Гипергеометрические функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина







А. С. Дунаев
В. И. Шлычков





ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ



Учебное пособие









Екатеринбург
Издательство Уральского университета 2017

УДК 517.4 (075.8)
Д 83

Рецензенты:

Р. М. Алеев, доктор технических наук, профессор АО Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения»
    Р. Д. Мухамедяров, доктор технических наук, профессор КГТУ им. А. Н. Туполева




      Дунаев, А. С.
      Гипергеометрические функции : [учеб. пособие] / А. С. Дунаев, В. И. Шлычков. -Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. - 880 с.

      ISBN 978-5-7996-1936-7

      Книга является наиболее полным справочным руководством по гипергеометрическим функциям. Она содержит основные свойства гипергеометрических функций, их производные, пределы, интегральные представления, формулы преобразования и частные значения. В неё включены результаты, изложенные в аналогичных изданиях, а также в научной литературе.
      Книга представляет большой интерес для широкого круга специалистов в различных областях науки и техники, в том числе для математиков, механиков, инженеров и преподавателей, а также для студентов высших учебных заведений. Значительная часть результатов получена авторами впервые.




УДК 517.4 (075.8)











ISBN 978-5-7996-1936-7

© Дунаев А. С., Шлычков В. И., 2017
© Уральский федеральный университет, 2017



2

ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ ............................................................................... 7

ГЛАВА 1. ОБОБЩЁННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ......................................... 8
  1.1. Общие соотношения....................................................................... 8
  1.2. Формулы дифференцирования.............................................................. 11
  1.3. Интегральные представления ............................................................ 11
  1.4. Формулы вырождения..................................................................... 12
  1.5. Дифференцирование по параметру......................................................... 12
  1.6. Неопределённые и определённые интегралы ............................................... 13
ГЛАВА 2. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА................................................... 16
    2.1. Определение ......................................................................... 16
    2.2. Функциональные соотношения .......................................................... 16
    2.3. Интегральные представления .......................................................... 19
    2.4. Гипергеометрическая функция Гаусса при частных значениях аргумента................... 21
    2.5. Представления гипергеометрической функции Гаусса..................................... 30
    2.6. Частные значения гипергеометрической функции Гаусса.................................. 45
    2.7. Неопределённые и определённые интегралы от гипергеометрической функции Гаусса . 175
       2.7.1. Неопределённые интегралы....................................................... 175
       2.7.2. Определённые интегралы......................................................... 177
ГЛАВА 3. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............................................ 192
    3.1. Функция Куммера......................................................................192
       3.1.1. Определение.....................................................................192
       3.1.2. Функциональные соотношения .................................................... 192
       3.1.3. Интегральные представления .................................................... 197
       3.1.4. Представления вырожденной гипергеометрической функции Куммера.................. 197
       3.1.5. Частные значения вырожденной гипергеометрической функции Куммера ...............200
       3.1.6. Неопределённые и определённые интегралы от функции Куммера......................213
            3.1.6.1. Неопределённые интегралы ................................................213
            3.1.6.2. Определённые интегралы...................................................213
    3.2. Функция Трикоми......................................................................215
       3.2.1. Определение.....................................................................215
       3.2.2. Функциональные соотношения .....................................................216
       3.2.3. Интегральные представления .....................................................219
       3.2.4. Представления вырожденной гипергеометрической функции Трикоми...................219
       3.2.5. Частные значения вырожденной гипергеометрической функции Трикоми................221
       3.2.6. Неопределённые и определённые интегралы от функции Трикоми......................226
            3.2.6.1. Неопределённые интегралы ................................................226
            3.2.6.2. Определённые интегралы...................................................227
    3.3. Функции Уиттекера ...................................................................228
       3.3.1. Определение.....................................................................228
       3.3.2. Функциональные соотношения .....................................................228
       3.3.3. Интегральные представления .....................................................232
       3.3.4. Частные случаи функций Уиттекера................................................232
       3.3.5. Неопределённые и определённые интегралы от функций Уиттекера ...................233
            3.3.5.1. Неопределённые интегралы ................................................233
            3.3.5.2. Определённые интегралы...................................................234
    3.4. Функция Бейтмена ....................................................................248
       3.4.1. Определение.....................................................................248
       3.4.2. Функциональные соотношения .....................................................248
       3.4.3. Интегральные представления .....................................................250
       3.4.5. Определённые интегралы от функции Бейтмена......................................250
ГЛАВА 4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 3F2 (a1,a2,a3; b1,b2; z) ..........................253
    4.1. Определение .........................................................................253
    4.2. Гипергеометрическая функция 3F2 (a1,a2,a3; b1,b2; z) при частных значениях аргумента.253

    4.3. Представления гипергеометрической функции ₃F₂(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂;z)................273

Оглавление

    4.4. Частные значения гипергеометрической функции 3F 2 («1,a2,a3; bl,b2; z) ........278
    4.5. Интегралы от гипергеометрической функции ₃F₂ (a₁,a₂,a₃; b₁,b₂; z)...............399

ГЛАВА 5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₀F₁(b; z)...........................................402
    5.1. Определение ................................................................... 402
    5.2. Функциональные соотношения .................................................... 402
    5.3. Частные значения гипергеометрической функции ₀F₁(b; z)......................... 403
    5.4. Интегралы от гипергеометрической функции ₀F₁(b; z)............................. 408

ГЛАВА 6. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₁F₂(a;b₁,b₂;z)......................................410
    6.1. Определение ................................................................... 410
    6.2. Функциональные соотношения .................................................... 410
    6.3. Представления гипергеометрической функции ₁F₂(a;b₁,b₂;z)....................... 411
    6.4. Частные значения гипергеометрической функции ₁F₂(a;b₁,b₂;z).................... 418
    6.5. Интегралы от гипергеометрической функции ₁F₂(a;b₁,b₂;z).........................504
ГЛАВА 7. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₂F₃(a₁,a₂;b₁,b₂,b₃;z)...............................507
    7.1. Определение ................................................................... 507
    7.2. Функциональные соотношения .................................................... 507
    7.3. Интегральные представления .................................................... 507
    7.4. Представления гипергеометрической функции ₂F₃ (a₁,a₂; b₁,b₂,b₃; z)............. 509
    7.5. Частные значения гипергеометрической функции ₂F₃ (a₁,a₂; b₁,b₂,b₃; z).......... 512
    7.6. Интегралы от гипергеометрической функции ₂F₃(a₁,a₂;b₁,b₂,b₃;z)................. 603
ГЛАВА 8. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₂F₂ (a₁,a₂; b₁,b₂; z).............................. 606
    8.1. Определение ................................................................... 606
    8.2. Функциональные соотношения .................................................... 606
    8.3. Интегральные представления .................................................... 606
    8.4. Представления гипергеометрической функции ₂F₂(a₁,a₂;b₁,b₂;z)................... 607
    8.5. Частные значения гипергеометрической функции ₂F₂(a₁,a₂;b₁,b₂;z)................ 608
    8.6. Интегралы от гипергеометрической функции ₂F₂ (a₁,a₂; b₁,b₂; z)................. 632
ГЛАВА 9. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₀F₂ ( b₁,b₂; z).................................... 635
    9.1. Определение ................................................................... 635
    9.2. Функциональные соотношения .................................................... 635
    9.3. Интегральные представления .................................................... 635
    9.4. Частные значения гипергеометрической функции ₀F₂(b₁,b₂;z)...................... 636
    9.5. Интегралы от гипергеометрической функции ₀F₂ ( b₁,b₂; z)....................... 637
ГЛАВА 10. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₀F₃ ( b₁,b₂,b₃; z)................................ 639
    10.1. Определение .................................................................. 639
    10.2. Функциональные соотношения ................................................... 639
    10.3. Интегральные представления ................................................... 640
    10.4. Представления гипергеометрической функции ₀F₃(b₁,b₂,b₃;z)..................... 640
    10.5. Частные значения гипергеометрической функции ₀F₃(b₁,b₂,b₃;z).................. 641
    10.6. Интегралы от гипергеометрической функции 0F3 ( b1,b2,b3; z)................... 647
ГЛАВА 11. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВИДА ₚF₀(a₁,a₂,...,aₚ; z )........................ 651
    11.1. Определения .................................................................. 651
    11.2. Функциональные соотношения ................................................... 651
    11.3. Интегральные представления ................................................... 652
    11.4. Представления гипергеометрических функций ₚF₀(a₁,a₂,...,aₚ; z)................ 653
    11.5. Частные значения гипергеометрической функции ₂F₀(a,b;z)....................... 654

4

Оглавление

    11.6.  Частные значения гипергеометрической функции 3F0 (a₁,a2, a3; z)...............................655
    11.7.  Интегралы от гипергеометрических функций ₚF0 (a1,a2,..., aₚ; z)...............................656
ГЛАВА 12. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 4F3 (a₁,a2,a3,a4; b₁,b2,b3; z).....................................660
    12.1.  Определение .................................................................................. 660
    12.2.  Гипергеометрическая функция 4F3 (a₁,a2,a3,a4; b₁,b2,b3; z) при частных значениях аргумента ........................................................................................... 660
    12.3.  Представления гипергеометрической функции ₄F₃(a₁,a₂,a₃,a₄;b₁,b₂,b₃;z).........................672
    12.4.  Частные значения гипергеометрической функции ₄F₃(a₁,a₂,a₃,a₄;b₁,b₂,b₃;z)......................674
    12.5.  Интегралы от гипергеометрической функции ₄F₃(a₁,a₂,a₃,a₄;b₁,b₂,b₃;z).......................... 718
ГЛАВА 13. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₃F₄(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂,b₃,b₄;z)........................................720
    13.1.  Определение .................................................................................. 720
    13.2.  Интегральные представления ................................................................... 720
    13.3.  Представления гипергеометрической функции ₃F₄(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂,b₃,b₄;z)......................... 721
    13.4.  Частные значения гипергеометрической функции ₃F₄(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂,b₃,b₄;z)...................... 723
    13.5.  Интегралы от гипергеометрической функции ₃F₄(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂,b₃,b₄;z)......................... 819
ГЛАВА 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 3F3 (a,,a2,a3;b1,b2,b3;z) и ₐFₐ (aₗ,...,a;b.,...,b;z) 822 33                                                            12   3123            qq 1q1q
    14.1.  Определение ................................................................................. 822
    14.2.  Представления гипергеометрических функций 3F3 (a₁,a2,a3;b₁,b2,b3;z) и qFq (a₁,...,aq;b₁,...,bq;z) ..822
    14.3.  Частные значения гипергеометрической функции ₃F₃(a₁,a₂,a₃;b₁,b₂,b₃;z)........................ 824
    14.4.  Интегралы от гипергеометрических функций 3F3 (a₁,a2,a3;b₁,b2,b3;z) и qFq (a₁,...,aq;b₁,...,bq;z) 827

ГЛАВА 15. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ₅F₄(a₁,a₂,a₃,a₄,a₅; b₁,b₂,b₃,b₄;z)........................829
    15.1. Определение .......................................................................... 829
    15.2. Гипергеометрическая функция 5F₄ (a₁,a2, a3,a4, a5; b₁,b2,b3,b4; z) при частных значениях аргумента .................................................................................. 829
    15.3. Представления гипергеометрической функции ₅F₄ (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅; b₁,b₂,b₃,b₄;z)......... 835
    15.4. Частные значения гипергеометрической функции ₅F₄ (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅; b₁,b₂,b₃,b₄; z)..... 837
    15.5. Интегралы от гипергеометрической функции ₅F₄ (a₁,a₂,a₃,a₄,a₅; b₁,b₂,b₃,b₄; z)......... 841

                                                       I a., a,, a,, a,; z | | a₁,...,a; z |
ГЛАВА 16. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ .Fl ¹ 2 3 ⁴ I И ₐF, ¹ q I.................................843
                                                   4 ⁵ ^b„b2,b3,b4,b J q q⁺¹ ^b„...,bq₊1 J
    16.1. Определение ......................................................................... 843
| a₁,a2,a3,a4;z |    | a₁,...,aq;z |
    16.2. Представления гипергеометрических функций ₄F l          I и F j l             I ......843
                                                   4 ⁵1b1,b2,b3,b4,b5J q q¹ ^b„...,bq+1 J
    16.3. Частные значения гипергеометрической функции ₄F₅ (a₁,a₂,a₃,a₄;b₁,b₂,b₃,b₄,b₅;z)...... 846
| a₁,a2,a3,a4;z |    | a₁,...,aq;z |
    16.4. Интегралы от гипергеометрических функций ₄F l           I и F J               I.......851
                                                  4 ⁵1b1,b2,b3,b4,b5J q q⁺¹1 b„...,bq+1 J

ГЛАВА 17. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВИДА qFq_₁ (a„...,aq;bj,...,bq_j;z)..............................................854
     17.1.  Определение ............................................................................................... 854
     17.2.  Гипергеометрические функции вида qFq_₁ (a},...,aq;bj,...,bq_г;z) при частных значениях аргумента ....................................................................................................... 854
     17.3.  Представления гипергеометрических функций вида qFq_₁(a₁,...,aq;b₁,...,bq_₁;z).............................. 859
     17.4.  Частные значения гипергеометрических функций вида qFq_₁(a₁,...,aq;b₁,...,bq_₁;z)........................... 864

5

Оглавление

    17.5. Интегралы от гипергеометрических функций вида qFq_1 (a1,..., aq;b1,...,bq_1;z ).865

ГЛАВА 18. РАЗНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ........................................... 866
    18.1. Представления 1 Fq (a;bl,...,bq;z) .............................................866
    18.2. Представления 4F1 (a1,a2,a3,a4;b;z).............................................866
    18.3. Представления ₃F₈(a₁,a₂,a₃;b₁,...,b₈;z).........................................868
    18.4. Представления ₂F₅ (a₁, a₂; b₁,b₂,b₃,b₄, b₅;z)................................... 868
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ И СИМВОЛОВ............................ 869
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ............................................................... 876

6

ВВЕДЕНИЕ


        Решение многих задач, относящихся к различным областям науки и техники, приводит к необходимости использования численного анализа. При этом возрастает роль специальных функций. Объясняется это тем, что в прикладной математике насчитывается огромное количество задач, решаемых с помощью специальных функций, а наличие персональных компьютеров облегчает работу с этими функциями. Желание иметь более эффективные алгоритмы для решения задач математической физики приводит к появлению новых классов алгоритмов, в которых значительная роль отводится работе со специальными функциями [1].
        Особое место среди специальных функций занимают гипергеометрические функции. Это объясняется тем, что многочисленные специальные функции, возникающие в прикладной математике, являются частными случаями гипергеометрических функций.
        В предлагаемой вниманию читателя книге излагаются основные свойства, представления и частные значения гипергеометрических функций одной переменной. Ввиду важности для приложений наибольшее внимание уделяется случаям p = q +1 и p = q обобщённой гипергеометрической функции ₚFq (a1,a2, ...,aₚ;b 1,b2,...,bq;zj, причём значительное место отводится таблицам выражений этой функции через различные элементарные и специальные функции при соответствующих соотношениях между параметрами a₁,a₂,...,aₚ и b₁,b₂,...,bq с произвольны аргументом z . Такие выражения в случаях, когда не все параметры фиксированы, следуя работе [2], будем называть представлениями; если же все параметры гипергеометрической функции ₚFq (a1,a2, ...,aₚ;b 1,b2,...,bq;zj принимают числовые значения, то эти выражения будем называть частными значениями. Отметим, что формулы представлений гипергеометрической функции ₚFq (a1,a2, ...,aₚ;b 1,b2,...,bq;-zj могут быть получены из соответствующих формул для ₚFq (a1,a2, ..., aₚ;b 1,b2,...,bq;zj путём замены z на -z. Однако в ряде случаев представляется целесообразным приводить выражения также и для функции ₚFq (a1,a2, ...,aₚ;b 1,b2,...,bq;-zj.
        Вместе с тем в книге наиболее полно раскрыты свойства гипергеометрических функций, представлены их производные, даны интегральные представления. Изложение ведётся, начиная с обобщённого гипергеометрического ряда, затем рассмотрена гипергеометрическая функция Гаусса, приведены её свойства и частные значения для конкретных значений её аргумента, а также наиболее полная таблица представлений гипергеометрической функции Гаусса и её частных значений.
        В следующем разделе рассмотрены вырожденные гипергеометрические функции: функция Куммера и функция Трикоми, приведены их свойства и числовые значения для конкретных значений их параметров, а также наиболее полная таблица представлений и их частных значений. Определенное место уделено функциям Уиттекера, являющимся частным случаем функций Куммера и Трикоми.
        Значительный раздел занимает функция Бейтмена, являющаяся частным случаем функции Трикоми, в котором раскрыты её свойства, приведены частные значения для ряда значений её параметров.

        Большие разделы занимают гипергеометрические функции вида:            3F2 (a1,a2,a3;b 1,b2;zj,

1F2 (a1;b 1,b2;zj , 2F3  (a1,a2;b 1,b2,b3;zj , 2F2 (a1,a2;b 1,b2;zj , оF2 (b 1,b2;zj, оF3  (b 1,b2,b3;zj, 2Fo (a1,a2;zj ,

3Fo (a1,a2,a3;zj,

₄F₃(a₁,...,a₄;b₁,...,b₃;zj,

₃F₄(a₁,...,a₃;b₁,...,b₄;zj,

3F3 (a1,...,a3;b1,...,b3;zj,

₅F₄(a₁,...,a₅; b₁,...,b₄; zj, ₄F₅ (a₁,...,a₄;b₁,...,b₅;zj, qFq₊₁(a₁,...,aq;b₁,...,bq₊₁;zj и q Fq₋₁ (a₁,..., aq; b₁,...,bq₋₁; zj. В них приведены свойства этих функций и их частные значения для конкретных значений аргумента. По сравнению с [2] значительно дополнены таблицы представлений и частных значений.
         Используемые обозначения, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в указателе в конце книги. Формулы нумеруются с левой стороны. На материалы, заимствованные из литературных источников, делаются соответствующие ссылки. В формулах, заимствованных из литературных источников и помеченных звездочкой, устранены замеченные опечатки. Список основных литературных источников приведён в конце книги. Мы надеемся, что настоящее учебное пособие будет полезно научным работникам, инженерам и другим специалистам, использующим в своей работе математические методы.
         При обработке такого большого количества формул, которое содержится в данной книге, возможны опечатки и ошибки. Всем читателям, приславшим свои замечания и пожелания, авторы будут очень признательны и заранее выражают им свою благодарность.

ГЛАВА 1

ОБОБЩЁННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


1.1. Общие соотношения
      Обобщенный гипергеометрический ряд pFq (a1,a2,...,ap;b 1,b2,...,bq;z) определяется соотношением

[1, 2]

(a. a      a •
  a₁,a₂,...,aₚ;
  h   h     A
  b₁, b₂,..., bq;

     f a1,a2,...,ap; z j_ -p q [b 1,b2,...,bq   J    k=0

p
П( ah) .z‘ h=1

q, П( bh) kk! h=1

z ч Г(a + k)
⁽a' k  Kal

                            bq ^ 0, —1, —2,...


          Величины a₁,a₂,...,aₚ           и b₁,b₂,...,bq называются параметрами числителя и знаменателя

соответственно, а z называется переменной. Функция ₚ Fq симметрична относительно параметров числителя, а также симметрична относительно параметров знаменателя [1]. Если некий параметр числителя совпадает с параметром знаменателя, то эти параметры могут быть опущены, и вместо функции q Fₚ мы получаем функцию ₚ—₁ Fq—₁ . Ряд функции ₚ Fq обрывается, и, стало быть, она является многочленом, если какой-нибудь параметр числителя есть отрицательное целое число либо нуль, в то время как ни один из параметров знаменателя не является ни отрицательным целым числом, ни нулём.

        Ряд функции pFq (a1,a2,..., ap;b 1,b2,..., bq;z) сходится [1, 2] для всех конечных z , если p < q . Ряд функции pFq (a1, a 2, ..., ap; b 1, b 2,..., bq; z) сходится для |z |< 1, если p = q +1. Ряд функции pFq (a1, a 2,..., ap; b 1, b 2,..., bq; z) расходится для всех z,z ^ 0, если p > q +1.
        Ряд функции pFq (a1, a 2,..., ap; b 1, b 2,..., bq; z) абсолютно сходится [1] для всех |z |= 1, если Req <0, условно сходится для | z | = 1, z ^ 1, если 0 < Req < 1, расходится для | z | = 1, если 1 < Req, где pq
q S ahS bh. h=1      h=1

       Если m - положительное целое число, то [1]

        f—m,a₁,a₂,...,aₚ;z F
p⁺¹ q⁺¹ ^ c, b 1, b 2,..., bq

⁽—¹⁾mzm ⁽a1 ⁾ₘ ⁽a2 ⁾ₘ-(ap )ₘ ⁽ c ⁾ m ⁽ b1 ⁾ m ⁽ b 2 ⁾ m - ⁽ bq ⁾ m

    F q+2 p

—m,1—m—c,1—m—b₁

(—1) p⁺q ⁺1 >
..., 1—m — bq ;-—-------------
^1 — m — a1,1 — m — a2, ..., 1 — m — ap

где ни c , ни какой-нибудь из параметров bₕ не являются ни отрицательным целым числом, ни нулём.

        Если ни одно из чисел bₕ не является ни отрицательным целым числом, ни нулём, если ни одно из чисел aₕ не является ни отрицательным целым числом и если c - отрицательное целое число, либо нуль, c=—n, то гипергеометрическая функция:
ₚ₊₁Fq₊₁(—m,a₁,a₂, ..., aₚ;—n,b₁,b₂, ..., bq;z) не определена, если n< m.
—m,a₁,a₂, ..., aₚ;z
—n,b₁,b₂, ..., bq

= ₚFq(a₁,a₂, ..., aₚ;b₁,b₂, ..., bq;z), если n= m.

F p+1 q+1

1.1. Общие соотношения

         I -m,a1,a₂, ..., ap;z ,.F
p q     ^-П, b i,b2,..., bq

⁽n ⁻ m)!zm ⁽a1⁾m-.(ap ⁾m n !⁽bi ⁾ m ...⁽ bq ⁾ m

    F q+2¹ p

- m, n +1 - m ,1 - m - b 1,

(₋₁) p⁺q⁺¹ ^

i- m - a1, ..., 1 - m - ap

1 - m - b

+

         (n-m)!m!(-1)m⁺n zⁿ⁺¹     ⁽a1⁾n₊₁ ⁽a2⁾n₊₁ •••(ap) г      Гn ⁺¹ ⁻m,n ⁺¹ ⁻a1,n ⁺¹ ⁻a2 , ..., n ⁺¹ ⁻a p;z
       +                                              /n⁺¹ F
n!⁽n ⁺¹⁾!          (b1)n+1 (b2)n+1...(bq )„₊! p q In ⁺ 2,n ⁺¹ ⁻b1,n ⁺¹ ⁻b2,..., n ⁺¹ ⁻bt
                                      ZZ     ZZ

  если n > m.

         Часто возникает необходимость рассмотреть усеченный гипергеометрический ряд. В соответствии с этим [1]

  f ⁽a1⁾ к ⁽ a 2⁾ к •••( aP ) / _⁽a1⁾ m ⁽a 2⁾ m •••( ap ) ₘz F f- m ,1 - m - b 1,1 - m - b ₂,...,1 - m - bq; ⁽ 1⁾ p⁺q
  “ (b,) (b₂) (b ) к!        m!(b1) (b₂) ...(bq) q ⁺ ² p                                               z
      ⁽ ¹⁾ к ⁽ ²⁾ к •••⁽ q ⁾ к ' ¹  ¹⁷mV ² Л" '  q'm      ^1 - m - a1, 1 - m - a ₂,..., 1 - m - aₚ            J
  где ни одно из чисел bₕ не есть ни отрицательное целое число, ни нуль.
           Справедливы соотношения специального типа:

1.

F p q

a 1, ..., ap; z
o, 1 -o, b1, ..., bq_2

p q

2.

F p q

;z

-o,1 + o,b1,..., b,

q -2

3.

F p q

1,..

;z

¹ ⁺ o, b1,..., bq-1 J

4.

F p q

²o, 1 - o, a

b1, ..., bq; z

² a 1,..., ap; z

<

-o, 1 + o, b1,...,b

- 2 F
p q

p q

>-2



А

q⁻² J

’P-1;z

J-o,1 + o,b1,..., bₜ

2-o,a 1, ..., ap-1;z

|J-o, b1,..., bq-1 J

У
_ 2

2 -o,1 + o,a 1, ..., a

p q

ᵥ b1,...,bq; z

_ 2 F
p q

' a 1

ap;z

Л

J⁻o, ¹ ⁺ o, b1, ..., bq-2 ,

Л

(



q-2 J

Fq -1

; ; z ^ p⁻¹; z

|J-o, b1,..., bq-2 J

F p+1 q+1

2-o, o, a

⁽p-1; z '

J-o,1 + o, b1, ...,bq-1 ^

■ „> p²

_ 2 F
p q

2-o, o, a

- „A p²

J

^b1, ..., bq ;z

J

[2]



[2]



[2]



[2]

        В приложениях часто возникает необходимость разбить гипергеометрический ряд на чётную и нечётную части, каждая из которых также будет гипергеометрическим рядом. Таким образом,

5.      pFq  (a1,a2,...,  ap;  b 1,b2,..., bq; z)   _ A(z)+     ,1 ,² p zB(z) ,
b 1b 2... bq

[1, 2]

_     2 \       2    2 a, a
Где A (z)_ 2pF2q + 1 I p-p

aₚ 1 + a1 1 + a ₂ _ , _ , _ 2     2     2

¹ ⁺ ap 1  b1  b ₂    bq 1 + b1  1 + b ₂
       ;„.,„.,„.,' ..., „.,,».,       ,
2    2 2 2          2    2      2

jLiLjl -4 p⁺q⁺¹ z² j

( 1 + a. 1 + a, B⁽z⁾_ 2pF2q+1 I -y¹.-^

'Fap- ,1+01,1 + Op , 2        2     2

ap 3 1 + b. 1 + b 1+—;-,—L,—
  222   2

2

1 + b„    b       b
—q- ,1+^1,1+b²
2         2       2

1 + bAL;4p ⁺ q⁺¹ z² j .
2 J

Очевидно, что
2 A (z)_ pFq (a1, a 2, ..., ap; b 1, b 2, ..., bq; z)+ pFq (a1, a 2, ..., ap; b 1, b 2, ..., bq; - z )
2 a1 a ₂... aₚ     ,                             ,       ,                             A
, , , zB(z)_ pFq(a1,a2,...,    ap;b 1,b2,..., bq;z) ⁻pFq(a1,a2,..., ap;b 1,b2, -,bq;⁻z)
b 1b 2 ... bq

    Для понижения порядка гипергеометрической функции справедливы соотношения:

6.


7.

             Г a1, a 2,..., ap ,1; z A (b1 -1)( b 2 -1)...(bq -1) J 2 a1 -1, a 2 -1, ..., ap -1; z A
     p⁺¹ Fq⁺¹ [b 1,b2,..., bq,2 j_ z(a1 -1)(a₂ -1)...(ap-1) [pFq [b 1 -1,b2 -1, ..., bq -1 j⁻¹_>
     pFq (o⁺1,a 1,..., ap-1;o,b1,..., bq-1;z)_ p-1 Fq-1 (a 1,..., ap-1;b1,..., bq-1;z)⁺ z p⁻¹                                          q⁻¹ 1
                                          ⁺~Пa Пт p-1 Fq-1 (a 1⁺ 1,..., ap-1⁺ 1;b1⁺ 1,..., bq-1⁺ 1;z) o i_1     к_1

[1, 2]


[2]

9

Глава 1. Обобщённая гипергеометрическая функция

8.

F p q

'р,ст, a 1, ..., ap_₂,z
VP+¹ ст ⁺¹ b1, ..., bq2

1
ст-р

ст

F p-1 Fq-1

р, a 1,..., ap-2; z ¹               ⁽ст, a 1,...,
      . , ,      ,     ⁻P p-1 Fq-1        . , ,
( р +1, b1,..., b -1J      p         \CT +1, b1,

ap-2; Z ¹

.., b

q ⁻² J

[р^ст]

9.

F p q

лр,ст,a 1,..., ap-2;z
₍р + n,ст +1,b1, ..., bq-2

(р)n F            p,a 1,..., ap-2;z I
(р-ст) p⁻¹ q⁻¹         ст +1, b₁,..., b ₁
\р     Пп           V , ¹ ,         , q⁻¹J

(р) n ст f (р-ст- ¹) k F p, a 1,..., ap-2; z (р⁻ст) nk^1 (р) k p⁻¹ q⁻¹ , р' k, b1,..., bq-:

[р*ст].

[2]

[2]

       Функции ₚFq (a₁, a₂,..., aₚ; b ₁,b₂,..., bq; z), верхние параметры которых отличаются на целые числа от нижних, связаны рекуррентными соотношениями типа

10.

р, ст +1, a 1, ..., ap-21
, а                 1⁻р pFq
п     п • *7        \ г ¹

р+1,ст,a 1, ..., ap-2 b1, ..., bq; z

= ⁽ст⁻р⁾ pFq

р, ст, a 1, ..., ap₋2 b1, ..., bq ;z

[2]

11.

F p q

(р,a 1,..., ap-1;z' чст, b1,..., bq-1 j

р pFq

p’⁺¹“ ¹...ap⁻¹; z}
|a + 1,b1.bq-1   J

= ⁽ст⁻р⁾ pFq

р’a ¹....“p⁻¹;z J
|O + 1, b1..bq -1J

12.

      (a 1, ..., ap;z
F               p
p q (р ⁺ ¹ ст, b1’..., bq-2

р pFq

( a ₁, ..., a„;z       I                 (a ₁, ..., a„;z
            p            = (ст-р) ᵥFq p
(р, ст +1, b1,..., bq-2 J           pq (р +1, ст +1, b1,

A

b
..’ bq-2 J

13.

р, ст, a ₁, ..., a2
Т(р⁻ст) pFq       .      .        ⁻р(Т⁻ст) pFq
(T, b1’...’ bq-1; z J

(р ⁺¹’ °'a 1....ap-2 I
(t + 1, b1..bq-1; z J

⁺ ст(т⁻р) pFq

(р, ст +1, a 1, ..., ap-2 'i
J ⁺ ¹ b1’...’ bq-1; z j

14.

    р, a ₁, ..., ap ;z
’⁽’-р⁾ pFq(a.г +1,b1 b,-2]-’<’-р) pFq

'р,° ".^“p⁻¹; z ' (ст⁺ ¹T, b1, ...’ bq-2 J

⁺ р(ст⁻т) pFq

(р +1, a 1,..., “p-1;z
₍ст ⁺¹,T ⁺¹,b1, ..., bq-2

15.

q
П bi
i=1

F (ст, a 1, ...’ ap-1 I
p q (b1,..., bq; z J

F
p q

ст +1, a 1, ..., aₚ-1 b1, ..., bq;z

    p⁻¹
⁺ z П “bpFq
    i=1

ст +1,a ₁ +1, ..., aₚ_₁ +1
b₁ +1, ..., bq +1;z

[2]


[2]


[2]





[2]






[2]

16.

17.

18.

q⁻¹

ст⁽ст ⁺ ¹⁾П b pFq
i = 1

q⁻¹ ст(ст⁺¹)П bi i = 1

q
П b.
i =1

a 1, ..., aₚ;z
ст, b1,..., bq-1 J

F p q

(р,a 1,..., ap-1;z I

(р, ст +1,a 1,..., “p-2

F
p q

a 1, ..., aₚ; z
ст +1, b₁, ..., b₍

q⁻¹ J_

p

(a ₁ +1, ..., aₚ +1; z

+ zПai ₙFₐ
   i=1 p q (ст + 2, b1 +1, ..., b

q⁻¹

I
+1
J

= (

[2]

F
p q

(р⁺¹,a ¹ ap⁻¹;z' J
(a + 1, b1 bq-1 J

         p⁻¹
⁺ z ⁽ст⁻р⁾П “ipFq
         i = 1

(р +1, ст, a 1, ..., “p-2
₍b1,..., bq;z

p-2
⁺ z ⁽ст⁻р⁾П “ pFq
i = 1

+

[2]

(р +1, a 1 +1,..., “p-1 +1; zi чст + 2,b1 +1,..., bq-1 +1 ^

(р+1, ст +1,a ₁ +1, ₍b1 ⁺¹,..., bq ⁺¹; z

[2]

10