и значит
нескольких событий Р(Д|Д)=Р(Д);
(или независимость б) каждое из этих событий независимо от любого произведения любых оставших-
в совокупности) ся событий: __ ____
Д, Д4 Д2... Д* - независимы при z * jf, 1 = 1,k, k = 2,n-1. Это значит, что
P(Al\AflAJ2...Afi,)=P(Al).
5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема Формула Замечания
Теорема сложения вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) Д В --- произвольные события
для двух событий
Теорема сложения вероятностей Р(А + В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Д В, С --- произвольные события
для трех событий -Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС)
9
Раздел 1. Случайные события
Теорема Формула Замечания
Л4+4+-+4.)=1Л4)-
Теорема сложения вероятностей -2Л44)+ Z Л444)-- 4,4> --->4 --- произвольные
для п событий i<j i<j<k события
...+(-1)л+1Л44-4)
Теорема сложения вероятностей Р(А+В) = Р(А) + Р(В) А, В --- несовместные события
для двух несовместных событий
Теорема сложения вероятностей Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) А, В, С --- несовместные события
для трех несовместных событий
Теорема сложения вероятностей Л4+4+ - +4)=£л4) 4, А1, ...,АП --- несовместные
для п несовместных событий /=1 события
Теорема умножения вероятностей Р(ХВ) = Р(Л)Р(5|Л) А, В --- произвольные, в частно-
для двух событий или сти, зависимые события
Р(АВ) = Р(В)Р(А\В)
Теорема умножения вероятностей А, В, С --- произвольные, в частдля трех событий Р(АВС) = Р(А)Р(В | А)Р(С | АВ) ности, зависимые события
Теорема умножения вероятностей Р(44.„4)=Л4)Л414)х 4,4 > • • • > 4i--- произвольные,
для п событий хР(д | Д4) ...p(4,|4^ в частности, зависимые события
Теорема умножения вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В) А, В --- независимые события
для двух независимых событий
10
Доступ онлайн
400 ₽
В корзину