Функциональный анализ: типовые задачи

УДК 517.98 (076.1)

Г525

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра математического и функционального анализа

Южно-Уральского государственного университета

(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук
В. Л. Дильман);

А. Р. Данилин, доктор физико-математических наук,

заведующий отделом уравнений математической физики

Института математики и механики УрО РАН

Глазырина, П. Ю.

Г525
Функциональный анализ : Типовые задачи : [учеб. пособие] / П. Ю. Глазырина, М. В. Дейкалова, Л. Ф. Коркина ; М-во
образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2016. – 214 с.

ISBN 978-5-7996-1771-4

Учебное пособие содержит набор задач по основным разделам
функционального анализа. Приводятся необходимый теоретический
материал, а также примеры решения некоторых задач.

Предназначено для проведения практических занятий, контрольных мероприятий и для самостоятельной работы студентов
математических факультетов дневной формы обучения.

УДК 517.98 (076.1)

ISBN 978-5-7996–1771–4
c⃝ Уральский федеральный университет, 2016

Предисловие

В учебном пособии собраны задачи по основным разделам
курса линейного функционального анализа (теории нормированных пространств и теории операторов), читаемого студентам математико-механического факультета Уральского федерального университета.

В начале пособия приведены классические нормированные
пространства, изучаемые в курсе функционального анализа.
Далее представлено 19 тем, в каждой из которых дана краткая сводка необходимого теоретического материала, а также
приведены образцы решения некоторых задач. В теме 18 собраны задачи для итогового контроля, решение которых требует знания предшествующих тем. В конце пособия помещены
ответы к задачам и список литературы, использованной при их
составлении. Эти же книги могут быть полезны при решении
задач.

При составлении пособия были использованы методические разработки по функциональному анализу, составленные в прошлые годы на кафедре математического анализа
и теории функций Уральского государственного университета
им. А. М. Горького.

Условные обозначения, принятые в пособии:


Советуем запомнить


Советуем обратить внимание


Окончание решения примера

Начало формулировки задания, относящегося к нескольким задачам

*
Задача повышенной трудности

Перечень классических пространств

 P – поле вещественных чисел R или поле комплексных чисел C.

 ℓm
p
(1 ⩽ p < ∞) – пространство векторов x = {ξk}m
k=1,

ξk ∈ P, наделенное нормой

∥x∥ =

( m
∑

k=1
|ξk|p
)1/p
.

 cm – пространство векторов x = {ξk}m
k=1, ξk ∈ P, с нормой

∥x∥ = max
1⩽k⩽m |ξk|.

 Пространство cm будем обозначать также ℓm
∞.

 ℓp (1 ⩽ p < ∞) – пространство последовательностей

x = {ξk} = {ξk}∞
k=1, ξk ∈ P, таких, что

∞
∑

k=1
|ξk|p < ∞, с нор
мой

∥x∥ =

( ∞
∑

k=1
|ξk|p
)1/p
.

 m
–
пространство
ограниченных
последовательностей

x = {ξk} = {ξk}∞
k=1, ξk ∈ P, с нормой

∥x∥ = sup
k∈N
|ξk|.

 Пространство m будем обозначать также символом ℓ∞.

 c – пространство сходящихся последовательностей

x = {ξk} = {ξk}∞
k=1, ξk ∈ P, с нормой

∥x∥ = sup
k∈N
|ξk|.

4

 c0 – пространство сходящихся к нулю последовательностей

x = {ξk} = {ξk}∞
k=1, ξk ∈ P, с нормой

∥x∥ = max
k∈N |ξk|.

 s – пространство последовательностей x = {ξk} = {ξk}∞
k=1,
ξk ∈ P, с метрикой

ρ(x, y) =

∞
∑

k=1

1
2k ·
|ξk − ηk|

1 + |ξk − ηk|,
y = {ηk} = {ηk}∞
k=1, ηk ∈ P.

 C[a, b] – пространство функций x: [a, b] → P, непрерывных
на [a, b], с нормой

∥x∥ = max
t∈[a,b] |x(t)|.

 Ck[a, b] – пространство функций x: [a, b] → P, k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b], с нормой

∥x∥ =

k
∑

ℓ=0
max
t∈[a,b] |x(ℓ)(t)|.


Lp[a, b] (1 ⩽ p < ∞) – пространство функций x: [a, b] → P,
непрерывных на [a, b], с нормой

∥x∥ =
(∫ b

a
|x(t)|p dt
)1/p
.

 Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.

Lp(E) (1 ⩽ p < ∞) – пространство измеримых по Лебегу
функций x: E → P таких, что |x(t)|p суммируема на E,
с нормой
x
=
(∫

E
|x(t)|p dt
)1/p
.

Функции x и y определяют один и тот же элемент Lp(E),
если x(t) = y(t) для почти всех t ∈ E, т. е. x и y эквивалентны.

5

 Пусть E – измеримое по Лебегу подмножество R.

L∞(E) – пространство измеримых по Лебегу функций
x: E → P таких, что ess sup
t∈E
|x(t)| < ∞, с нормой

x
= ess sup
t∈E
|x(t)|.

Функции x и y определяют один и тот же элемент L∞(E),
если x(t) = y(t) для почти всех t ∈ E.

Величина ess sup (существенный супремум) функции x на
множестве E определяется следующим образом:

ess sup
t∈E
|x(t)| = inf
{
M > 0 : mes{t ∈ E : |x(t)| > M} = 0
}
.

В большинстве задач этого пособия E = [a, b].

 Для пространств ℓm
p , ℓp, Lp[a, b], Lp(E), если границы для
индекса p не указаны явно, задачу нужно решить для
всех p, 1 ⩽ p < ∞. Нормы в этих пространствах будем
часто обозначать ∥ · ∥p.

Пространство L1(E) будем обозначать также L(E).

 ⟨P, ρ|·|⟩ – поле P с естественной метрикой

ρ|·|(x, y) = |x − y|.

 ⟨X, ρT ⟩ – произвольное непустое множество X с тривиальной метрикой

ρT (x, y) =
{ 1,
x ̸= y,

0,
x = y.

Тема 1. Метрические и линейные

нормированные пространства,

топология метрических

пространств

Определение 1.1. Пусть X – непустое множество. Отображение ρ: X2 → R называется метрикой на X, если для любых x, y, z ∈ X

1) ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x);
3) ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y).

Определение 1.2. Если ρ – метрика на X, то пара ⟨X, ρ⟩
называется метрическим пространством.

Определение 1.3. Пусть X – линейное пространство над
полем P. Отображение ∥ · ∥: X → R называется нормой на X,
если для любых x, y ∈ X и λ ∈ P

1) ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0;
2) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥;
3) ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥.

7

Определение 1.4. Если ∥ · ∥ – норма на линейном пространстве X, то пара ⟨X, ∥·∥⟩ называется нормированным пространством.

 Норму в пространстве X иногда будем обозначать ∥ · ∥X,
метрику – ρX. Там, где это не вызывает непонимания, вместо
⟨X, ρ⟩ или ⟨X, ∥·∥⟩ будем писать метрическое (нормированное)
пространство X.

Определение 1.5. Пусть ⟨X, ρ⟩ – метрическое пространство, a ∈ X, r > 0.


Множество B(a, r) = {x ∈ X : ρ(x, a) < r} называется открытым шаром c центром в точке a радиуса r.


Множество B[a, r] = {x ∈ X : ρ(x, a) ⩽ r} называется замкнутым шаром c центром в точке a радиуса r.


Множество S[a, r] = {x ∈ X : ρ(x, a) = r} называется сферой c центром в точке a радиуса r.

Определение 1.6. Пусть ⟨X, ρ⟩ – метрическое пространство. Последовательность {xn} ⊂ X называется сходящейся,
если существует точка x0 ∈ X такая, что

ρ(xn, x0) −−−→
n→∞ 0.

Точка
x0
называется
пределом
последовательности
{xn}.
В этом случае пишут

xn
ρ
−−−→
n→∞ x0
или
xn −−−→
n→∞ x0.

Определение 1.7. Пусть ⟨X, ρ⟩ – метрическое пространство, M ⊂ X.


Точка x0 ∈ M называется внутренней точкой множества M, если
∃ r > 0
B(x0, r) ⊂ M.

8


Точка x0 ∈ X называется предельной точкой множества M,
если
∀ r > 0
M ∩
(
B(x0, r) \ {x0}
)
̸= ∅.

 Множество внутренних точек множества M обозначают
◦
M и
называют внутренностью множества M; множество предельных точек обозначают M ′.

Определение 1.8. Пусть ⟨X, ρ⟩ – метрическое пространство, M ⊂ X.


Множество M называется ограниченным в ⟨X, ρ⟩, если оно
содержится в некотором шаре. В частности, множество M
называется ограниченным в нормированном пространстве
⟨X, ∥ · ∥⟩, если

∃ r > 0
∀ x ∈ M
∥x∥ ⩽ r.


Множество M называется открытым, если каждая его
точка является внутренней точкой этого множества, т. е.

∀ x ∈ M ∃ r > 0
B(x, r) ⊂ M.


Множество M называется замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки, т. е. если M ′ ⊂ M.


Множество M = M ∪ M ′ называется замыканием множества M.


Диаметром множества M называется величина

diam M = sup{ρ(x, y): x, y ∈ M}.


Расстоянием от точки x0 ∈ X до множества M называется величина

ρ(x0, M) = inf{ρ(x0, y): y ∈ M}.

Если существует элемент y ∈ M такой, что ρ(x0, y) =
= ρ(x0, M), то говорят, что расстояние от x0 до M достигается (на элементе y).

9


Расстоянием между множествами A, B ⊂ X называется
величина

ρ(A, B) = inf{ρ(x, y): x ∈ A, y ∈ B}.

Пример 1.1. Доказать замкнутость множества

M =
{
x ∈ C1[0, 1]: x′
(1

2

)
= 2
}

в пространстве C1[0, 1].

Решение. Пусть x0 ∈ M′. Нам предстоит проверить, что

x′
0

(1

2

)
= 2. Для всякого ε > 0 существует элемент xε ̸= x0

такой, что xε ∈ M ∩ B(x0, ε). В частности, для εn =
1
n

(n ∈ N) существует xn ̸= x0 :
xn ∈ M ∩ B
(
x0, 1

n

)
. Имеет

место свойство x′
n

(1

2

)
= 2 и справедливы оценки

x′
0

(1

2

)
− x′
n

(1

2

)⩽ max
t∈[0,1] |x0(t) − xn(t)|+

+ max
t∈[0,1] |x′
0(t) − x′
n(t)| = ∥x0 − xn∥ < 1

n.

Следовательно,

x′
0

(1

2

)
= lim
n→∞ x′
n

(1

2

)
= 2,

т. е. x0 ∈ M. Таким образом, M′ ⊂ M, т. е. множество M
замкнуто.


Пример 1.2. Доказать, что множество

M =
{
x ∈ ℓ1 : ξk > −1
}

открыто в пространстве ℓ1 над полем R.

10