Численные методы

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента Российской Федерации Б. Н. Ельцина

А. В. Зенков

Численные 
методы

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ 
для студентов, обучающихся 
по направлениям подготовки 
010300.62, 09.03.03, 38.03.05, 09.04.03, 38.04.05

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2016

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
          З-56

Рецензенты:
Урал. гос. экон. ун-т (завкафедрой канд. физ-мат. наук Мельников Ю. Б.);
канд. экон. наук проф. Кочкина Е. М. (Урал. гос. экон. ун-т)

Научный редактор — д-р пед. наук, проф. Плещев В. В.

 
Зенков, А. В.
З-56    Численные методы : учеб. пособие / А. В. Зенков. — Екатеринбург : Издво Урал. ун-та, 2016. — 124 с.

ISBN 978-5-7996-1781-3

Пособие соответствует лекционному курсу численных методов, читаемому 
автором для студентов IT-специальностей. Каждая глава заканчивается индивидуальными заданиями для практических занятий (после I главы) и лабораторных 
работ, которые предполагаются к выполнению в пакете MathCad. Предназначено 
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки: 010300.62 — Фундаментальная информатика и информационные технологии; 09.03.03, 09.04.03 — Прикладная информатика (бакалавр, магистр); 38.03.05, 38.04.05 — Бизнес-информатика (бакалавр, магистр).

Библиогр.: 12 назв. Табл. 4. Рис. 20. Прил. 2.
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73

ISBN 978-5-7996-1781-3 
© Уральский федеральный 
 
     университет, 2016

Оформлением обложки автор отдает дань уважения Карлу Фридриху Гауссу 
(1777–1855), «королю математиков», оставившему фундаментальные труды и в численных методах (метод наименьших квадратов, формула Гаусса, родственная формуле Ньютона-Котеса, метод Гаусса для решения систем линейных уравнений 
и мн. др.).
На обложке – памятник на могиле Гаусса в Гёттингене (Германия).
Фото предоставлено автором.

Предисловие

У

чебное пособие соответствует 1-семестровому (15 недель) 
лекционному курсу численных методов для студентов  
IT-специальностей и содержит материал, который реально 
освоить за 2 часа лекций и 2 часа лабораторных работ в неделю, отводимых учебным планом на данный предмет. Каждая глава заканчивается индивидуальными заданиями для практических занятий (после I главы) и лабораторных работ, которые предлагается выполнять 
в пакете численных и символьных расчетов MathCad. Предварительное знание его не предполагается; образец выполнения в MathCad 
лабораторной работы по интерполированию функций, приведенный 
в приложениях, позволит быстро овладеть базовыми навыками расчетов в этом интуитивно понятном пакете.
Учебная литература по численным методам необозримо велика. 
В конце книги приведен только список источников, повлиявших на содержание данной работы.
Автор просит присылать сообщения о найденных недостатках 
по адресу zenkow@mail.ru.

Введение

Ч

и с л е н н ы е  м е т о д ы  (вычислительные методы, методы 
вычислений) — раздел вычислительной математики, изучающий приближенные способы решения типовых 
математических задач, которые либо не решаются, либо трудно решаются точными аналитическими методами (вычислительная математика в узком смысле). Примерами типовых задач являются численное 
решение уравнений, численные дифференцирование и интегрирование и др. Кроме численных методов, к вычислительной математике относят круг вопросов, связанных с использованием компьютеров 
и с программированием.
Деление методов вычислений на аналитические и численные 
несколько условно.

Пример 1. При аналитическом решении квадратного уравне
ния ax
bx
c
2
0
+
+
=
 по известной формуле x
b
b
ac
a
1 2
2
4
2
, = - ±
(
) (
) 
в ответ входит корень 
 . Если он не извлекается точно (подкоренное выражение не является точным квадратом некоторого числа), 
то для получения численного значения корней потребуется числен ная процедура приближенного вычисления корня.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными

 
d
d
y
x
y
ax
x
=
sin
.

Оно легко «решается» аналитически

 
y x
C
at
t
t

x
( ) =
м
нп

оп

ь
эп

юп
т
exp
sin
,
d

0

но интеграл «неберущийся», и вычислять его придется численно.

Введение

Итак, даже в тех случаях, когда можно далеко продвинуться в аналитическом решении задачи, не исключено применение на каком-либо этапе численных методов для получения ответа в практически 
удобном виде.
Часто аналитические методы называют точными, а численные — 
приближенными. Приведенные примеры показывают, что и аналитические методы могут приводить к приближенному результату. Кроме 
того, аналитические методы часто бывают приближенными по существу, оставаясь аналитическими, например, когда функция заменяется первыми слагаемыми ее ряда Тейлора.

Глава 1.Погрешности

Классификацияпогрешностей
П

оскольку численные методы предназначены для отыскания 
приближенного решения задач, не решаемых точными 
методами, такому решению всегда свойственна некоторая 
погрешность. Рассмотрим здесь источники погрешности.
1) Погрешность модели. Природа слишком сложна и многообразна, 
чтобы пытаться изучать ее во всей полноте присущих ей в том числе 
и малозначимых взаимосвязей. Любая (естественная) наука изучает 
не природу непосредственно, а те модели, которые создаются самой этой наукой для описания природных явлений. Модель — это 
идеализированное описание явления, в котором выявлены основные 
и игнорируются второстепенные свойства явления. Хорошая модель — 
это верный шарж, меткая карикатура на изучаемое явление. Естественно, что моделирование, сопровождаемое огрублением и упрощением, 
вносит погрешность в результат описания явления. Математическая 
модель создается на языке математики, но оценка погрешности математической модели есть прерогатива не математики, а той науки, 
в рамках которой изучается явление.
2) Погрешность исходных данных. Как правило, математическая модель содержит некоторые параметры, зависящие от исходных данных. 
Поскольку последние определяются обычно из экспериментов, неизбежно сопровождаемых ошибками измерений, возникает погрешность 
исходных данных.
Погрешности в решении, обусловленные моделированием и исходными данными, называются неустранимыми. Они не зависят 
от математики и присутствуют, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно.

Абсолютнаяиотносительнаяпогрешности

3) Погрешность метода. После того как математическая модель 
создана, вычисления в рамках модели обычно можно выполнять поразному. Сложная математическая задача заменяется более простой. 
Например, вычисление определенного интеграла заменяется вычислением интегральной суммы. При этом неизбежно возникает погрешность метода вычислений, которой в дальнейшем мы будем уделять 
большое внимание при рассмотрении конкретных численных методов.
4) Погрешность округления. Любые расчеты, выполняемые как вручную, так и с помощью вычислительной техники, производятся с конечным числом цифр, поэтому приходится прибегать к округлению 
промежуточных и окончательного ответа. Так возникает погрешность округления, которая может накапливаться в ходе вычислений (опасный процесс, способный обесценить результат вычислений!). 
Даже те результаты, которые получены точными аналитическими методами, испытывают влияние погрешности округлений и в действительности могут оказаться приближенными.
Полная погрешность является результатом взаимодействия разных видов погрешностей и не может быть меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей.

Абсолютнаяиотносительнаяпогрешности

Для оценки погрешности вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности.
Пусть х — точное значение некоторой величины (нам оно неизвестно и никогда не будет известно, поскольку определяется с помощью 
измерений, страдающих неточностями); а — приближенное значение 
той же величины (а ≈ х). Абсолютная погрешность приближенного числа а определяется как Da
x
a
=
. Но поскольку х неизвестно, 
то и абсолютную погрешность мы узнать не можем! Чтобы разрешить 
парадокс, вводят п р е д е л ь н у ю  а б с о л ю т н у ю  п о г р е ш н о с т ь 
Da
*  — такое значение, которое абсолютная погрешность заведомо 

не превзойдет при данном способе измерений

 
x
a
a
Ј D*. 
(1)

Глава1.Погрешности

Из выражения (1) следует, что a
x
a
a
a
Ј
Ј
+
D
D
*
*, поэтому желательно возможно меньшее значение Da
*  — это уменьшит длину интервала, 
содержащего искомое значение х и, следовательно, понизит неопределенность в наших знаниях об этой величине.
В технике формулу (1) часто записывают в виде x
a
a
=
± D* ,  причем 

Da
*  называется допусками. Никакое изделие не может быть изготовлено с абсолютно точным соблюдением номинальных размеров, допуски показывают возможные (допустимые) отклонения от номинала.
Итак, абсолютная погрешность оценивает точность измерений, 
но эта оценка неполна, поскольку не учитывает характерный размер 
изучаемого явления (объекта). Так, например, абсолютная погрешность в 1 см при измерении длины комнаты — вероятно, вполне приемлемая точность, но при измерении роста человека эта же погрешность будет сочтена непозволительно грубой.
Более информативным показателем качества измерений является 
относительная погрешность da  (соответственно предельная относительная погрешность da
* ) приближенного числа 
а как отношение абсолютной погрешности (предельной абсолютной 
погрешности) к модулю числа а

 
d
d
a
a
a
a

a
a
=
=
D
D
,
.
*
*

Относительная погрешность является величиной безразмерной, 
т. е. не зависит от выбора системы единиц измерения, что позволяет 
сравнивать качество измерений разнородных величин (бессмысленным является вопрос о том, что больше: 1 кг или 1 м, — но сравнение 
качества измерений массы и длины в терминах относительной погрешности вполне допустимо). Измеряется da  (da
* ) в долях единицы 
или в процентах.
Пример. Согласно ныне действующим (2015 г.) определениям международного Комитета по константам для науки и технологии входящая в закон всемирного тяготения гравитационная постоянная

 
g =
±
(
)Ч
 6.67259
0.00085 10 11 м 3∙ кг–1∙ с–2,

а заряд электрона

 
e =
±
(
)Ч
1 602 17733
0 00000049 10 19
.
.
 Кл.

Абсолютнаяиотносительнаяпогрешности

Сравнить точность определения этих фундаментальных физических постоянных.
Решение. Для гравитационной постоянной предельная относительная погрешность

 
dg
*
.
.
.
=
=
Ч
0 00085
6 67259
1 27 10 4 ,

а для заряда электрона

 
de
*
.
.
.
=
=
Ч
0 00000049
1 602 17733
3 1 10 7 .

Таким образом, в последнем случае относительная погрешность 
оказывается на три порядка меньшей, т. е. заряд электрона определен 
существенно точнее, чем гравитационная постоянная.
С понятиями абсолютной и относительной погрешности связаны 
понятия верных и значащих цифр.
Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего (самого правого) разряда его десятичной записи, то цифры числа называют верными (или точными).
По умолчанию десятичная запись приближенного числа должна содержать только верные цифры, и тогда по записи числа 
сразу можно узнать предельную абсолютную погрешность, с которой 
оно известно.
Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.
Пример. Даны приближенные числа а = 8.6, b = 8.60, c = 3200, 
d = 3.2∙10 3. Указать предельную абсолютную погрешность для каждого числа.
Решение. Для числа а погрешность Da
*
.
Ј 0 1, для числа b Db
*
.
Ј 0 01, 
для числа с Dc
* Ј1, для числа d Dd
*
.
.
Ј
Ч
=
0 1 10
100
3

Итак, числа а и b, с и d, равные с точки зрения «обычной» математики, существенно различны в вычислительной математике: из абсолютной погрешности мы заключаем, что число b известно точнее, чем 
число а, а число с — точнее, чем d. Кроме того, нуль, стоящий справа в дробной части десятичного числа, важен, и им нельзя пренебрегать, если мы хотим составить верное суждение о точности числа.
З н а ч а щ и м и  цифрами приближенного числа называются в с е 
цифры его десятичной записи, кроме нулей, находящихся левее 
первой отличной от нуля цифры.

Глава1.Погрешности

Пример. Числа 0.001 307 и 6.0400 имеют соответственно четыре 
и пять значащих цифр. Итак, нули, находящиеся слева, значащими 
не являются, а нуль, записанный в конце десятичной дроби, всегда 
является значащей цифрой.

Действиясприближеннымичислами

те о р е м а  1 .  Абсолютная погрешность алгебраической суммы 
нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных 
погрешностей этих чисел.
В частности, для суммы двух чисел а и b любого знака получаем 

D
D
D
a b
a
b
± Ј
+
.
Из этой теоремы следует, что абсолютная погрешность алгебраической суммы не меньше абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых, т. е. увеличение точности за счет других слагаемых 
невозможно. Поэтому бессмысленно сохранять излишние десятичные знаки в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее.
Правило сложения и вычитания приближенных чисел:
1) выделить наименее точное число (или числа), т. е. такое, в десятичной записи которого наименьшее число верных десятичных 
знаков;
2) округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало 
на один (запасной) знак больше, чем выделенное число;
3) выполнить сложение и вычитание с учетом сохраненных знаков;
4) полученный результат округлить до предпоследнего знака.

Напомним правила округления числа, т. е. его замены числом 
с меньшим количеством значащих цифр:
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые 
десятичные знаки оставляют без изменения;
2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих 
за ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
4) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все последующие — 
нули, то последний из сохраняемых десятичных знаков увеличи вают